A字相似模型—人教版数学九下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2023九上·福田期中）如图，利用标杆 测量建筑物的高度．已知标杆 高1.2 ，测得 =1.6 ， =12.4 .则建筑物 的高是（ ）
A．9.3 B．10.5 C．12.4 D．14
2．（2024九下·温州模拟）如图，的边与相切于点，交于点，延长交于点，连接．若，，，则的长为（ ）
A．15 B． C． D．12
3．（2024·宁海）如图，在纸片中，，，，点，分别在，上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则的长为
A． B． C． D．
4．（2024九上·拱墅期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
5．（2024九上·顺义期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ）
A． B． C． D．
6．如图， 在 Rt 中，， 半径为 5 的 与 分别相切于点， 与交于点， 则MN 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2025九上·鹿城期末）如图，在矩形中，，E为边上一点，正方形的顶点P，Q分别在线段上，M，N在边上，若A，P，M三点恰好在同一直线上，则的长为 ．
8．（2024九上·成都期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，锐角顶点在轴上，其中点的坐标为，点的坐标为，点是斜边的三等分点，双曲线正好经过，两点，则的值为 ．
9．（2024九上·成都期末）如图，现有测试距离为的一张视力表，表上一个的高为，要制作测试距离为的视力表，其对应位置的的高为 ．
10．（2024九上·瑞安期末）如图，在中，，分别交边于点，连结交于点，若的面积为3，的面积为13，则的值为 ；的面积为 ．
三、解答题
11．如图， 在 中， 分别为边 上的点， 已知 ， 求证： ．
12．如图， 在矩形 中， ， 点 在边 上， 于点 ．若 ， 求 的长．
13．（2024九上·上海市期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD＝2，，求线段DC的长；
(2)求证：EF·GB＝BF·GE.
14．（2024九下·宁波模拟）在中，，D是边上一点，过点D作交于点F，E为上任意一点，连结交于点G，连结．
（1）求证：．
（2）若，且平分，求的值．
四、综合题
15．（2024九上·杭州期末）如图1，已知内接于，，延长交于点，交于点，是劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）如图2，连接分别交和于点和点，若，且，请用含的值表示的值（不需要写出过程）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得，△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE=1.2m，AB=1.6m，BC=12.4m，
∴，
解得，CD=10.5m.
故答案为：B.
【分析】根据题意得△ABE∽△ACD，利用相似三角形的性质得，代入数据计算即可求解.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的直径，
∴
∵
∴
在中，，
∵
∴即
∴
在中，；
∵即
∴
∴，
∴
∴，
故答案为：B.
【分析】连接，由勾股定理和垂径定理求出，然后根据平行线得到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
3．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：作DH⊥BC于H，
在Rt△ABC纸片中， ∠ACB =90°，
由勾股定理得：
∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，
∴AD=DF， ∠A=∠DFE，
∵FD平分∠EFB，
∴∠DFE=∠DFH，
∴∠DFH=∠A，
设DH=3x，
在Rt△DHF中，
∴DF =5x，
∴BD=5-5x，
∵△BDH∽△BAC，
故答案为：D.
【分析】由翻折得出AD=DF，∠A=∠DFE， 再根据FD平分∠EFB， 得出∠DFH =∠A， 即可得到△BDH∽△BAC，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
4．【答案】B
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
设⊙O的半径为r，则，，
∵，
∴，，
∵AC是⊙O的直径，，，
∴，
在中， ，即，
解得，
∴， ， ，
在和中，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：B．
【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，先利用垂径定理、勾股定理求出r的值，再根据线段的和差求出CE的长，根据勾股定理可求出BC的长，然后利用相似三角形的判定与性质即可求得OF的长度．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
∵，
∴，
，
则①②得，
，
，
∵，，
，
解得，
故答案为：B．
【分析】证明得到，然后证明得到，利用①+②解题即可．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：连接OM、ON、OE、OF，OE、OF分别交AB于点P，点Q，过点O作OH⊥AB于点H，如图，
则OE⊥AC，OF⊥BC，
∵∠ACB=90°，OE=OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF=5，
∵AC=8，BC=6，
∴AE=AC-CE=8-5=3，BF=BC-CF=6-5=1，
∵PE∥BC，QF∥AC，
∴△AEP∽△ACB，△BFQ∽△BCA，
∴，，
即，，
∴，，
故，，
在Rt△OPQ中，，
∵，
故，
解得：，
在Rt△OMH中，，
则.
故答案为：D.
【分析】连接OM、ON、OE、OF，OE、OF分别交AB于点P，点Q，过点O作OH⊥AB于点H，则OE⊥AC，OF⊥BC，根据三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形得出四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等得出CE=CF=OE=OF=5，求出AE=3，BF=1，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△AEP∽△ACB，△BFQ∽△BCA，根据相似三角形的边对应成比例求出，，得出，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，根据三角形的面积求出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，根据垂直于弦的直径平分弦，得出.
7．【答案】4
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示：延长交于点，则.
根据题意得：四边形为矩形，
∴，
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
，
∴，
∴，
解得：，
∵三点恰好在同一直线上，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
，
∴，
∴，即
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】延长交于点，则；因为三点共线，则，即；由可算出PN的长，则MN、BN、PF、AF都可知；再利用可算出EF长，则AE＝AF+FE。主要是相似三角形的判定与性质的综合应用。
8．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；A字型相似模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作轴于，轴于，轴于，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴ 即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线正好经过，两点，
∴，
故答案为：．
【分析】作轴于，轴于，轴于，利用平行得到，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出，，即可得出，代入解析式求出即可解题．
9．【答案】
【知识点】相似三角形的应用；A字型相似模型
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行得到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
10．【答案】；
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，设点到的高为，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，整理得，，
∴，
∴，
解得，，，
检验，当，时，原分式方程有意义，
当时，；
当时，，不符合题意，舍去；
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：①；②．
【分析】设点到的高为，根据三角形的面积可得，然后证明，，即可得到，然后设，即可得到，再过点作于点，利用面积得到，即可得到，解出a的值即可解题．
11．【答案】证明：在△ADE与△ACB中
∠ADE=∠C，∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】利用相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似，可证.
12．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AD=BC=2AB
∵EF⊥BD
∴EFD=90°
∴∠A=EFD=90°
在△ABD与△FED中
∠A=EFD=90°，∠BDA=EDF
∴△ABD∽△FED
∴
即：
∴DF=2
在Rt△EFD中，DF=2，EF=1
ED=
=
=
【知识点】勾股定理；矩形的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】由矩形的性质可得∠A=90°，AD=BC=2AB，再利用相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似，可证ABD∽△FED，最后利用勾股定理可求出ED .
13．【答案】(1)解：∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴FC＝3FD＝6，
∴DC＝FC－FD＝4.
(2)证明：
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，
∴，
.∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
∴，
∴EF·GB＝BF·GE.
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，
(1)根据AD∥BC，利用相似三角形的判定理可证明△DEF∽△CBF，利用相似三角形的性质：对应边成比例可得：，代入数据进行可求出FC，利用线段的运算可求出DC的长，
(2)根据AD∥BC，利用相似三角形的判定理可证明△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，利用相似三角形的性质：对应边成比例由已知条件得出AE=DE，因此，通过变形可得出结论.
14．【答案】（1）证明：由，可得，∴，
同理，
∴即．
（2）解：由平分，可得．由，可得，
∴，
∴．
由（1）知，．
由，可得．
∴．
【知识点】A字型相似模型；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由两直线平行同位角相等可证，则；同理，；所以，即；
（2）由DF//BC知，；由CD平分知，，则，即；由和知，；所以.
（1）证明：由，可得，
∴，
同理，
∴即．
（2）解：由平分，可得．
由，可得，
∴，
∴．
由（1）知，．
由，可得．
∴．
15．【答案】（1）证明：，
，
四边形内接于，
，
，
，
；
（2）解：连接、，
是直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
；
（3）解：连接，
设，
，
，，
，
，
，
平分，
作于，
，
，
，
，
设中边上的高为，
，
，
，
，
平分，
同理可得，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，然后根据圆内接四边形对角互补求出，即可得到结论；
（2）连接、，根据直径得到，然后得到，即可得到，，然后运用勾股定理求得AM、AB长，根据两角相等得到，解题即可；
（3）连接，设，即可得到平分，作于，设中边上的高为，可得，推理得到平分，同理可得，然后整理解题即可．
（1）证明：，
，
四边形内接于，
，
，
，
；
（2）解：连接、，
是直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
；
（3）解：连接，
设，
，
，，
，
，
，
平分，
作于，
，
，
，
，
设中边上的高为，
，
，
，
，
平分，
同理可得，
，
，
，
，
．
1 / 1A字相似模型—人教版数学九下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2023九上·福田期中）如图，利用标杆 测量建筑物的高度．已知标杆 高1.2 ，测得 =1.6 ， =12.4 .则建筑物 的高是（ ）
A．9.3 B．10.5 C．12.4 D．14
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得，△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE=1.2m，AB=1.6m，BC=12.4m，
∴，
解得，CD=10.5m.
故答案为：B.
【分析】根据题意得△ABE∽△ACD，利用相似三角形的性质得，代入数据计算即可求解.
2．（2024九下·温州模拟）如图，的边与相切于点，交于点，延长交于点，连接．若，，，则的长为（ ）
A．15 B． C． D．12
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的直径，
∴
∵
∴
在中，，
∵
∴即
∴
在中，；
∵即
∴
∴，
∴
∴，
故答案为：B.
【分析】连接，由勾股定理和垂径定理求出，然后根据平行线得到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
3．（2024·宁海）如图，在纸片中，，，，点，分别在，上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则的长为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：作DH⊥BC于H，
在Rt△ABC纸片中， ∠ACB =90°，
由勾股定理得：
∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，
∴AD=DF， ∠A=∠DFE，
∵FD平分∠EFB，
∴∠DFE=∠DFH，
∴∠DFH=∠A，
设DH=3x，
在Rt△DHF中，
∴DF =5x，
∴BD=5-5x，
∵△BDH∽△BAC，
故答案为：D.
【分析】由翻折得出AD=DF，∠A=∠DFE， 再根据FD平分∠EFB， 得出∠DFH =∠A， 即可得到△BDH∽△BAC，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
4．（2024九上·拱墅期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
【答案】B
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
设⊙O的半径为r，则，，
∵，
∴，，
∵AC是⊙O的直径，，，
∴，
在中， ，即，
解得，
∴， ， ，
在和中，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：B．
【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，先利用垂径定理、勾股定理求出r的值，再根据线段的和差求出CE的长，根据勾股定理可求出BC的长，然后利用相似三角形的判定与性质即可求得OF的长度．
5．（2024九上·顺义期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
∵，
∴，
，
则①②得，
，
，
∵，，
，
解得，
故答案为：B．
【分析】证明得到，然后证明得到，利用①+②解题即可．
6．如图， 在 Rt 中，， 半径为 5 的 与 分别相切于点， 与交于点， 则MN 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：连接OM、ON、OE、OF，OE、OF分别交AB于点P，点Q，过点O作OH⊥AB于点H，如图，
则OE⊥AC，OF⊥BC，
∵∠ACB=90°，OE=OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF=5，
∵AC=8，BC=6，
∴AE=AC-CE=8-5=3，BF=BC-CF=6-5=1，
∵PE∥BC，QF∥AC，
∴△AEP∽△ACB，△BFQ∽△BCA，
∴，，
即，，
∴，，
故，，
在Rt△OPQ中，，
∵，
故，
解得：，
在Rt△OMH中，，
则.
故答案为：D.
【分析】连接OM、ON、OE、OF，OE、OF分别交AB于点P，点Q，过点O作OH⊥AB于点H，则OE⊥AC，OF⊥BC，根据三个角是直角，且邻边相等的四边形是正方形得出四边形OECF是正方形，根据正方形的四条边都相等得出CE=CF=OE=OF=5，求出AE=3，BF=1，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△AEP∽△ACB，△BFQ∽△BCA，根据相似三角形的边对应成比例求出，，得出，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，根据三角形的面积求出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，根据垂直于弦的直径平分弦，得出.
二、填空题
7．（2025九上·鹿城期末）如图，在矩形中，，E为边上一点，正方形的顶点P，Q分别在线段上，M，N在边上，若A，P，M三点恰好在同一直线上，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示：延长交于点，则.
根据题意得：四边形为矩形，
∴，
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
，
∴，
∴，
解得：，
∵三点恰好在同一直线上，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
，
∴，
∴，即
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】延长交于点，则；因为三点共线，则，即；由可算出PN的长，则MN、BN、PF、AF都可知；再利用可算出EF长，则AE＝AF+FE。主要是相似三角形的判定与性质的综合应用。
8．（2024九上·成都期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，锐角顶点在轴上，其中点的坐标为，点的坐标为，点是斜边的三等分点，双曲线正好经过，两点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；A字型相似模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作轴于，轴于，轴于，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴ 即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线正好经过，两点，
∴，
故答案为：．
【分析】作轴于，轴于，轴于，利用平行得到，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出，，即可得出，代入解析式求出即可解题．
9．（2024九上·成都期末）如图，现有测试距离为的一张视力表，表上一个的高为，要制作测试距离为的视力表，其对应位置的的高为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用；A字型相似模型
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行得到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
10．（2024九上·瑞安期末）如图，在中，，分别交边于点，连结交于点，若的面积为3，的面积为13，则的值为 ；的面积为 ．
【答案】；
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，设点到的高为，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，整理得，，
∴，
∴，
解得，，，
检验，当，时，原分式方程有意义，
当时，；
当时，，不符合题意，舍去；
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：①；②．
【分析】设点到的高为，根据三角形的面积可得，然后证明，，即可得到，然后设，即可得到，再过点作于点，利用面积得到，即可得到，解出a的值即可解题．
三、解答题
11．如图， 在 中， 分别为边 上的点， 已知 ， 求证： ．
【答案】证明：在△ADE与△ACB中
∠ADE=∠C，∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】利用相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似，可证.
12．如图， 在矩形 中， ， 点 在边 上， 于点 ．若 ， 求 的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AD=BC=2AB
∵EF⊥BD
∴EFD=90°
∴∠A=EFD=90°
在△ABD与△FED中
∠A=EFD=90°，∠BDA=EDF
∴△ABD∽△FED
∴
即：
∴DF=2
在Rt△EFD中，DF=2，EF=1
ED=
=
=
【知识点】勾股定理；矩形的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】由矩形的性质可得∠A=90°，AD=BC=2AB，再利用相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似，可证ABD∽△FED，最后利用勾股定理可求出ED .
13．（2024九上·上海市期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD＝2，，求线段DC的长；
(2)求证：EF·GB＝BF·GE.
【答案】(1)解：∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴FC＝3FD＝6，
∴DC＝FC－FD＝4.
(2)证明：
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，
∴，
.∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
∴，
∴EF·GB＝BF·GE.
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，
(1)根据AD∥BC，利用相似三角形的判定理可证明△DEF∽△CBF，利用相似三角形的性质：对应边成比例可得：，代入数据进行可求出FC，利用线段的运算可求出DC的长，
(2)根据AD∥BC，利用相似三角形的判定理可证明△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，利用相似三角形的性质：对应边成比例由已知条件得出AE=DE，因此，通过变形可得出结论.
14．（2024九下·宁波模拟）在中，，D是边上一点，过点D作交于点F，E为上任意一点，连结交于点G，连结．
（1）求证：．
（2）若，且平分，求的值．
【答案】（1）证明：由，可得，∴，
同理，
∴即．
（2）解：由平分，可得．由，可得，
∴，
∴．
由（1）知，．
由，可得．
∴．
【知识点】A字型相似模型；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由两直线平行同位角相等可证，则；同理，；所以，即；
（2）由DF//BC知，；由CD平分知，，则，即；由和知，；所以.
（1）证明：由，可得，
∴，
同理，
∴即．
（2）解：由平分，可得．
由，可得，
∴，
∴．
由（1）知，．
由，可得．
∴．
四、综合题
15．（2024九上·杭州期末）如图1，已知内接于，，延长交于点，交于点，是劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）如图2，连接分别交和于点和点，若，且，请用含的值表示的值（不需要写出过程）．
【答案】（1）证明：，
，
四边形内接于，
，
，
，
；
（2）解：连接、，
是直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
；
（3）解：连接，
设，
，
，，
，
，
，
平分，
作于，
，
，
，
，
设中边上的高为，
，
，
，
，
平分，
同理可得，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，然后根据圆内接四边形对角互补求出，即可得到结论；
（2）连接、，根据直径得到，然后得到，即可得到，，然后运用勾股定理求得AM、AB长，根据两角相等得到，解题即可；
（3）连接，设，即可得到平分，作于，设中边上的高为，可得，推理得到平分，同理可得，然后整理解题即可．
（1）证明：，
，
四边形内接于，
，
，
，
；
（2）解：连接、，
是直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
；
（3）解：连接，
设，
，
，，
，
，
，
平分，
作于，
，
，
，
，
设中边上的高为，
，
，
，
，
平分，
同理可得，
，
，
，
，
．
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