海南省四校高三数学联考试题（PDF版，含解析）

时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A {x | x 2k , k Z} ，B= x | 2 x 2 ，则 A B
A．[ 1,1] B． [ 2, 2] C．{0, 2} D．{ 2,0, 2}
6i
2．i是虚数单位，则复数 的虚部为
1 i
A．3 B．－3 C．3i D．－4i

3 a ．已知 ，b是单位向量，若 a (a 3b) ，则 | a b |
8
A 2 6． B． 2 2 C． D．8
3 3
4．如图是某年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述正确的是
①第一季度 GDP 总量和增长率排名位次相同的省只有 1 个；
②与去年同期相比，第一季度五个省的 GDP 总量均实现了增长；
③去年同期的 GDP 总量前三位是 D 省、B 省、A 省；
④去年同期 A 省的 GDP 总量是第三位．
A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④
5．若a log b3 6，6 18，则ab log3 2
A．1 B．－1 C．2 D．－2
高三数学 第 1页 （共 4页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
2 2
6 x y．设双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0) 的右焦点为F ，O为坐标原点，以OF 为直径的圆a b
与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外） A， B两点，若 AB 2b，则双曲
线 C 的离心率为
A．4 B．2 C． 3 D． 2
7．已知 cos 30 1 2，且0 90 ，则 tan 30 sin 60 cos 150 3
A 3 2． B 3 2 2 C 3 2 D 3 2 2． ． ．
9 9 9 9
8．已知函数 f x ， g x 是定义在R 上的函数，其中 f x 是奇函数， g x 是偶函数，
且 f x g x g x g x ax2 3x 1. 若对任意1 x1 x2 2
1 2
，都有 3，则
x1 x2
实数a的取值范围是
A
3
． ,, 0,, B． 0, C
3
． ,
3
D ． , 0
4 4 4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。

9．已知函数 f (x) 2sin(2x ) 1 m在区间[0,
]上的最大值为 4，则下列说法正确
6 2
的是
A． f (x)

的最小正周期为 B．m 1
2
( C．点 , 2) 是 f (x)

图象的一个对称中心 D． f (x) 在区间 [ , ]上单调递减
12 3 6
an , 当a 为偶数时
10．若数列{an}满足： an 1 2
n
，已知 a4 1，则 S4
an 3, 当an为奇数时
A．14 B．15 C．17 D．18
11．如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1 内灌进一些水，已知 BC＝8，
CD＝3 3 ，A A1＝8 2 ，当底面 ABCD水平放置时，水面位置满足 BF∶FB1＝1∶3，
容器内有水部分的几何体体积是 V，下列命题正确的是
A．固定容器底面一边 BC于地面上，将容器倾斜，有水的
部分始终呈棱柱形
B．固定容器底面一顶点 B于地面上，将容器倾斜，有水的
部分可能是三棱锥
C．体积为 V，高为 4 2 的圆锥不能放在半径是3 2 的球体内
D．体积为 V的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为
3 6 的圆锥内任意旋转
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
高三数学 第 2页 （共 4页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．数列 an , bn 1 3都是等差数列，且a1 ,b1 ，a2025 b2025 18.则数列 an bn 的2 2
前 2025 项的和是______.
13．设点F 是抛物线 y2 2px(p 0) 的焦点，过抛物线上一点P作其准线的垂线，垂足为Q，
已知直线FQ交 y轴于点 A 0,2 ，且 PQF 的面积为 8，则该抛物线的方程为______．
14．将标号为 1～10 的 10 个小球装入两个不同的盒子，使得每个盒子都有球，有______
种不同的装法；当两个盒子的球数相等时，从两个盒子中不放回地各取一球，记下
两球球号之积，重复上述操作，直至取完，则所有积之和的最小值为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分 13 分）
已知a,b,c分别为△ABC三个内角 A,B,C的对边，且bcosC 3bsinC a c 0 .
（1）求 B；

（2）若 b＝4，△ABC的面积为4 3，D为 AC边上一点，满足 AC 3AD ,
① 求△ABC的周长；；
② 求 BD的长．
16．（本题满分 15 分）
已知函数 f (x) ln x ax .
（1）当a 1时，曲线 y f (x) 在点(1,1)处的切线与曲线 y mx2 (m 2)x 1 (m 0)
相切，求实数 m的值；
（2）函数 f (x) a 2恒成立，求实数 a的取值范围.
17．（本题满分 15 分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形， ADC 60 ,PA PC ,PD AD 2 .
（1）证明：BD⊥平面 PAC；
（2）若 PA求平面 PAB与平面 PCD夹角的余弦值.
18．（本题满分 17 分）
某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、
高三数学 第 3页 （共 4页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和
互动性帮助孩子学习和发展。萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了
更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数 x (0 x 10 )与孩子的喜
爱程度 y (0 y 1)进行统计调查，得到如下数据表：
x 5 6 7 8 9
y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70
（1）请根据上表提供的数据，通过计算变量 x， y的相关系数 r，回答是否可以认为
该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强．（当 r 0.75,1 时，x与 y相关性很强）
（2）机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令．机器人
执行命令的正确率为 90%，出错率为 10%．当机器人正确执行命令时，使用者满
意的概率为 80%；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为 30%．如果使用者
对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？
（3）该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答 4
个题，若小李答对题数不小于 3，则挑战成功．已知小李答对前两道题的概率
均为 p1，答对后两道题的概率均为 p2．假设每次答题相互独立，且互不影响．当
3
p1 p
6
2 时，求小李挑战成功的概率的最大值．52
n
xi x yi y
i 1
参考公式：相关系数 r n n ．
x x 2i yi y 2
i 1 i 1
19．（本题满分 17 分）
x2 y2 3 1
已知上下顶点分别为 A，B的椭圆 E : 1经过点 ( ,1)，P为直线 l : y 上
m 4 2 2
的动点，且 P不在椭圆 E上，PA与椭圆 E的另一交点为 C，PB与椭圆 E的另一交
点为 D（C，D均不与椭圆 E上下顶点重合）．
（1）求椭圆 E的方程；
（2）证明：直线CD过定点；
1
（3）设（2）问中定点为Q，过点C，D分别作直线l : y 的垂线，垂足分别为M，N，
2
记 CMQ， MNQ， DNQ的面积分别为 S1 , S2 , S3 ，试问：是否存在常数 t，
使得 S1 , tS2 , S3 总为等比数列？若存在，求出 t的值；若不存在，说明理由．
高三数学 第 4页 （共 4页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A B C D B C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
【选择题解析】
1． 集合 A {x | x 2k , k Z} ，B= x | 2 x 2 ， A B { 2,0,2}.
故选：D.
6i 6i(1 i) 6i(1 i) 6i2． 3 3i 1 i (1 i)(1 i) 2 ， 复数 的虚部为3.1 i
故选： A.
a

3．由题意，若 (a 3b ) ，
则 ，则 ，
则
故选：A
4．①第一季度 GDP 总量和增长率排名位次相同的省有 2 个，B 省和 C 省的 GDP 总量和
增长率分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；
由图计算去年同期五省的 GDP 总量，可知前三位为 D 省、B 省、A 省，故③正确；
由③知去年同期 A 省的 GDP 总量是第三位，故④正确.
故选： B
5．由6b 18 b log6 18，
故 ab log3 2 log3 6 log6 18 log3 2 log3 18 log3 2 log3 9 2
故选：C
6．由OF 为直径知OA AF， 在Rt OAF中, FA b,OF c,OA a，
高三数学联考题参考答案 第 1页 （共 10 页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
c
c 2 b ab, e 2 . 故选：D
2 a
7．因为0 90 , cos 30 1 0 ，故30 30 90 ，3
则 sin 30 2 2 tan 30 ，则 2 2 ，3
sin 2又 60 sin 2 90 30 2 1 cos 30 9 ，
又 cos(150 ) cos[180 (30 )] cos(30
1
)
3
2 2 1 1 3 2 2故原式

9
．
3 9
故选：B
8．因为 f ( x) f (x) ， g( x) g(x) ，用 x代替 x得 f ( x) g( x) ax 2 3x 1 ，
所以 f (x) g(x) ax2 3x 1，结合 f x g x ax2 3x 1，
2 g x1 g x 所以 g(x) ax 1 2，因为 3，1 x1 x2 2，所以 g(x ) 3xx x 1 1 g(x2 ) 3x2 ，1 2
设 h(x) g(x) 3x ax 2 3x 1 ，所以h(x)在 (1, 2)单调递增，
a 0 a 0

所以 3 或 a 0或2 3
，
1 2a 2a
3
所以 a 0 或 a 0或a 0 a
3
，所以 .
4 4
故选：C
9．由 f (x) 2sin(2x

) 1 m f (x) T 2 ，可得 的最小正周期 ，故 A 错误；
6 2
x 7 1由 [0, ]，得 2x [ , ]，则 sin(2x ) [ ,1]，
2 6 6 6 6 2
f (x)的最大值为3 m，由3 m 4，得m 1，故 B 正确；
2x 令 k ,k Z ，得 x
k
,k Z ，
6 2 12
则 f (x) 图象的对称中心为 ，
( 点 , 2) 是 f (x) 图象的一个对称中心，故 C 正确．
12
由 x [

, ] ，得 2x [ , ] ，此区间为正弦函数的一个增区间，
3 6 6 2 2
f (x) [ , 则 在 ]上单调递增，故 D 错误；
3 6
故选：BC
a
10．若 a3 为奇数，则 a4 a3 3 1，即 a3 4 ，不合题意，故 a
3
3 为偶数，则 a4 12 ，
高三数学联考题参考答案 第 2页 （共 10 页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
即 a3 2 ．若 a2 为奇数，则 a3 a2 3 2，即 a2 5 ，若 a1为奇数，则 a2 a1 3 5，
a1
即 a1 8，不合题意，则 a1为偶数，则 a2 5，即 a2 1
10，此时 S4 10 5 2 1 18；
a2
若 a2 为偶数，则 a3 22 ，即
a2 4 ，若 a1 为奇数，则 a2 a1 3 4 ，即 a1 7 ，
a
此时 S4 7 4 2 1 14
1
；若 a1为偶数，则 a2 4 ，即 a2 1
8，
此时 S4 8 4 2 1 15 ．故选 ABD．
11．A 选项，固定容器底面一边 BC于地面上, 根据棱柱的定义，有二个面相互平行且是全
等的多边形，其余每相邻两个面的交线互相平行，所以有水的部分是棱柱，故 A正确；
B选项，有水部分几何体的体积为V 48 6
当平面 ACB1水平放置时，三棱锥 B- ACB1的体积取到最大值，
V 1此时 B ACB S ACB BB1 32 6 48 6 ，故 B错误1 3 1
1
C 36 3选项，设圆锥底面半径为 r， r2h 48 6 ， r2
3
由于 r2 (4 2 3 2)2 (3 2)2 ，故 C 正确.
D 选项，依题意，设正方体棱长为 a， a3 48 6 ，解得 a 2 6 ，
正方体的外接球半径为 R 3 2
圆锥底面半径3 6 ，圆锥的高 h 9 2 ，母线长 6 6 ，
r 9 2 r r设圆锥内切球半径为 ， ，解得 r 3 2 ，
6 6 3 6
正方体恰好可以在圆锥内任意转动，故 D正确.
故选 ACD.
高三数学联考题参考答案 第 3页 （共 10 页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．20250 13． y2 8x 14．1022 110
【解析】
12． an , bn 为等差数列，则 an bn 为等差数列
a1 b1 2，a2025 b2025 18
an bn 的前 2025 项的和是
a1 b1 a2025 b2025 2025 2 18 2025 20250
2 2
13．根据题意作出如图所示的图象：
p
其中， F ( ,0)，QE为双曲线的准线，
2
p
且准线方程为 x ， PQ QE， A(0, 2) .
2
P(x p p设 0 , y0) ，则Q( , y0) ， PQ x0 .2 2
在 QEF中，O为 EF的中点，则A 为QF 的中点，即 QE 4， y0 4 .
p
∵ PQF
1 p
的面积为 8，∴ (x0 ) 4 180，即 x 45 .2 2 00 2
y 2
p
2 px 42 2 p((54 )) p2p 2∵ 0 0，∴ ，即 102 8
10pp 1616 00. ∴ p 42
∴该抛物线的方程为 y2 8x .
14．不妨记两个盒子为甲、乙．第一步，将小球装入甲盒子，可以装的小球数量为1,2, ,9，
故装法有C1 C2 C9 1010 10 10 2 2 1022种；第二步，将剩下的小球装入乙盒子，
装法只有 1 种，故共有 1022 种装法．
所有积之和的最小值为：1×10＋2×9＋3×8＋4×7＋5×6＝110
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：
（1）因为bcosC 3bsinC a c 0，根据正弦定理可得：
sin B cosC 3 sin B sinC sin A sinC 0 , ………………1 分
又 A (B C)，
所以sin B cosC 3 sin B sinC sin(B C) sinC 0 ………………2 分
高三数学联考题参考答案 第 4页 （共 10 页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
所以sin B cosC 3 sin B sinC sin BcosC cosB sinC sinC 0 ……3 分
3 sin B sinC cosB sinC sinC 0， ………………4 分
因为 C为三角形内角，故sinC 0，
π 1
所以 3 sin B cosB 1 0 sin B ………………5 分
6 2
π π π
因为 B是三角形内角，所以B ，所以B . ......6 分
6 6 3
（2）如图：
1 3
①因为 S△ABC ac sin B ac 4 3，所以ac 16 . ………………7 分2 4
由余弦定理：b2 a2 c2 2accosB a2 c2 32 .
所以a c 4 .
△ABC的周长是 12 ………………9 分

②△ABC为等边三角形.又 AC 3AD，所以 AD
4
. ………………10 分
3
ABD BD2 AB2 AD2 2 AB AD cos π 16 16 1 7在△ 中， 16 2 16 .
3 9 3 2 9
………………12 分
所以BD 4 7 . ………………13 分
3
16．解：
（1） f x 的定义域为 0, ， ………………1 分
由 f (x) ln x x
1
可得 f (x) 1， f (1) 2 ………………2 分
x
所以 f (x) ln x x在 x=1 处的切线方程为 y－1=2(x－1），
即 2x－y－1=0 ………………3 分
切线 2x－y－1=0 与曲线 y mx2 (m 2)x 1相切，
y mx2 (m 2)x 1
即
2x y 1 0
得mx2 mx 2 0， m2 8m 0 ………………6 分
m=0（舍去）或 m=8 ∴m=8 ………………7 分
（2）法一：由 f (x) ln x ax可得 f x 1 ax ，
当 a 0时， f (x) 0，
所以 f x 在 0, 上单调递增，不成立。 ………………9 分
1
当a 0时，令 f x 0，得 x ，
a
x 0, 1 所以当 时， f (x) 0a ，
f x 单调递增；

高三数学联考题参考答案 第 5页 （共 10 页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
x 1 , 当 时， f x 0， f x 单调递减，
a
x 1所以当 时， f x 取得极大值，也是最大值，
a
1 1
即 f (x)max f ( ) ln 1 ………………12 分a a
ln 1所以有 1 a 2 ，即 ln a a 1 0 ………………13 分
a
设 g a ln a a 1 1，则 g a 1 0，
a
所以 g a 在 0, 上单调递增，
又 g 1 0，所以 g(a) g(1)，得 a >1，
故实数 a的取值范围是 (1, ) . ………………15 分
法二：因为 f x ln x ax a 2恒成立，又 x 0
a ln x 2 恒成立， ………………9 分
x 1
1 x 1 1 ln x 2 ln x 1
令 g x ln x 2 ，
x 1 g ' x
x x …………10 分
x 1 2 x 1 2
h x 1令 ln x 1 h' x 1 1 ， 2 0x x x
所以h x 在 0， 单调递减 ………………12 分
因为h 1 0，所以当 x 0，1 时，h x 0， g ' x 0 ， g x 单调递增
当 x 1， 时，h x 0， g ' x 0， g x 单调递减
所以当 x 1时， g x 取得极大值，也是 g x 的最大值
g x max g 1 1
a 1 ………………14 分
实数a的取值范围是 1， ………………15 分
17．解：
（1）设 AC BD O，连接 PO, 因为四边形 ABCD为菱形，
则O为 AC、BD的中点，且BD AC， ………………1 分
因为 ADC 60 ，PA PC , PD AD 2 ，
则△ ACD是边长为2 的等边三角形，
1
则OD = AD2 AO2 = 22 12 = 3 ，PO AC 1，2
因为PD2 PO2 DO2，所以DO PO，即BD PO， ………………4 分
因为 AC PO O， AC、 PO 平面PAC，所以 BD 平面PAC . ……5 分
高三数学联考题参考答案 第 6页 （共 10 页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
（2）因为BD 平面PAC ，BD 平面ABCD，
故平面 PAC ⊥平面 ABCD，
过点 P作 AC的垂线交 AC于点 E，
因为 PA因为平面 PAC ∩平面 ABCD=AC， PE 平面PAC ，
所以 PE⊥平面 ABCD， …………7 分
菱形 ABCD的面积 S 2 2sin 600 2 3，
1 3
又四棱锥 P ABCD的体积为 1，即 S PE 1，可得
3 PE
，
2
因为 PO=1，所以OE
1
.
2
以O为原点，OD、OC所在直线分别为 x轴、 y轴，过点O且与平面 ABCD垂
直的直线为 z轴，建立空间直角坐标系， ………………9 分
则D 3,0,0 、 A 0, 1,0 C 0,1,0 1 3、 ， P(0, , )，
2 2
AB DC ( 3,1,0) ，DP ( 1 3 3, , )， AP (0, 1 , 3 )
2 2 2 2

设平面 PCD 的法向量为n x, y, z ，则

n DC 3x y 0

n DP 3x
1
y 3 z 0
2 2
，令x 1,则y 3, z 3,所以n （1，3，3） ………………11 分
设平面 PAB 的法向量为m （a，b，c），则

m AB 3a b 0
m AP 1 b
3
c 0
2 2
，令a 1,则b 3,c 1,所以m （1，3， 1） ………………13 分
设平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 ，
cos | n m | 1 65 ………………14 分
| n | |m | 5 13 65
所以，平面 PAB 与平面 PCD 65夹角的余弦值为 ………………15 分
65
18．解：
5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70
（1）由表知， x 7 ， y 0.6，
5 5
………………1 分
5
xi x yi y 0 .625 0.05 1 0.1 0 0 1 0.05 2 0.1 0.45，
i 1
………………2 分
高三数学联考题参考答案 第 7页 （共 10 页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
5 5
x 2∵ i x 10， yi y 2 0..04235，
i 1 i 1
n n
∴ xi x 2 y 2i y 0..2453， ………………3 分
i 1 i 1
n
xi x yi y
i 1 00.6.455 0.45
所以 r 0.99 0.9n n 0.656 ………………4 分
x 2i x y y 2 0.25 0.5i
i 1 i 1
∵ r 0.75,1 ，
∴可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强． ………………5 分
（2）记事件 A：机器人正确执行命令；事件 A：机器人执行命令出错；
事件B：使用者对结果满意，则 B表示使用者不满意. ………………6 分
依题意：P A 0.9，P A 0.1 P B A 1 0.8 0.2，P B A 1 0.3 0.7 ，
………………7 分
所以P B P A P B A P A P B A 0.9 0.2 0.1 0.7 0.25 ……9 分
P AB P A P B A 0.9 0.2 0.18
所以P AB P B P B 0.72 .0.25 0.25
即如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的
概率是 0.72. ………………10 分
（3）设小李挑战成功为事件 C，则
P CA p2 21 p2 2 p1 1 p p2 21 2 2 p1 p2 1 p2 p1p2 p1p2 2 1 p1 p2 2p1 1 p2
p1p2 2 p1 2 p2 3p1p2 ， ………………12 分
由 p
63
1 p2 ，得P C p1p2 3 3p1p2 3p1p2 1 p1p2 ． ………………13 分52
3 2 1
令 x p p p 6 0 3 p 91 0 p 1 p 11 2 11 p1 ， 因为p 1 ， 2 ，所以 ， 25 1 1 5 25 2
1
x 1所以 ,
9
2 16 ………………14 分
2
设 f x x3 1 x 1
2 x3 x ， 则 f x 3x 1
1 3
x 3x2 3x 3 x ……15 分
5 2 4
19 3
当 x f x 25时， 取得最大值 ． ………………16 分4
31
所以，当 p1 或 p
3 3
1 1时，小李挑战成功的概率取得最大值 ． ……17 分52 5 4
高三数学联考题参考答案 第 8页 （共 10 页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
19．解：
（1）将点 (
3 ,1)代入椭圆方程，解得 m的值为 3， ………………2 分
2
x2 y2
则椭圆 E 的方程为 1. ………………3 分
3 4
（2）由题意，直线CD的斜率一定存在，设直线CD的方程为： y kx m m 2 ，
设C x1, y1 ，D x2 , y2 ，
AC y y1 2则直线 为： x 2 ①
x1
直线BD为： y
y2 2 x 2
x ②2
y1 2 x2 y 2
由①②得： x1 y2 2 y 2
1 y1 2 x2 3
∵P在直线 y 上，∴ x ， ………………4 分2 1 y2 2 5
x2 y2 x 3 y2 2 y1 2 y2 2 4
∵ 2 2 1，∴ 2 y ，∴
，
3 4 2 2 4x2 x1 x2 5
kx1 m 2 kx2 m 2 4
∴ x1x2 5
，
k 2x 2
∴ 1
x2 k m 2 x1 x2 m 2 4 ③ ………………6 分
x1x2 5
x2 y2
1 2 2 2
联立： 3 4 得方程： 3k 4 x 6kmx 3 m 4 0，
y kx m
Δ 6km 2 4 3k 2 4 3 m2 4 0， ………………7 分
x x 6km 3 m
2 4
由韦达定理： 1 2 3k 2
，
4 x1x2
，
3k 2 4
将韦达定理代入③得：m2 10m 16 0， ∴m 2 （舍），m 8 ,
∴直线CD过定点 0,8 . ………………9 分
M x , 1 N x , 1 1 1（3 ） 1 2 ， 2 2 ，显然 C，D在直线
l : y 的两侧，不妨设 y y .
2 1 2 2
1
S x y
1 1 1 1 1
则 △ CMQQ 2 1 1
, S MNNQQ x1 x 8 2 △ 2 2 2 , S
S
△ DDNNQQ x2 2
y
2
2 …11 分

设存在常数 t，使得 S1， tS 2 22 ， S3 为等比数列，即 t S2 S1S3 ,
222255tt22
即： xx11 xx
22 11
22 xxxx
11
11 22 yy
11
11 yy yyyy
,
1166 44 22 22 44 11 22
225tt22 xx 22 1 1 1 即：
16 11
x22 4x11x22 x4 11x22 y11 y22 y11y22 , …………13 分 2 4
高三数学联考题参考答案 第 9页 （共 10 页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}
因为C x1, y1 ，D x2 , y2 在直线 y kx 8上，所以m 8，
2
x x 6km 48k 3 m 4 将 1801 2 ，3k 2 4 3k 2 4 x ,1x2 3k 2 4 3k 2 4
48k 48k 2y 48k
2 64 64
1 y2 k x1 x2 16 k 16 ，3k 2 4 3k 2 4 3k 2 4
4 64 3k 2
y1y2 kx 8 kx 8 k 2x x 8k x 2
180 48k
1 2 1 2 1 x2 64 k 2 k 64 3k 4 3k 2 4 3k 2 4
48k 44(6644 33kk22 )
y1y2 kx1 8 kx2 8 k 2x 2
180 8k 48k 64

， ………………15 分
1x2 8k x1 x2 64 k k 64 3k 2 4 3k3k2 2 44 33kk2 2 44
225t 2 45
代入，化简得：
16 144k
2 2880 4 45k
2 900 ,
∵Δ 48k 2 4 180 3k 2 4 0 ,
45
2 k 2 20
∴ k 2
16 45 1 1
20 ,∴ t
144 k 2 t 20 225 4 4 ， 2
1
∴存在 t 时， S1， tS2 ， S3 总构成等比数列. ………………17 分2
高三数学联考题参考答案 第 10页 （共 10页）
{#{QQABbYI4xgA4kAaACI4KRwFkCEkQkIGiLSoEhRAYuARqQZNIBIA=}#}