人教版八年级数学下册 第十八章《平行四边形》章节检测卷（含解析）

第十八章《平行四边形》章节检测卷
一、单选题
1．如图，中，，平分，，E为的中点，则的长为（ ）

A．2 B．3 C．1.5 D．2.5
2．如图，平行四边形中，，，平分，交于E，交于点N，交于点F，作交于点M，则（ ）

A． B． C．1 D．
3．如图，在长方形中，，对角线，平分交于点，是线段上的点，连接，过点作交的延长线于点，当为等腰三角形时，（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．长方形ABCD中，，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（ ）
A．5 B． C． D．
5．菱形中，分别在和上，且是等边三角形，．则等于（ ）

A． B． C． D．
6．如图，菱形的边长为4，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
7．正方形，如图放置，，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（ ）

A． B． C．7 D．
8．如图，在正方形中，点的坐标是，点分别在边上，，若平分．则点的横坐标是（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．如图，在正方形中，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·福建南平·九年级校考期中）如图，正方形的边长为，对角线、相交于点，将绕点顺时针旋转得到，交于点连接交于，连接．则下列结论：
①；
②四边形是菱形；
③△BDG的面积是；
④；其中正确的是（　　）
①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，平行四边形中，于点E，，，， 则的长为 ．
12．如图，把一个矩形纸片 放入平面直角坐标系中，使、分别落在 轴、轴上，连接 ，将纸片 沿 折叠，使点 落在的位置上． 若，，则点的坐标为 ．
13．如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ．
14．如图，菱形中，，，点是上一点，将菱形沿着折叠，使点落在点处，与交于点，点是的中点，，则的长为 ．
15．如图，在菱形中，E、F分别是 ，边上的中点，为 上一点，若 ，，则的长为
16．如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点G．过点A作，垂足为点M，交边于点N．若，，则线段的长为 ．
17．如图，三个正方形的边长分别为，若，则阴影部分的面积为 ．

18．如图，等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且BE=CF，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在中，，于点，平分，交于点，交于点．
（1）若，求证：；
（2）如图，作交于点，求证：．
20．（8分）如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线．
（1）求证：是 的平分线
（2）线段之间的数量关系是 ；
问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论．
21．（10分）已知，如图，为射线上的一动点，为的角平分线且交于点，以为边在内部作菱形，使得交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系并证明；
（3）若的周长为3，求菱形的周长．
22．（10分）在正方形纸片中，点、分别是、上的点，连接．
（1）问题探究：如图1，作，交于点D/，求证：；
（2）问题解决：如图2，将正方形纸片沿过点、的直线折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点为点，若，，求线段的长．
23．（10分）如图，是四边形的对角线，边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、．
（1）如图1，四边形是正方形时，作，垂足为O，连接、．判断、之间的数量关系和位置关系，并证明；
（2）如图2，四边形是菱形时，设，点O在上，且．判断与的数量关系，写出推理过程，并用含有的代数式表示；
（3）在（2）的条件下，若，，当四边形是菱形时（如图3），请直接写出线段平移的距离为　　　　．
24．（12分）【实践操作】
在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
【初步思考】
（1）若点落在矩形的边上（如图）当点与点重合时，_____ ，当点与点重合时， ______ ；
【深入探究】
（2）若点落在矩形的内部（如图），且点、分别在、边上，的最小值是______ ；
【拓展延伸】
（3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
答案：
一、单选题
1．A
【分析】延长交于点F，证，再由E为的中点，即可求解；
解：延长交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵
∴，
故选：A．

2．D
【分析】由平行四边形的性质以及三角形内角和的性质可得，，求得，再根据，得到，即可求解．
解：平行四边形中，，
∵平分
∴
∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，即
∴，即
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选：D
3．B
【分析】过作于，由矩形的性质并结合勾股定理确定，再证明以及为等腰三角形，即可推导，，然后由计算的长即可．
解：过作于，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，，证明，推出，求得，推出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解．
解：如图，
∵，
∴设，，
∴，，
由折叠的性质知，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
故选：C．
5．B
【分析】根据菱形的性质推出，，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质得出，，根据等边对等角得出，设，根据三角形的内角和定理得出方程，求出方程的解即可求出答案．
解：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴
由三角形的内角和定理得：，
设，
则，
∵，
∴，
解得，
∴，
故选B．
6．A
【分析】由菱形的性质可得点与点关于对称，连接交于点，连接，则的周长，此时的周长最小，过点作交的延长线于，由菱形的性质和可得，从而可得，最后由勾股定理计算得出，即可得出答案．
解：四边形是菱形，
点与点关于对称，
如图，连接交于点，连接，
，
则，
的周长，此时的周长最小，
是的中点，菱形的边长为4，
，
过点作交的延长线于，
四边形为菱形，边长为4，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的周长的最小值，
故选：A．
7．B
【分析】如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，利用等腰直角三角形性质可得 ，由，可得，，利用勾股定理可得，再由三角形中位线定理可得，再证得，进而得出是的中线，即，由，即可求得答案．
解：如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，

∵四边形、是正方形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即Q是的中点，
又∵点O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
在中，，
∴的最大值为，
故选：B．
8．B
【分析】过点作于点，结合点和正方形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，进而确定得值；再根据角平分线的性质可得，进而证明，，由全等三角形的性质可得，，设，则，，，然后根据，解得的值，易得，即可确定点的横坐标．
解：如下图，过点作于点，
∵四边形为正方形，点的坐标是，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴点的横坐标是3．
故选：B．
9．C
【分析】过点作于，于，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得，得到，根据等腰三角形的性质和平角的定义即可求出答案.
解：过点作于，于，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选: ．
10．A
【分析】由正方形和旋转的性质，易证为等腰直角三角形，即得出．又易证≌，即得出，可判断①；由全等的性质可得出．又易证≌，得出．由三角形外角的性质和三角形内角和定理可求出，即得出，从而证明四边形为菱形，可判断②；由等腰直角三角形和勾股定理可求出，即，再根据，从而可求出，最后根据三角形的面积公式计算即可求出，从而可判断③；根据正方形的性质可求出，再根据，可求出，即可求出，可判断④．
解：四边形是正方形，
，，，
由旋转可得：，，，
，，
为等腰直角三角形，
，
又，
≌，
，
，故①正确；
≌，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，故②正确；
，，
，
，
，
，
，故③正确；
根据正方形的性质可求出，
，
，
故④正确；
综上可知，①②③④都正确．
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】设，则，由，可得，，则，，则为的中点，延长，交于点，结合平行四边形的性质可证得，，进而可得，，，则，进而求得，可得，即，可知垂直平分，得，由勾股定理可得，的中点，连接，则，，由三角形中位线的性质可得，由勾股定理可得，即可求解．
解：设，则，
∵，则，
∴，则，
又∵，
∴，则为的中点，
延长，交于点，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，，，则，
则，
∴，
即：，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
取的中点，连接，则，，
∵，则为的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题过点作于点，交于点，由矩形的性质和折叠的性质，证明，得到，设，则，在中应用勾股定理构建方程，即可求出和，使用等面积法求出，点的纵坐标就求出来了，最后再解，求出，即点的横坐标．即可解题．
解：过点作于点，交于点，如图所示：
四边形为矩形，，，
，，，
由题易知，四边形为矩形，
有，
由折叠的性质可知，，，，
，
，
，
设，则，
有， 即，解得，
，
，解得，
，，
，
点的坐标为，
故答案为：．
13．或1
【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如答图所示．连结，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到′，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出．
②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形．
解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如图所示．连接，
在中，，，
∴，
∵沿折叠，使点落在点处，
∴，
当为直角三角形时，只能得到，
∴点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴；
②当点落在边上时，如图所示．此时为正方形，
∴．
故答案为：或．
14．
【分析】连接，过点作的平行线交于点，过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点，利用翻折的性质和勾股定理求出，然后证明，得，证明，再利用勾股定理求出，进而即可解决问题．
解：如图，连接，过点作的平行线交于点，过点作交延长线于点，延长交于点，过点C作于点，
由翻折可知：，
∵点是的中点，，为菱形，
∴，
设，
在中，，
由勾股定理得：，
整理得，
解得（舍去负值），
∵HI∥BC∥AD
∵∠AEK=∠HEI
由翻折可知：，
∵BC∥AD,
设
∵CL⊥AD,∠D=60 ,CD=12,
在中，由勾股定理得：
故答案为：．
15．
【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会添加常用辅助线，构造直角三角形；
连接、、、、，作．先求出的面积，再求出高，利用勾股定理求出、、，利用线段和差求出即可．
解：连接、，
，
四边形是菱形，，
，，
为等边三角形，
连接，
点 E、F分别是、边上的中点，
，，
在中
,
同理在中
，
，
在中
点 E分别是 边上的中点，
，
为等边三角形，
，
连接，
，
，，，
，
，
过F作，
，
，
在中
，
在中，
，
，
，
，
故答案为：．
16．20
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．连接，，，先证明，得到，，证明为等腰直角三角形，从而可证明，设，则根据勾股定理列方程并求解，得到，即可得到答案．
解：如图，连接，，，
四边形为正方形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，，
，
设，
，，
，
，，
在中，，
即，
解得，
，
．
故答案为：20．
17．82
【分析】本题主要考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，矩形、梯形的判定和性质，三角形、梯形面积公式，割补法求图形面积，是解决问题的关键．
设三个正方形分别为、、，延长交边于点K，证明四边形和四边形都是矩形，得到，，，，结合，求得．
解：如图，设三个正方形分别为、、，延长交边于点K，
∵，
∴，
∵，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，，，，
∵，
∴
．
故答案为：82．

18．
【分析】取中点，中点，，在的外侧作，的长度即为所求，本题考查了求线段和最小值问题，勾股定理解三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线，角的直角三角形，解题的关键是通过构造中位线和全等三角形，将进行转化．
解：取中点，中点，作，使，作，交延长线于点，
点是中点，点是中点，
，，
，
，
又等边三角形，
，
，
又，
，
，
，当点在线段上时取最小值，长度为线段的长，
，，
，，，
，
故答案为：．
三、解答题
19．
解：（1）证明∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）证明：作交于点，则为平行四边形，

∴，，
∵，
，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
20．
（1）解：如图：延长交于点F，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线．
（2）解：如图：延长交于点F，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
[问题探究]：结论：，证明如下：
延长线，相交于点G，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．
解：（1）证明：∵菱形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：，证明如下；
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，在上取点，连接，使，
由（2）可知，，
又∵，，
∴，
∴，，
如图，过作，
∴，
∴是等边三角形，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，即，
∵的周长为3，
∴，
∴，，
∴，
如图，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
由勾股定理得，
∴，
∴菱形的周长为．
22．
（1）解：证明：过点作于，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）连接，，
由折叠的性质得到：，，
设正方形的边长为，
由勾股定理得，，
，
解得：，
，
，
由勾股定理得， ，
是的垂直平分线，
由（1）知，，
．
23．
（1）解：，．
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
；
（2），
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，
即，
，
，
；
（3）过点作于点，于点，则四边形是矩形，
，
由题意知四边形和四边形是菱形，
，，，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
线段平移的距离为，
故答案为：．
24．
解：（1）四边形是矩形，
，
当点与点重合时，是的中垂线，
，
当点与点重合时，如图，
则平分，
此时，，
故答案为：，；
（2）若点落在矩形的内部，且点、分别在、边上，如图，
设，则，
当，，在一直线上时，最小，最小值为，
当最大为时，最小值为，
故答案为：；
（3）分情况讨论：
如图，连接，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
则，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
；
如图，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，即，
设，
则，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
；
综上所述，存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或．