8字相似模型—人教版数学九下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2023九上·富阳期末）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】易证△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
2．（2024九下·宁波模拟）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故答案为：B．
【分析】根据平行线得到，求出，然后利用，可以得到，利用相似三角形的对应边成比例求出，再在中利用勾股定理解题即可．
3．（2024九下·宁波模拟）如图，正方形中，点E，G是的三等分点，点F，H是的三等分点．记阴影部分面积为，正方形面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，
∵点F是的三等分点，点G是是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，，则，
∴，
∴，中的阴影部分面积为，
∴，
故答案为：D．
【分析】设，由平行线分线段成比例定理逆用证明FG∥BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△OFG∽△OBC，由相似三角形对应边成比例及正方形性质推出，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似证明△PFG∽△PCB，由相似三角形对应边成比例推出，由相似三角形面积的比等于相似比的平方及同高三角形的面积比等于对应底的比可求出△PBC、△PBF的面积，进而即可得到△GBF及OGF的面积，从而即可解决此题.
4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 如图所示， 过点 作 的垂线交小正方形对角线 的延长线于点 ，连接 ， 延长 交 于点 ． 若 ， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作，易证四边形DFMG是正方形，
设BE=a，
，
由题意可得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】作，易证四边形DFMG是正方形，设BE=a，由题意可得，，利用勾股定理求得，再通过平行线的性质证得，进而求得，然后通过三角形中位线的性质求得HT的长度，进而求得，即可求得 的值 .
5．（2024九上·乐业期中）如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，交于点，且，，连接．下列结论：；；；． 其中正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故正确，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误；
设，则，，，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，，
∴，故正确，
综上可知：正确，
故答案为：B
【分析】证明，推出，再利用三角形中位线定理可判断；证明推出可判断；设，求出，可判断；求出，，（用表示），通过计算证明可判断．
二、填空题
6．（2024九上·郴州期末）如图，在平行四边形中， ，设和的面积分别为若，则
【答案】36
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：36．
【分析】先得到，即可得到，解题即可．
7．（2024九下·宁波模拟）如图，射线都与线段垂直，点E在上，过点A作的垂线，分别交于点F、C，过点C作于点D.若，则 .
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设；
∵，
∴；
∴；
∴；
在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
∴，即，
∴，解得或（舍去）；
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的性质与判定、直角三角形的性质、相似三角形的性质．设，根据垂直的定义可证明，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，利用垂直的定义可得，再结合，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，联立，可列出方程， 解方程可求出或（舍去）； 再根据，代入数据进行计算可求出答案.
三、解答题
8．（2024九上·杭州期中）如图，点D、E是△ABC边AB、AC的中点，连接BE，点G是线段BE的中点，连接CG并延长，交ED的延长线于点，交AB于点.
（1）求的值；
（2），求HG的长.
【答案】（1）解： ∵点D、E是△ABC边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC， BC=2DE，
∴∠BCG =∠F， ∠CBG =∠FEG，
∵点G是线段BE的中点，
∴BG=EG，
在△BCG和△EFG中，
，
∴△BCG≌△EFG(AAS)，
∴BC = EF， CG=FG，
∵BC=2DE，
∴BC =EF =DF+DE=2DE，
∴DF=DE，
∴BC=2DF，
又∵DE∥BC，
∴∠F=∠FCB，∠FDB=∠DBC，
∴△FHD∽△CHB，
∴；
（2）解：∵CF=18，
∴CG=FG=9， CH=CF-FH=18-FH，
∵
∴FH：(18-FH)=1：2，
∴FH=6，
∴HG=FG-FH =9-6=3.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)先得到DE是△ABC的中位线， 则DE∥BC，BC =2DE， 证明△BCG和△EFG全等DEBC =EF， 则BC=2DF， 然后根据△FHD∽△CHB即可得出结论；
(2)先求出CG=FG=9，CH=CF-FH=18-FH， 再根据 (1) 的结论得FH：CH=DF：BC， 则FH：(18–FH)=1：2， 由此可求出FH， 进而即可得出HG的长.
9．（2024九下·浙江模拟）如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O．
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，且，，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵ （已知），
（对顶角相等），
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据角的和差证明，再根据两个角相等的两个三角形相似即可得出结论；
（2）先根据根据两个角相等的两个三角形相似证明，得出，再根据，即可得出结论．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
10．（2024九下·长沙模拟）如图，D，E为中边上两点，过D作交的延长线于点A，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，，
又∵，
∴
（2）解：∵，∴，
∴，即，
解得，，
∴的长为
【知识点】三角形全等的判定-AAS；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据，得到，，然后利用AAS证明结论解题；
（2）根据平行得到，即可得到，代入数值计算解题．
11．（2025九上·镇海区期末）如图1所示，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，连接，和，H为与的交点．
（1）求证：；
（2）连接交于点M，
①如图2，若恰好经过点，，，求的长度；
②如图3，过点A作，连结EN，若，，，请用含的代数式表示的长度．
【答案】（1）解：∵是直径，，
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，
∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到，再根据圆周角定理的推论解题即可；
（2）①如图：连接，即可得到，然后得到，可以证明、，即可得到，然后根据正弦求出，即可得到，然后得到，再利用勾股定理解题即可；
②先得到，即可得到，然后证明，可以得到，即可得到，然后根据得到，解得；然后求出OD、OE的值，再利用勾股定理和垂径定理解题．
（1）解：∵是直径，，
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，
∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
四、实践探究题
12．（2024九上·宝安期中）【问题初探】数学课上，老师提出如下问题：
如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，CD的中点，AF与BE相交于点G，求AG的值经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路：
小明：可以过中点作平行线，过点E作EH//AB交AF于点H，如图2所示，或者过点F作FK∥AD交A8于点K，交BE于点Q，如图3所示.
小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长BE交CD的延长线于点P.
（1）请根据上述两位同学的思路，选择其中一种思路，求出的值.
（2）【类比分析】
老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形ABCD改成菱形ABCD，其余条件不变，那么的值是否改变 请说明理由.
（3）【学以致用】
如图6，已知正方形ABCD中心为点，边长为4，另一边长为的正方形EFGH的中心与点重合，连接CE，设CE的中点为，将正方形EFGH绕点旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出OM的长.
【答案】（1）解：如图4，延长BE角CD的延长线于点P
∵矩形ABCD，
∴AB∥PC，AB＝DC，
∠ABE＝∠P，∠BAE＝∠PAD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△ABE≌△DPE（AAS），
∴AB＝PD，
∵AB∥PC，
，
∵F为CD的中点，
，
.
（2）解：不变.
理由如下：设AF的中点为O，连接OE，如解图1 所示，
∵E是AD的中点，
∴EO是△ADF 的中位线
，
∴△ABG∽△OEG，
，
，
，
.
（3）解： 或 .
【知识点】相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）理由：连接AC，AE，如解图7，8所示．
∵O，M分别是AC，EC的中点，
∴OM是△ACE 的中位线，OM＝AE，
由题意可得点E的运动路径是以点B为圆心，以BE的长为半径的圆，
当A，E，F三点共线时，分以下两种情况进行讨论，
①当点E在线段AF上 时，连接BE，过点B作BN⊥EF于点N，如解图7所示，
∵∠BEN＝45°，
∴BN＝，
∵AB＝4，
∴在 Rt△ABN中，AN2＝AB2-BN2，
∴AN＝，
∴AE＝，
∴OM＝；
②当点F在线段AE 上时，连接BE，过点B作BN⊥EF，如解图8所示，
∵∠BEN＝45°，
∴BN＝，
∵AB＝4，
∴在Rt△ABN 中，AN2＝AB2-BN2，
∴AN＝．
∴AE＝，
∴OM＝．
综上所述，OM的长为 或 .
【分析】（1）延长BE角CD的延长线于点P，先证出△ABE≌△DPE（AAS），可得AB＝PD，再利用平行性分线段成比例的性质可得，再将数据代入可得，最后求出即可；
（2）设AF的中点为O，连接OE，先证出△ABG∽△OEG，再利用相似三角形的性质可得，再结合AO=FO，求出即可；
（3）分类讨论：①当点E在线段AF上 时，连接BE，过点B作BN⊥EF于点N，②当点F在线段AE 上时，连接BE，过点B作BN⊥EF，再利用勾股定理列出方程求解即可.
1 / 18字相似模型—人教版数学九下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2023九上·富阳期末）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024九下·宁波模拟）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·宁波模拟）如图，正方形中，点E，G是的三等分点，点F，H是的三等分点．记阴影部分面积为，正方形面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 如图所示， 过点 作 的垂线交小正方形对角线 的延长线于点 ，连接 ， 延长 交 于点 ． 若 ， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·乐业期中）如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，交于点，且，，连接．下列结论：；；；． 其中正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2024九上·郴州期末）如图，在平行四边形中， ，设和的面积分别为若，则
7．（2024九下·宁波模拟）如图，射线都与线段垂直，点E在上，过点A作的垂线，分别交于点F、C，过点C作于点D.若，则 .
三、解答题
8．（2024九上·杭州期中）如图，点D、E是△ABC边AB、AC的中点，连接BE，点G是线段BE的中点，连接CG并延长，交ED的延长线于点，交AB于点.
（1）求的值；
（2），求HG的长.
9．（2024九下·浙江模拟）如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O．
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积．
10．（2024九下·长沙模拟）如图，D，E为中边上两点，过D作交的延长线于点A，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
11．（2025九上·镇海区期末）如图1所示，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，连接，和，H为与的交点．
（1）求证：；
（2）连接交于点M，
①如图2，若恰好经过点，，，求的长度；
②如图3，过点A作，连结EN，若，，，请用含的代数式表示的长度．
四、实践探究题
12．（2024九上·宝安期中）【问题初探】数学课上，老师提出如下问题：
如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，CD的中点，AF与BE相交于点G，求AG的值经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路：
小明：可以过中点作平行线，过点E作EH//AB交AF于点H，如图2所示，或者过点F作FK∥AD交A8于点K，交BE于点Q，如图3所示.
小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长BE交CD的延长线于点P.
（1）请根据上述两位同学的思路，选择其中一种思路，求出的值.
（2）【类比分析】
老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形ABCD改成菱形ABCD，其余条件不变，那么的值是否改变 请说明理由.
（3）【学以致用】
如图6，已知正方形ABCD中心为点，边长为4，另一边长为的正方形EFGH的中心与点重合，连接CE，设CE的中点为，将正方形EFGH绕点旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出OM的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】易证△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
2．【答案】B
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故答案为：B．
【分析】根据平行线得到，求出，然后利用，可以得到，利用相似三角形的对应边成比例求出，再在中利用勾股定理解题即可．
3．【答案】D
【知识点】正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，
∵点F是的三等分点，点G是是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，，则，
∴，
∴，中的阴影部分面积为，
∴，
故答案为：D．
【分析】设，由平行线分线段成比例定理逆用证明FG∥BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△OFG∽△OBC，由相似三角形对应边成比例及正方形性质推出，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似证明△PFG∽△PCB，由相似三角形对应边成比例推出，由相似三角形面积的比等于相似比的平方及同高三角形的面积比等于对应底的比可求出△PBC、△PBF的面积，进而即可得到△GBF及OGF的面积，从而即可解决此题.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作，易证四边形DFMG是正方形，
设BE=a，
，
由题意可得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】作，易证四边形DFMG是正方形，设BE=a，由题意可得，，利用勾股定理求得，再通过平行线的性质证得，进而求得，然后通过三角形中位线的性质求得HT的长度，进而求得，即可求得 的值 .
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故正确，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误；
设，则，，，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，，
∴，故正确，
综上可知：正确，
故答案为：B
【分析】证明，推出，再利用三角形中位线定理可判断；证明推出可判断；设，求出，可判断；求出，，（用表示），通过计算证明可判断．
6．【答案】36
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：36．
【分析】先得到，即可得到，解题即可．
7．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设；
∵，
∴；
∴；
∴；
在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
∴，即，
∴，解得或（舍去）；
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的性质与判定、直角三角形的性质、相似三角形的性质．设，根据垂直的定义可证明，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，利用垂直的定义可得，再结合，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，联立，可列出方程， 解方程可求出或（舍去）； 再根据，代入数据进行计算可求出答案.
8．【答案】（1）解： ∵点D、E是△ABC边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC， BC=2DE，
∴∠BCG =∠F， ∠CBG =∠FEG，
∵点G是线段BE的中点，
∴BG=EG，
在△BCG和△EFG中，
，
∴△BCG≌△EFG(AAS)，
∴BC = EF， CG=FG，
∵BC=2DE，
∴BC =EF =DF+DE=2DE，
∴DF=DE，
∴BC=2DF，
又∵DE∥BC，
∴∠F=∠FCB，∠FDB=∠DBC，
∴△FHD∽△CHB，
∴；
（2）解：∵CF=18，
∴CG=FG=9， CH=CF-FH=18-FH，
∵
∴FH：(18-FH)=1：2，
∴FH=6，
∴HG=FG-FH =9-6=3.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)先得到DE是△ABC的中位线， 则DE∥BC，BC =2DE， 证明△BCG和△EFG全等DEBC =EF， 则BC=2DF， 然后根据△FHD∽△CHB即可得出结论；
(2)先求出CG=FG=9，CH=CF-FH=18-FH， 再根据 (1) 的结论得FH：CH=DF：BC， 则FH：(18–FH)=1：2， 由此可求出FH， 进而即可得出HG的长.
9．【答案】（1）证明：∵，且，，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵ （已知），
（对顶角相等），
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据角的和差证明，再根据两个角相等的两个三角形相似即可得出结论；
（2）先根据根据两个角相等的两个三角形相似证明，得出，再根据，即可得出结论．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
10．【答案】（1）证明：∵，∴，，
又∵，
∴
（2）解：∵，∴，
∴，即，
解得，，
∴的长为
【知识点】三角形全等的判定-AAS；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据，得到，，然后利用AAS证明结论解题；
（2）根据平行得到，即可得到，代入数值计算解题．
11．【答案】（1）解：∵是直径，，
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，
∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到，再根据圆周角定理的推论解题即可；
（2）①如图：连接，即可得到，然后得到，可以证明、，即可得到，然后根据正弦求出，即可得到，然后得到，再利用勾股定理解题即可；
②先得到，即可得到，然后证明，可以得到，即可得到，然后根据得到，解得；然后求出OD、OE的值，再利用勾股定理和垂径定理解题．
（1）解：∵是直径，，
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，
∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．【答案】（1）解：如图4，延长BE角CD的延长线于点P
∵矩形ABCD，
∴AB∥PC，AB＝DC，
∠ABE＝∠P，∠BAE＝∠PAD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△ABE≌△DPE（AAS），
∴AB＝PD，
∵AB∥PC，
，
∵F为CD的中点，
，
.
（2）解：不变.
理由如下：设AF的中点为O，连接OE，如解图1 所示，
∵E是AD的中点，
∴EO是△ADF 的中位线
，
∴△ABG∽△OEG，
，
，
，
.
（3）解： 或 .
【知识点】相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）理由：连接AC，AE，如解图7，8所示．
∵O，M分别是AC，EC的中点，
∴OM是△ACE 的中位线，OM＝AE，
由题意可得点E的运动路径是以点B为圆心，以BE的长为半径的圆，
当A，E，F三点共线时，分以下两种情况进行讨论，
①当点E在线段AF上 时，连接BE，过点B作BN⊥EF于点N，如解图7所示，
∵∠BEN＝45°，
∴BN＝，
∵AB＝4，
∴在 Rt△ABN中，AN2＝AB2-BN2，
∴AN＝，
∴AE＝，
∴OM＝；
②当点F在线段AE 上时，连接BE，过点B作BN⊥EF，如解图8所示，
∵∠BEN＝45°，
∴BN＝，
∵AB＝4，
∴在Rt△ABN 中，AN2＝AB2-BN2，
∴AN＝．
∴AE＝，
∴OM＝．
综上所述，OM的长为 或 .
【分析】（1）延长BE角CD的延长线于点P，先证出△ABE≌△DPE（AAS），可得AB＝PD，再利用平行性分线段成比例的性质可得，再将数据代入可得，最后求出即可；
（2）设AF的中点为O，连接OE，先证出△ABG∽△OEG，再利用相似三角形的性质可得，再结合AO=FO，求出即可；
（3）分类讨论：①当点E在线段AF上 时，连接BE，过点B作BN⊥EF于点N，②当点F在线段AE 上时，连接BE，过点B作BN⊥EF，再利用勾股定理列出方程求解即可.
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