【精品解析】一线三等角相似模型—人教版数学九下解题模型专项训练

一线三等角相似模型—人教版数学九下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2024九上·八步期末）如图，在线段上取点，使得，若，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
2．如图， 在矩形 中， ， 若 是边 的中点， 连结 ， 过点 作 交 于点 ， 则 的长为（　　）
A．1.8 B．2.2 C．2.4 D．2.8
3．如图， 在边长为 4 的等边三角形 中， 是 边上的一个动点， 沿过点 的直线折叠 ， 使点 落在 边上的点 外， 折痕交 于点 ， 当 时， 则 的长是（　　）
A． B． C．2 D．
4．（2024·苏州）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在等腰中，4，点是BC的中点，作分别交AC于点，交BA的延长线于点，若，则AF的长为（　　）
A． B． C． D．1
6．如图， 面积为 36 的正方形 中， 有一个小正方形 ， 其中 分别在 上， 若 ， 则小正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在四边形ABCD中，交AC于点E，ED，则AE的长为　 　.
8．如图，已知A 是反比例函数的第一象限的图象上的一个动点，连结AO 并延长交该图象另一支于 点B，以AB 为边作等边三角形ABC，点C在第四象限，记点 C的运动轨迹为l.
（1）若点C的坐标为（x，y），则l的函数表达式为　 　.
（2）过点A 作AD∥y 轴交l 于点D，过点A 作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y 轴于点N，则四边形ADNM 的周长的最小值为　 　
三、解答题
9．如图， 在等边 中， 点 ， 分别在 边上， 连接 ， 且 ．
（1） 求证： ；
（2） 添加一个条件 ， 求证： ．
10．如图， 为等边三角形， 点 在线段 的延长线上， 点 在线段 的延长线上， 连结 ．
（1）求证： ．
（2） 若 ， 求 的长．
11．如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 是梯形， ， 点 为 轴上的一个动点，点 不与点 重合． 连结 ， 过点 作 交 于点 ．
（1） 直接写出点 的坐标：
（2） 当点 在线段 上运动时， 使得 ， 且 ： ， 则点 的坐标为
12．已知点 在 延长线上， 且 ．
（1） 如图 1，若 ， 求证： ．
（2） 如图 2， 若 ∥， 若 ， 则 的值为　 　
（3） 如图 3， 连结 AE， 若 ， 求证 ： ．
四、实践探究题
13．（2024·齐齐哈尔）综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是　 　；
（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；
（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则　 　；
（4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使，请直接写出线段AP的长度．
14．在 中， ， ， 直线 经过点 ， 过点 分别作 的垂线， 垂足分别为点 ．
（1） 特例体验： 如图 W6-10①， 若直线 ， 分别求出线段 和 的长．
（2） 规律探究：
（Ⅰ） 如图②， 若直线 从图①状态开始绕点 旋转 ， 请探究线段 和 的数量关系并说明理由；
（Ⅱ） 如图③， 若直线 从图①状态开始绕点 顺时针旋转 ， 与线段 相交于点 ， 请再探究线段 和 的数量关系并说明理由．
（3） 尝试应用： 在图③中， 延长线段 交线段 于点 ． 若 ， 求 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠CAD＝∠1＋∠BAD＝∠3＋∠ECA，∠1＝∠3，
∴∠ECA＝∠BAD，
∵∠2＝∠3，
∴△CEA∽△ADB，
∴，
∵AE＝1，AD＝2AE，
∴AD＝2，
∵CE＝6，
∴BD＝，
故答案为：A．
【分析】先证出△CEA∽△ADB，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出BD的长即可.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵等边的边长为4，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=4，
根据折叠的性质，得∠DFE=∠A=60°，
∴∠DFB+∠EFC=180°-60°=120°，
∵∠B=60°，
∴∠DFB+∠BDF=180°-60°=120°，
∴∠EFC=∠BDF，
∴，
∴，
又∵AC=BC=4，，BF=1，
∴，CF=BC-BF=4-1=3，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质、折叠的性质，得∠A=∠B=∠C=∠DFE=60°，AB=AC=BC=4，然后利用”一线三等角“模型证出∠EFC=∠BDF，从而有，根据相似三角形的性质得，然后求出CF、CE的值，代入求出BD的值，最后求AD=AB-BD的值即可.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：过点A和点B作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M，N.
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=∠AMN=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，∠AOM+∠BON=90°，
∴∠OAM=∠BON，
∴△AOM∽OBN，
∴，
设，即，
设点A(-a，b)，即OM=a，MA=b，
∴，
∴点B(kb，ka)
此时将点A(-a，b)代入函数，即有，
将点B代入函数，即有，解得k=2（负值舍去），
∴，即.
故选：A.
【分析】为直接利用坐标系点的坐标，分别过A，B作x轴的垂线，利用相似将转化为点的横纵坐标比值，从而利用两已知函数建立等量关系得出其比值从而计算出的值.
5．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：，
，
点是BC的中点，，
，
， ，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形的性质求得及BD、CD的长度，再通过三角形的外角性质证得，进而证得，然后利用相似三角形的性质求得BF的长度，从而计算出AF的长度.
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为36，
∴BC=CD=6，∠B=∠C=90°，
∴∠EFB+∠BEF=90°，
∵BF=2，
∴CF=4，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EFG=90°，
∴∠EFB+∠DFC=90°，
∴∠BEF=∠DFC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴小正方形的边长为，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积得BC=CD=6，根据正方形的性质得∠B=∠C=∠EFG=90°，接下来利用”一线三等角“模型证出∠BEF=∠DFC，从而得，根据相似三角形的性质得，从而求出BE的值，最后利用勾股定理求出EF的值即可.
7．【答案】
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：如图，作，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】作，易证是等腰直角三角形，进而求得EF的长度，再通过相似三角形的性质证得，然后求得AE的长度.
8．【答案】（1）
（2）
【知识点】反比例函数的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：(1)如图，作，连接OC，
设，
直线AB交反比例函数于A、B两点，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的函数表达式为.
故答案为：.
(2)如图，
轴，，
，
，
，
，
，
，
当时，周长有最小值，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)利用反比例函数图象的性质可得OA=OB，再通过等边三角形的性质求得，作，构造''一线三垂直''相似模型，利用直角三角形的性质证得，然后通过相似三角形的性质表示出点C的横、纵坐标，即可得到l的函数表达式.
(2)由轴，可得，进而表示出四边形ADNM的周长，观察代数式可得当时，周长有最小值.
9．【答案】（1）证明：为等边三角形，
（2）DE=EF；
证明：由（1）得，，
又∵，
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和和平角的定义得到，即可得到结论；
（2）利用AAS证明两三角形全等即可．
10．【答案】（1）证明： 为等边三角形，
， 即 ，
又 ，
．
（2）解：．
为等边三角形， ．
由 (1) 知 ，
即 ．
【知识点】等边三角形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
11．【答案】（1）
（2） 或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)过点C，B分别作x轴的垂线，垂足分别是E，F，
则∠CEO=90°，∠BFA=90°，
又BC//OA，
∴∠CBF=∠AFB=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE=BF，BC=EF，
又OC=BA，
∴△OCE≌△ABF（HL），
∴OE=AF，
又OA=7，BC=1，OA=OE+AF+EF，
∴2OE+1=7，解得OE=3，
∴CE=.
又BC=1，OE=3，
∴OF=4，
∴点B的坐标为（4，4）.
故答案为：（4，4）；
（2）∵△OCE≌△ABF，
∴∠OAB=∠AOC，
∵，
∴∠CPD=∠AOC，
∵∠OPC+∠CPD+∠APD=180°，
∠OPC+∠AOC+∠OCP=180°，
∴∠APD=∠OCP，
又∠OAB=∠AOC，
∴△OCP∽△APD，
∴OP：AD=OC：PA，
又BD：AD=3：2，BD+AD=AB=5，
解得AD=2，BD=3，
∴OP：2=5：PA，
又OP+PA=OA=7，
解得OP=2，或5，
∴ 点 的坐标为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）过点C，B分别作x轴的垂线，垂足分别是E，F，先利用HL定理证明△OCE≌△ABF，再求得OE，然后利用勾股定理求得CE，再求得OF，最后写出点B的坐标；
(2)先证明△OCP∽△APD，列出比例式求出OP，再写出点P的坐标.
12．【答案】（1）证明：∵∠A=∠DBE，∠A=∠C，
∴∠A=∠DBE=∠C，
∵∠ADB+∠DBA+∠A=180°，∠DBA+∠DBE+∠EBC=180°，
∴∠ADB=∠EBC，
∴；
（2）
（3）证明：如图，延长AB到点F，连接EF，使得∠F=∠DAB，
∵∠DAB=∠DBE，
∴∠DAB=∠DBE=∠F，
由（1）同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
设 ， 则 ，
∴EF=2m，
∴，
∴，
∵∠F=∠DAB，
∴，
∴，
∴AE=2BD.
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：（2）如图，过点E作EF⊥EC交AC于点F，
∴∠FEC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠BFE=∠C+∠FEC=45°+90°=135°，∠CFE=45°，
∴∠CFE=∠C，
∴EF=EC，
∵CE∥AD，
∴∠DAB+∠C=180°，
∴∠DAB=180°-45°=135°，
∴∠DAB=∠BFE，
∵∠DAB=∠DBE，
∴∠DAB=∠BFE=∠DBE，
由（1）同理可证，
∴，
又∵，
∴，
设EF=EC=x，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）易证∠A=∠DBE=∠C，然后利用”一线三等角“证出∠ADB=∠EBC，即可证得；
（2）过点E作EF⊥EC交AC于点F，得∠FEC=90°，从而求出∠BFE=135°，∠CFE=45°=∠C，进而得EF=EC，然后根据平行线的性质得∠DAB=135°=∠BFE=∠DBE，由（1）同理证出，根据相似三角形的性质得，设EF=EC=x，然后求CF、BF的值，从而得BC的值，最后进行化简即可；
（3）延长AB到点F，连接EF，使得∠F=∠DAB，得∠DAB=∠DBE=∠F，由（1）同理证出，接下来根据相似三角形的性质得，，从而有，设AD=m，接下来求出AB、BF的值，得EF、AF的值，然后求出，进而判定，得，即可得证AE=2BD.
13．【答案】（1）AB＝DE
（2）解：∵将线段BC绕点B顺时针旋转得到线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∵∠A=90°，
∴∠CBA+∠ACB=90°，
∴∠DBE=∠ACB，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠A=∠DEB，
在和中，
，
∴，
∴DE＝AB，BE＝AC，
∵AB＝2，AC＝6 ，
∴DE＝2，BE＝6，
∴AE＝AB＋BE＝2＋6＝8，
∵∠DEB＋∠A＝180°，
∴ ，
∴△DEF∽△CAF，
∴ ，
∴，
∴EF＝4 ，
∴BF＝BE＋EF＝6＋4＝10，
∴；
（3）
（4）解：线段AP的长度为或.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；正切的概念
【解析】【解答】解：（1）∵将线段BC绕点B顺时针旋转得到线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∵∠A=90°，
∴∠CBA+∠ACB=90°，
∴∠DBE=∠ACB，
∵DE⊥AB，
∴∠E=90°，
∴∠A=∠E，
在和中，
，
∴，
∴AB=DE，
故答案为：AB=DE；
（3）如图，过点N作NM⊥AE于M，
∴∠NME=∠NMB=90°，
∵∠A=90°，
∴∠NME=∠NMB=∠A，
∴AC∥NM，
∴，
∴，即，
∴，
由（2）有DE∥AC，BE=6，DE=2，∠ACB=∠DBE，
∴MN∥DE，
∴，
∴，即，
解得，
又∵∠NMB=∠A，∠ACB=∠DBE，
∴，
∴；
故答案为：
（4）如图，当点P在点A左侧时，过点P作PQ⊥CB于Q，
∴∠PQC=∠PQB=90°，
∵∠CAB=90°，AC=6，AB=2，
∴，，
∴PQ=3BQ，
设BQ=x，则PQ=3x，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
如图，当点P在B点左侧时，过点P作PQ'⊥CB延长线于Q'，
∴∠BQ'P=90°，
∵∠ABC=∠Q'BP，
∴，
∴Q'P=3BQ'，
设BQ'=y，则Q'P=3y，
同理可得，，
∴BC+BQ'=CQ'，即，
解得，
∴，
∴，
综上所述，线段AP的长度为或.
【分析】（1）利用“一线三垂直”证，即可求解；
（2）利用“一线三垂直”证，得DE＝AB，BE＝AC，从而求出AE的长，再根据“同旁内角互补，两直线平行”证得DE∥AC，进而有△DEF∽△CAF，根据相似三角形的性质得，从而求出EF的长，接下来得BF的长，最后根据三角形面积公式求解即可；
（3）过点N作NM⊥AE于M，易证AC∥NM，得，再根据相似三角形的性质得，从而有，接下来再证MN∥DE，得，根据相似三角形的性质得，从而求出MN的长，然后利用“一线三垂直”相似模型易证，再次根据相似三角形的性质得，即可求解；
（4）根据题意，可知需分情况讨论：当点P在点A左侧时，过点P作PQ⊥CB于Q，利用三角函数的定义得，从而有PQ=3BQ，设BQ=x，则PQ=3x，再根据勾股定理求出PB的长，接下来利用三角函数的定义得，从而求出CQ的长，然后根据线段的和差关系列出关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解；当点P在B点左侧时，过点P作PQ'⊥CB延长线于Q'，与第一种情况的解法类似，同理即可求解.
14．【答案】（1）解：在 中， ，
（2）解：（Ⅰ） ． 理由如下：
在 Rt 中， ．
，
．
．
在 和 中，
．
．
．
（ Ⅱ ） ． 理由如下：
同 （Ⅰ） 可证 ．
（3）解：
．
．
，
．
．
．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）；异侧一线三等角全等模型（锐角）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质说明AD=BD，AE=CE，再利用等腰直角三角形的秘技求得DE；
（2）（Ⅰ）先写出三线段的数量关系，再证明：通过证明 和 的两角及一角的对边分别相等来证明全等，再证明成立；
（ Ⅱ ）先写出三线段的数量关系，再证明：先证明，再根据全等三角形的性质证明结果成立；
（3）先利用相似三角形的判定——AA来证明，再列出比例式求出BF，再利用三角形的面积求解.
1 / 1一线三等角相似模型—人教版数学九下解题模型专项训练
一、选择题
1．（2024九上·八步期末）如图，在线段上取点，使得，若，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠CAD＝∠1＋∠BAD＝∠3＋∠ECA，∠1＝∠3，
∴∠ECA＝∠BAD，
∵∠2＝∠3，
∴△CEA∽△ADB，
∴，
∵AE＝1，AD＝2AE，
∴AD＝2，
∵CE＝6，
∴BD＝，
故答案为：A．
【分析】先证出△CEA∽△ADB，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出BD的长即可.
2．如图， 在矩形 中， ， 若 是边 的中点， 连结 ， 过点 作 交 于点 ， 则 的长为（　　）
A．1.8 B．2.2 C．2.4 D．2.8
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
3．如图， 在边长为 4 的等边三角形 中， 是 边上的一个动点， 沿过点 的直线折叠 ， 使点 落在 边上的点 外， 折痕交 于点 ， 当 时， 则 的长是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵等边的边长为4，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=4，
根据折叠的性质，得∠DFE=∠A=60°，
∴∠DFB+∠EFC=180°-60°=120°，
∵∠B=60°，
∴∠DFB+∠BDF=180°-60°=120°，
∴∠EFC=∠BDF，
∴，
∴，
又∵AC=BC=4，，BF=1，
∴，CF=BC-BF=4-1=3，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质、折叠的性质，得∠A=∠B=∠C=∠DFE=60°，AB=AC=BC=4，然后利用”一线三等角“模型证出∠EFC=∠BDF，从而有，根据相似三角形的性质得，然后求出CF、CE的值，代入求出BD的值，最后求AD=AB-BD的值即可.
4．（2024·苏州）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：过点A和点B作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M，N.
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=∠AMN=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，∠AOM+∠BON=90°，
∴∠OAM=∠BON，
∴△AOM∽OBN，
∴，
设，即，
设点A(-a，b)，即OM=a，MA=b，
∴，
∴点B(kb，ka)
此时将点A(-a，b)代入函数，即有，
将点B代入函数，即有，解得k=2（负值舍去），
∴，即.
故选：A.
【分析】为直接利用坐标系点的坐标，分别过A，B作x轴的垂线，利用相似将转化为点的横纵坐标比值，从而利用两已知函数建立等量关系得出其比值从而计算出的值.
5．如图，在等腰中，4，点是BC的中点，作分别交AC于点，交BA的延长线于点，若，则AF的长为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：，
，
点是BC的中点，，
，
， ，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形的性质求得及BD、CD的长度，再通过三角形的外角性质证得，进而证得，然后利用相似三角形的性质求得BF的长度，从而计算出AF的长度.
6．如图， 面积为 36 的正方形 中， 有一个小正方形 ， 其中 分别在 上， 若 ， 则小正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为36，
∴BC=CD=6，∠B=∠C=90°，
∴∠EFB+∠BEF=90°，
∵BF=2，
∴CF=4，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EFG=90°，
∴∠EFB+∠DFC=90°，
∴∠BEF=∠DFC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴小正方形的边长为，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积得BC=CD=6，根据正方形的性质得∠B=∠C=∠EFG=90°，接下来利用”一线三等角“模型证出∠BEF=∠DFC，从而得，根据相似三角形的性质得，从而求出BE的值，最后利用勾股定理求出EF的值即可.
二、填空题
7．如图，在四边形ABCD中，交AC于点E，ED，则AE的长为　 　.
【答案】
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：如图，作，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】作，易证是等腰直角三角形，进而求得EF的长度，再通过相似三角形的性质证得，然后求得AE的长度.
8．如图，已知A 是反比例函数的第一象限的图象上的一个动点，连结AO 并延长交该图象另一支于 点B，以AB 为边作等边三角形ABC，点C在第四象限，记点 C的运动轨迹为l.
（1）若点C的坐标为（x，y），则l的函数表达式为　 　.
（2）过点A 作AD∥y 轴交l 于点D，过点A 作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y 轴于点N，则四边形ADNM 的周长的最小值为　 　
【答案】（1）
（2）
【知识点】反比例函数的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：(1)如图，作，连接OC，
设，
直线AB交反比例函数于A、B两点，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的函数表达式为.
故答案为：.
(2)如图，
轴，，
，
，
，
，
，
，
当时，周长有最小值，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)利用反比例函数图象的性质可得OA=OB，再通过等边三角形的性质求得，作，构造''一线三垂直''相似模型，利用直角三角形的性质证得，然后通过相似三角形的性质表示出点C的横、纵坐标，即可得到l的函数表达式.
(2)由轴，可得，进而表示出四边形ADNM的周长，观察代数式可得当时，周长有最小值.
三、解答题
9．如图， 在等边 中， 点 ， 分别在 边上， 连接 ， 且 ．
（1） 求证： ；
（2） 添加一个条件 ， 求证： ．
【答案】（1）证明：为等边三角形，
（2）DE=EF；
证明：由（1）得，，
又∵，
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和和平角的定义得到，即可得到结论；
（2）利用AAS证明两三角形全等即可．
10．如图， 为等边三角形， 点 在线段 的延长线上， 点 在线段 的延长线上， 连结 ．
（1）求证： ．
（2） 若 ， 求 的长．
【答案】（1）证明： 为等边三角形，
， 即 ，
又 ，
．
（2）解：．
为等边三角形， ．
由 (1) 知 ，
即 ．
【知识点】等边三角形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
11．如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 是梯形， ， 点 为 轴上的一个动点，点 不与点 重合． 连结 ， 过点 作 交 于点 ．
（1） 直接写出点 的坐标：
（2） 当点 在线段 上运动时， 使得 ， 且 ： ， 则点 的坐标为
【答案】（1）
（2） 或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)过点C，B分别作x轴的垂线，垂足分别是E，F，
则∠CEO=90°，∠BFA=90°，
又BC//OA，
∴∠CBF=∠AFB=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE=BF，BC=EF，
又OC=BA，
∴△OCE≌△ABF（HL），
∴OE=AF，
又OA=7，BC=1，OA=OE+AF+EF，
∴2OE+1=7，解得OE=3，
∴CE=.
又BC=1，OE=3，
∴OF=4，
∴点B的坐标为（4，4）.
故答案为：（4，4）；
（2）∵△OCE≌△ABF，
∴∠OAB=∠AOC，
∵，
∴∠CPD=∠AOC，
∵∠OPC+∠CPD+∠APD=180°，
∠OPC+∠AOC+∠OCP=180°，
∴∠APD=∠OCP，
又∠OAB=∠AOC，
∴△OCP∽△APD，
∴OP：AD=OC：PA，
又BD：AD=3：2，BD+AD=AB=5，
解得AD=2，BD=3，
∴OP：2=5：PA，
又OP+PA=OA=7，
解得OP=2，或5，
∴ 点 的坐标为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）过点C，B分别作x轴的垂线，垂足分别是E，F，先利用HL定理证明△OCE≌△ABF，再求得OE，然后利用勾股定理求得CE，再求得OF，最后写出点B的坐标；
(2)先证明△OCP∽△APD，列出比例式求出OP，再写出点P的坐标.
12．已知点 在 延长线上， 且 ．
（1） 如图 1，若 ， 求证： ．
（2） 如图 2， 若 ∥， 若 ， 则 的值为　 　
（3） 如图 3， 连结 AE， 若 ， 求证 ： ．
【答案】（1）证明：∵∠A=∠DBE，∠A=∠C，
∴∠A=∠DBE=∠C，
∵∠ADB+∠DBA+∠A=180°，∠DBA+∠DBE+∠EBC=180°，
∴∠ADB=∠EBC，
∴；
（2）
（3）证明：如图，延长AB到点F，连接EF，使得∠F=∠DAB，
∵∠DAB=∠DBE，
∴∠DAB=∠DBE=∠F，
由（1）同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
设 ， 则 ，
∴EF=2m，
∴，
∴，
∵∠F=∠DAB，
∴，
∴，
∴AE=2BD.
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：（2）如图，过点E作EF⊥EC交AC于点F，
∴∠FEC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠BFE=∠C+∠FEC=45°+90°=135°，∠CFE=45°，
∴∠CFE=∠C，
∴EF=EC，
∵CE∥AD，
∴∠DAB+∠C=180°，
∴∠DAB=180°-45°=135°，
∴∠DAB=∠BFE，
∵∠DAB=∠DBE，
∴∠DAB=∠BFE=∠DBE，
由（1）同理可证，
∴，
又∵，
∴，
设EF=EC=x，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）易证∠A=∠DBE=∠C，然后利用”一线三等角“证出∠ADB=∠EBC，即可证得；
（2）过点E作EF⊥EC交AC于点F，得∠FEC=90°，从而求出∠BFE=135°，∠CFE=45°=∠C，进而得EF=EC，然后根据平行线的性质得∠DAB=135°=∠BFE=∠DBE，由（1）同理证出，根据相似三角形的性质得，设EF=EC=x，然后求CF、BF的值，从而得BC的值，最后进行化简即可；
（3）延长AB到点F，连接EF，使得∠F=∠DAB，得∠DAB=∠DBE=∠F，由（1）同理证出，接下来根据相似三角形的性质得，，从而有，设AD=m，接下来求出AB、BF的值，得EF、AF的值，然后求出，进而判定，得，即可得证AE=2BD.
四、实践探究题
13．（2024·齐齐哈尔）综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是　 　；
（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；
（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则　 　；
（4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使，请直接写出线段AP的长度．
【答案】（1）AB＝DE
（2）解：∵将线段BC绕点B顺时针旋转得到线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∵∠A=90°，
∴∠CBA+∠ACB=90°，
∴∠DBE=∠ACB，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠A=∠DEB，
在和中，
，
∴，
∴DE＝AB，BE＝AC，
∵AB＝2，AC＝6 ，
∴DE＝2，BE＝6，
∴AE＝AB＋BE＝2＋6＝8，
∵∠DEB＋∠A＝180°，
∴ ，
∴△DEF∽△CAF，
∴ ，
∴，
∴EF＝4 ，
∴BF＝BE＋EF＝6＋4＝10，
∴；
（3）
（4）解：线段AP的长度为或.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；正切的概念
【解析】【解答】解：（1）∵将线段BC绕点B顺时针旋转得到线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∵∠A=90°，
∴∠CBA+∠ACB=90°，
∴∠DBE=∠ACB，
∵DE⊥AB，
∴∠E=90°，
∴∠A=∠E，
在和中，
，
∴，
∴AB=DE，
故答案为：AB=DE；
（3）如图，过点N作NM⊥AE于M，
∴∠NME=∠NMB=90°，
∵∠A=90°，
∴∠NME=∠NMB=∠A，
∴AC∥NM，
∴，
∴，即，
∴，
由（2）有DE∥AC，BE=6，DE=2，∠ACB=∠DBE，
∴MN∥DE，
∴，
∴，即，
解得，
又∵∠NMB=∠A，∠ACB=∠DBE，
∴，
∴；
故答案为：
（4）如图，当点P在点A左侧时，过点P作PQ⊥CB于Q，
∴∠PQC=∠PQB=90°，
∵∠CAB=90°，AC=6，AB=2，
∴，，
∴PQ=3BQ，
设BQ=x，则PQ=3x，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
如图，当点P在B点左侧时，过点P作PQ'⊥CB延长线于Q'，
∴∠BQ'P=90°，
∵∠ABC=∠Q'BP，
∴，
∴Q'P=3BQ'，
设BQ'=y，则Q'P=3y，
同理可得，，
∴BC+BQ'=CQ'，即，
解得，
∴，
∴，
综上所述，线段AP的长度为或.
【分析】（1）利用“一线三垂直”证，即可求解；
（2）利用“一线三垂直”证，得DE＝AB，BE＝AC，从而求出AE的长，再根据“同旁内角互补，两直线平行”证得DE∥AC，进而有△DEF∽△CAF，根据相似三角形的性质得，从而求出EF的长，接下来得BF的长，最后根据三角形面积公式求解即可；
（3）过点N作NM⊥AE于M，易证AC∥NM，得，再根据相似三角形的性质得，从而有，接下来再证MN∥DE，得，根据相似三角形的性质得，从而求出MN的长，然后利用“一线三垂直”相似模型易证，再次根据相似三角形的性质得，即可求解；
（4）根据题意，可知需分情况讨论：当点P在点A左侧时，过点P作PQ⊥CB于Q，利用三角函数的定义得，从而有PQ=3BQ，设BQ=x，则PQ=3x，再根据勾股定理求出PB的长，接下来利用三角函数的定义得，从而求出CQ的长，然后根据线段的和差关系列出关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解；当点P在B点左侧时，过点P作PQ'⊥CB延长线于Q'，与第一种情况的解法类似，同理即可求解.
14．在 中， ， ， 直线 经过点 ， 过点 分别作 的垂线， 垂足分别为点 ．
（1） 特例体验： 如图 W6-10①， 若直线 ， 分别求出线段 和 的长．
（2） 规律探究：
（Ⅰ） 如图②， 若直线 从图①状态开始绕点 旋转 ， 请探究线段 和 的数量关系并说明理由；
（Ⅱ） 如图③， 若直线 从图①状态开始绕点 顺时针旋转 ， 与线段 相交于点 ， 请再探究线段 和 的数量关系并说明理由．
（3） 尝试应用： 在图③中， 延长线段 交线段 于点 ． 若 ， 求 ．
【答案】（1）解：在 中， ，
（2）解：（Ⅰ） ． 理由如下：
在 Rt 中， ．
，
．
．
在 和 中，
．
．
．
（ Ⅱ ） ． 理由如下：
同 （Ⅰ） 可证 ．
（3）解：
．
．
，
．
．
．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）；异侧一线三等角全等模型（锐角）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质说明AD=BD，AE=CE，再利用等腰直角三角形的秘技求得DE；
（2）（Ⅰ）先写出三线段的数量关系，再证明：通过证明 和 的两角及一角的对边分别相等来证明全等，再证明成立；
（ Ⅱ ）先写出三线段的数量关系，再证明：先证明，再根据全等三角形的性质证明结果成立；
（3）先利用相似三角形的判定——AA来证明，再列出比例式求出BF，再利用三角形的面积求解.
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