人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形复习题--作图问题（含解析）

第18章 平行四边形复习题--作图问题
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，，，按以下步骤作图：
①以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；②分别以点D，F为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线交于点E，则的长为（ ）

A．4 B． C． D．
2．如图，在中，，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，交BC于点D；③连接DE．则线段DE的长为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知：如图，，小静进行了以下作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，为线段的中点，矩形的顶点，，连接按照下列方法作图：以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、于点、；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧交于点；作射线交于，则线段的长为（ ）

A． B．1 C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，，的面积等于．根据作图痕迹，计算出平行四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是（ ）
（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，；
（2）作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点；
（3）连接．

A． B．
C． D．
7．如图，中，，平分交于点D，按下列步骤作图．
步骤1：分别以点C和点D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；
步骤2：作直线，分别交，于点E，F；
步骤3：连接，．
若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，和相交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
9．如图，平行四边形ABCD中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点；③画射线，交于点，交对角线于点．若，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
10．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在矩形内交于点G；③作射线，若，F为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
11．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧，交边AD于点；②再分别以B，F为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD内部的点G处；③连接AG并延长交BC于点E，连接BF，若BF＝3，AB＝2.5，则AE的长为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．5
12．如图，在中，，，按以下步骤作图：（1）分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点（点M在的上方）；（2）作直线交于点O，交于点D；（3）用圆规在射线上截取．连接，过点O作，垂足为F，交于点G．下列结论：
①；②；③；④若，则四边形的周长为25．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别与，，交于点，，．若，，则 ．
14．如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为 ．

15．如图，在正方形中，，E是的中点，按以下步骤作图．分别以点A和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，H．作直线交于点F．则的长为 ．
16．如图，的顶点，按下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E；②分别以点D、E为圆心，大于DE的一半长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线OF，交边AC于点G．则AG的长度为 ．
17．如图，在平行四边形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则为 ．

18．如图，矩形中，，连接，按下列方法作图：以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F；分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线交于点H，则的长度为 ．
19．如图，在菱形中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，则的值为 ．
20．（1）如图，点，分别是锐角两边上的点，，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，．则根据作图过程判定四边形是菱形的依据是 ．

（2）如图，在菱形中，，为的中点，将沿翻折得到，射线交于点，若，则 ．
21．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；②分别以点F，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点E，交于点O，连接．若，，则四边形的面积为 ．
22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°.按以下步骤作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧交于点E和点F；作直线EF交AB于点D；连结CD，若AC=8，BC=6，则CD的长为 .
23．如图，在矩形中，分别以点B、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，过点M、N作直线分别交、于点E、F．若，，则的长是 ．

24．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E、F，分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接CG，并延长交DB于M点，若，则线段 ．
三、解答题
25．如图，在菱形中，对角线和相交于点．
（1）实践与操作：过点作DE∥AC交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想．
26．数学活动课上，小明想取平行四边形的对角线上一点构造一个新平行四边形，具体的做法是：如图，在□的对角线上取一点，连接，，再过点作，交于点，连接，得到四边形，进一步证明四边形是平行四边形．按以上思路完成下面的作图与填空．
证明：用直尺和圆规过点作，交于点，连接．保留作图痕迹
在和中，
四边形是平行四边形，
， ① ，
② ．
，
③ ．
．
④ ，
四边形是平行四边形．
27．如图，在中，是 的角平分线．
（1）请用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，，试判断四边形的形状，并证明．
28．学习过程中，小胡发现：四边形是平行四边形，平分交于点，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，小胡思路是：在下图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论．请完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规在下图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹）
（2）求证：四边形为菱形请补全下列过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴ ① ，
∴ ② ，
∴．
∵，
∴
∴在和中，
∴（），
∴ ③ ．
∴．
又∵，
∴ ④
又∵，
∴四边形是菱形．
29．在中，，为的角平分线．作线段的垂直平分线，分别交、于点、，垂足为．连接、．则四边形是正方形．补全图形（保留作图痕迹，不写作法）并完成以下证明．
证明：∵平分，且
∴又垂直平分，
∴，
∴，同理
∴
∴，
∵垂直平分，
∴① ，② ．（③写推理依据 ）
∴，
∴四边形是④ ．
又∵，
∴四边形是正方形．
30．教材呈现
例：如图（1），在中，，是斜边上的中线．求证：．
证明：延长CD至点E，使，连接．
……
（1）请根据教材提示，结合图（1）写出完整的证明过程．
（2）初步探究
如图（2），在四边形中，，，，于点P，连接，，且．
①的度数为______．
②求的长．
（3）拓展运用
如图（3），在平行四边形ABCD中，，，F是边上一点，且；按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线．过点F作交于点P，过点P作于点G，Q为射线上一动点，连接，．若，请直接写出的值．
答案：
一、单选题
1．C
【分析】由平行四边形的性质可得，由勾股定理即可求解．
解：四边形是平行四边形，
∴，
∴
由题意可得，
∴
∴．
故选：C．
2．C
【分析】根据作法得∶点D为BC的中点，然后根据三角形中位线定理，即可求解．
解：解∶根据作法得∶MN为BC的垂直平分线，即点D为BC的中点，
∵BE为AC边上的中线．即点E为AC的中点，
∴．
故选：C
3．B
【分析】根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
解：由作图可得，，
∴四边形是菱形，
∴，
即，
解得，
故选：B．
4．C
【分析】由作图可知，是的平分线，如图，过作于，由角平分线的性质可知，，由题意得，设，则，，在中，由勾股定理得，即，计算求解即可．
解：由作图可知，是的平分线，如图，过作于，

由角平分线的性质可知，由勾股定理得：，
∵矩形的顶点D，O为线段的中点，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】根据线段垂直平分线性质得到，得到，得到，根据，得到，得到，得到．
本题主要考查了线段垂直平分线，平行四边形，三角形面积．熟练掌握线段垂直平分线性质，平行四边形性质，等高三角形面积比等于底边比，是解决问题的关键．
解：由作图知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是中心对称图形，对称中心是点O，
∴，
∴．
故选：A．
6．B
【分析】连接，，先根据菱形的性质可得，即可判断选项C正确；再证是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一即可判断选项A正确；根据菱形的性质可得，根据即可判断选项B错误；根据和三角形的面积公式即可判断选项D正确．
解：如图，连接，，

由题意可知，垂直平分，
，
四边形是菱形，
，
，，选项C正确；
是等边三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），选项A正确；
又四边形是菱形，
，，
的边上的高等于的边上的高，，选项B错误；
，
，选项D正确；
故选：B．
7．B
【分析】由作图可知，四边形是正方形，根据，可得，由此即可解决问题．
解：∵平分，，
∴，
由作图可知，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查作图基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．
解：由作图可知垂直平分线段，平分，，
，，
，
，，
，
．
故选：A．
9．A
【分析】先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝10，再利用勾股定理计算出AC＝8，利用基本作图得到BQ平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点O到BA的距离等于点O到BC的距离，接着利用三角形的面积公式得到S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝OA：OC，所以OAAC．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝10，
∵BA⊥CA，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AC8，
由作法得BQ平分∠ABC，
∴点O到BA的距离等于点O到BC的距离，
∴S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝6：10＝3：5，
∵S△ABO：S△BCO＝OA：OC，
∴OA：OC＝3：5，
∴OA：AC＝3：8，
∴OAAC8＝3．
故选：A．
10．B
【分析】在上截取，连接，可证（），可得，当、、三点共线时，最小，即最小，由即可求解．
解：如图，在上截取，连接，
由作法可得平分，
，
在和中
，
（），
，
，
当、、三点共线时，最小，
即最小，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
，
的最小值；
故选：B．
11．B
【分析】连接EF，先证AF=AB=BE，得四边形ABEF是菱形，据此知AE与BF互相垂直平分，继而得OB的长，由勾股定理求得OA的长，继而得出答案．
解：由题意得：AF=AB，AE为∠BAD的角平分线，则∠BAE=∠FAE．
又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，∠BAE=∠FAE=∠BEA，
∴AF=AB=BE．
连接EF，则四边形ABEF是菱形，
∴AE与BF互相垂直平分，
设AE与BF相交于点O，OB1.5．
在Rt△AOB中，OA2，
则AE=2OA=4．
故选：B．
12．D
【分析】证明四边形ADBE是菱形，推出FG是△ACD的中位线，即可得到，由此判断①；根据菱形的性质得到AD=BD，再利用Rt△ACD得到，即可判断②；根据FG是△ACD的中位线，证得，即可判断③；设OA=x，则OF=9-x，根据，求出OA=5得到AB=10，BC=8，再根据，求出BD=，即可判断④.
解：由题意知：MN垂直平分AB，
∴OA=OB，ED⊥AB，
∵OD=OE，
∴四边形ADBE是菱形，
∵，，
∴OF∥BC，AF=CF，
∴FG是△ACD的中位线，
∴，故①正确；
∵四边形ADBE是菱形，
∴AD=BD，
在Rt△ACD中，,
∴ ，故②正确；
∵FG是△ACD的中位线，
∴点G是AD的中点，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵AC=6，
∴AF=3，
设OA=x，则OF=9-x，
∵，
∴，
解得x=5，
∴AB=10，
∴BC=8，
∵，
∴，
解得BD=，
∴四边形的周长为.
故选：D.
13．
14．
【分析】本题考查了作图—垂直平分线，菱形的性质，根据题意得，点E在的垂直平分线上，则，即可得，根据四边形为菱形得，，可得，即可得；掌握作图—垂直平分线，菱形的性质是解题的关键．
解：根据题意得，点E在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查正方形的性质，作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质、勾股定理是解题的关键．先由作法得出且平分，从而得到，在中，设，则，由勾股定理，得，求解即可．
解：连接，
由作图可知，且平分，
，
∵正方形，
∴，，
∵E是的中点，
，
在中，设，则，
由勾股定理，得，
解得：，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】如图，先利用勾股定理计算出OA＝，再利用基本作图和平行线的性质得到∠AOG＝∠AGO，则AG＝AO＝，从而求解．
解：如图，∵ AOBC的顶点A的坐标为，
∴ACOB，OA＝，
由作法得OG平分∠AOB，
∴∠AOG＝∠BOG，
而ACOB，
∴∠AGO＝∠BOG，
∴∠AOG＝∠AGO，
∴AG＝AO＝，
故答案为：．
17．
【分析】先利用基本作图得，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，从而得到．
解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
18．
【分析】证明，，，如图，过H点作于M，可得，证明，求解，从而可得答案．
解：∵矩形中，，
∴，，，
如图，过H点作于M，
由作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，而，
∴．
故答案为．
19．
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
利用基本作法得到得垂直平分，即，，再利用菱形的性质得到，，则利用勾股定理先计算出，然后计算出．
解：由作法得垂直平分，即，，
四边形为菱形，
，，
，，
在中，，
在中，．
故答案为．
20． 四条边都相等的四边形是菱形
【分析】（1）由AE＝AF＝ED＝DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF是菱形．
（2）DE和CB的延长线相交于G'点，连结EF，作EH⊥DF于H点，如图，根据菱形的性质得A＝180°﹣∠B＝120°，AB＝AD＝2，AD∥BC，则∠1＝∠G，再利用折叠的性质得∠1＝∠2，DG＝DA＝2，EG＝EA＝1，∠3＝∠A＝120°，则∠4＝60°，在Rt△EHG中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HG＝EG＝，EH＝EH＝，则在Rt△DEH中利用勾股定理可计算出DE＝，再证明∠2＝∠G'得到FG'＝FD，证明△AED≌△BEG'得到DE＝G'E，所以FE⊥DG'，然后证明Rt△DEF∽Rt△DHE，利用相似比计算出DF＝，则FG＝FD﹣DG＝，于是得到BF＝FG＝．
解：（1）根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是：四边相等的四边形是菱形，
理由如下：
∵根据题意得：AE＝AF＝ED＝DF，
∴四边形AEDF是菱形，
（2）DE和CB的延长线相交于G'点，连结EF，作EH⊥DF于H点，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠A＝180°﹣∠B＝120°，AB＝AD＝2，AD∥BC
∴∠1＝∠G'，
而E为AB的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵△AED沿DE翻折得到△GED，
∴∠1＝∠2，DG＝DA＝2，EG＝EA＝1，∠3＝∠A＝120°，
∴∠4＝60°，
∴在Rt△EHG中，HG＝EG＝，EH＝，
∴在Rt△DEH中，DE＝，
∵AD∥BG'，
∴∠1＝∠G'，
∴∠G'＝∠2，
∴FG'＝FD，
在△AED和△BEG'中，
，
∴△AED≌△BEG'，
∴DE＝G'E，AD＝BG'＝2，
∴FE⊥DG'，
∴∠FED＝90°，
∵∠HDE＝∠EDF，
∴Rt△DEF∽Rt△DHE，
∴，即，
∴DF＝，
∴FG＝FD﹣DG＝﹣2＝，
∵FG'＝FD，BG'＝DG＝2，
∴FG'－BG'＝FD－DG，
∴BF＝FG＝．
故答案为：（1）四条边都相等的四边形是菱形，（2）．
21．24．
【分析】根据作图可知AG是角平分线，根据等腰三角形的性质判断四边形AFEB是菱形，求出对角线长即可求面积．
解：由作图可知，AG平分∠BAF，AB=AF，
∴AG垂直平分BF，∠FAG=∠BAE，
∴EF=EB，
∵AD∥BE，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE =∠AEB，
∴AB=BE，
∴AB=BE=EF=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BO=FO=4，
∴，
AE=6，
菱形的面积为；
故答案为：24．
22．5
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由作图的方法得出EF是线段AB的垂直平分线，故可得出点D是线段AB的中点，由直角三角形的性质即可得出结论．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
∵由题意可知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴点D是线段AB的中点，
∴CD＝AB＝5．
故答案为5．
23．
【分析】设与交于点G，连接，首先根据作图过程可知：是的垂直平分线，，，可得，再根据矩形的性质及勾股定理可求得，设，则，利用勾股定理即可求得、的长，再根据全等三角形的判定，可证得，可得，据此即可求解．
解：如图：设与交于点G，连接，

根据作图过程可知：是的垂直平分线，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
在中，，
设，则，
在中，，
得，
解得，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
故答案为：．
24．1
【分析】过点N作于点H，由四边形ABCD是正方形，得到是等腰直角三角形，继而求出，再根据角平分线的性质定理得出，再由外角的性质得到，最后由等角对等边得出BM的长度即可．
解：
如图，过点N作于点H
四边形ABCD是正方形
是等腰直角三角形
由作图可知，CM平分
，
故答案为：1
三、解答题
25．
解：（1）如下如：即为所求，
以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接，
证明：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．

（2）∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是上的中线，
∴．
26．
解：如图所示，
在和中，
四边形是平行四边形，
，，
．
，
．
．
，
四边形是平行四边形．
故答案为：；；；．
27．
解：（1）图形如图所示：
（2）结论：四边形是菱形．
理由：设交于点．
垂直平分线段，
，，
平分，
，
，，
，
，
四边形是菱形．
28．
（1）解：如图所示，

（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴
∴在和中，
∴（），
∴．
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：①；②；③；④四边形为平行四边形．
29．
解：作图如图所示，

证明：∵平分，且，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴，
同理
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形．
故答案为：①；②；③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；④菱形．
30．
解：（1）证明：延长至点E，使，连接，，
则．
∵是斜边上的中线，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
（2）①∵，，，
∴P为中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
②如图（1），过点D作于点G．

由题意，，
∴，
∴，
∴，．
由①知，
∴．
设，则，．
∵，
∴，
解得，
∴．
（3）或3．
解：过点Q作于点H．
∵，
∴．
由作图可知，平分，
∴，
∴，
∴；
分两种情况：①如图（2），当点Q在线段上时，连接，
则，
∴由勾股定理得：；

∵，，
∴．
在中，，
∴，，
∴．
在中，，
②如图（3），当点Q在线段BP的延长线上时，
由题意，，．
在中，，

∴，，
∴．
在中，
，
综上可知，的值为或3．