沪教版七年级数学下册 16.3命题与证明（含解析）

16.3命题与证明
一、单选题
1．下列句子中不是命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直
C．若，则 D．同角的补角相等
2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两点之间直线最短
C．对顶角相等 D．内错角相等，两直线平行
3．用反证法证明，若，则时，应假设（ ）
A． B． C． D．
4．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( )
A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
5．下列命题中：①同一平面内，两条直线有相交、垂直、平行三种不同的位置关系；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④同位角相等；⑤同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥垂线段最短．属于真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列命题：①不相交的两条直线是平行线，②同旁内角互补；③同位角相等，两直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤在同一平面内，若，则．其中，真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
7．下列语句哪些是命题，哪些不是命题？
（1）作，（ ） （2）两个锐角互余．（ ）
（3）直线a与b有可能垂直．（ ） （4）作射线．（ ）
（5）作直线．（ ） （6）整数一定是有理数．（ ）
8．“同旁内角互补”，该命题是 命题（选填“真”或“假”）．
9．把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 ．
10．命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ．
11．将命题“对顶角相等”改写为如果 ，那么 ．
12．把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成如果那么的形式是 ．
13．命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”）
14．“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个 命题．（填“真”、“假”）
15．写出命题：“直角都相等”的逆命题： ．
16．下列命题是假命题的有 ．
①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角．
17．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是 ．（填写序号）
18．用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等．
已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，．
求证：．
证明：假设所求证的结论不成立，
即____________________．
过点A作直线，使与所成的与相等，则__________，
所以直线与直线不重合．
但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立．
所求证的结论成立．
三、解答题
19．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假．
(1)如果两个角是直角，那么这两个角相等；
(2)绝对值相等的两个数相等；
(3)两个钝角的和一定大于．
20．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是真命题，还是假命题．
（1）两直线平行，同位角相等
（2）如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等．
21．用反证法证明：如图所示，已知，那么．
22．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________；
(2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．
已知：如图，，______．求证：______．
23．如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．
24．填写推理的理由．
已知：如图，于点，于点，，交于点，交于点．求证：．
证明：∵，（ ），
∴（ ）．
∴（ ）．
∵（ ），
∴（ ）．
∴（ ）．
∴（ ）．
25．如图，现有以下3个论断：；；．
（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？
（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．
26．【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下：
证明：∵，
∴> ． ∴ ．
∵，，
∴ ． ∴ ．
∴．
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ．
27．如图，平面上有六条两两不平行的直线．试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于．
答案
一、单选题
1．B
【分析】本题主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．判断一件事情的语句叫做命题，据此判断．
【解析】解：A、是命题，故不合题意；
B、直线和直线不一定垂直，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，故符合题意；
C、是命题，故不合题意；
D、是命题，故不合题意；
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了真假命题的判定，平行线的判定以及性质，垂线段最短以及对顶角相等知识，根据平行线的判定以及性质，垂线段最短以及对顶角相等等知识一一判定即可．
【解析】解：．两直线平行，同位角相等，是真命题，故该选项不符合题意；
．两点之间线段最短，原命题为假命题，故该选项符合题意；
．对顶角相等，是真命题，故该选项不符合题意；
．内错角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解析】解：反证法证明命题“若，则”时，
应假设，
故选：C．
4．D
【分析】把命题改写成如果那么的形式,如果后面跟的即为条件，那么后面跟的是结论．
【解析】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是两条直线垂直于同一条直线,
故选D.
5．B
【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线段最短，熟知相关知识是解题的关键．根据相关性质定理逐个判断，即可解题．
【解析】解：同一平面内，两条直线有相交和平行两种不同的位置关系，①是假命题；
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，③是假命题；
两直线平行，同位角相等，④是假命题；
只有⑤⑥是真命题．
故选： B．
6．D
【分析】本题考查了判断真假命题，掌握相关定义定理是解题的关键．根据平行线的定义， 平行线的判定与性质逐个分析判断即可求解．
【解析】解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故①是假命题；
两直线平行，同旁内角互补，故②是假命题；
同位角相等，两直线平行，故③是真命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④是假命题；
在同一平面内，若，则，故⑤是假命题；
故③是真命题，共1个．
故选：D．
二、填空题
7．（1）不是，（2）是，（3）是，（4）不是，（5）不是，（6）是
【分析】判断一件事情的语句叫命题，根据定义解答．
【解析】解：（1）作 ，不是命题；故答案为：不是．（2）两个锐角互余，是命题；故答案为：是．（3）直线a与b有可能垂直，是命题；故答案为：是． （4）作射线 ，不是命题；故答案为：不是．（5）作直线 ，不是命题； 故答案为：不是． （6）整数一定是有理数，是命题；故答案为：是．
8．假
【分析】根据命题以及真假命题的定义进行判断．
【解析】解：“同旁内角互补”，该命题是假命题；
故答案为：假
9．如果两个角是同位角，那么这两个角相等
【分析】命题有题设与结论组成，把命题的题设写在如果的后面，结论写在那么的后面即可．
【解析】解：原命题的条件为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等”，
所以可改写为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
10． 如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行 两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查命题和逆命题的定义，熟练掌握命题与逆命题的定义是解题的关键．利用命题可以写成“如果那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论解答第一题空，利用逆命题的定义解答第二题空即可．
【解析】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式，为“如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”，
逆命题为“两直线平行，同位角相等”，
故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行；两直线平行，同位角相等．
11． 两个角是对顶角 这两个角相等
【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解析】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．
12．如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式
【分析】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．根据命题的概念解答即可．
【解析】解：命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成“如果那么的形式是：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式，
故答案为：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式．
13．假
【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例．
先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方、有理数的大小比较法则判断即可．
【解析】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题，
例如：当时，，而，
故答案为：假．
14．假
【分析】本题考查了真、假命题，平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据题意画出图形推导即可判断求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【解析】解：如图，直线被直线所截，交点分别为，平分，平分，
∴，，
当时，，
则，
此时；
当与不平行时，，
则，
此时和不平行；
∴“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”是假命题，
故答案为：假．
15．相等的角为直角．
【分析】把原命题的题设和结论交换即可．
【解析】“直角都相等”的逆命题为相等的角为直角．
故答案为相等的角为直角．
16．①②③④
【分析】本题考查了平方、余角、绝对值意义、对顶角定义、命题的知识；解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．根据平方运算法则、余角定义、绝对值意义、对顶角的定义，逐个判断，即可得到答案．
【解析】解：①若，则或，原命题是假命题，故①符合题意；
②当一个角的度数小于，这个角的余角大于这个角，原命题是假命题，故②符合题意；
③当a，b是有理数，且a，b符号相同时可以得到|，原命题是假命题，故③符合题意；
④，和与是否是对顶角，没有因果关系，原命题是假命题，故④符合题意；
综上分析：假命题的有①②③④．
故答案为：①②③④．
17．③
【分析】根据两直线的位置关系一一判断即可．
【解析】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，正确，是真命题；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正确，是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，错误，应该是b∥c，故原命题是假命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，正确，是真命题．
假命题有③，
故答案为：③．
18．、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
【分析】假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可．
【解析】解：假设所求证的结论不成立，
即．
过点A作直线，使与所成的与相等，则，
所以直线与直线不重合．
但（同位角相等两直线平行），又已知，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”产生矛盾．所以不成立．
所求证的结论成立，
故答案为：、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，．
三、解答题
19．（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；
直角为，故原命题是真命题；
（2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；
绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题；
（3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；
钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题．
20．解：（1）逆命题：同位角相等，两直线平行；
它是是真命题；
（2）逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．；
它是假命题.
21．证明：假设a不平行于b，即a与b相交．设a，b相交于点A，如图，
∵，
∴过直线外一点A有两条直线与直线c垂直，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，故假设不成立，
∴原命题正确．
22．（1）解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
（2）解： ，
证明：如图．
，（已知），
，（垂直的定义），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
23．解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
选择①③作为条件，②作为结论．理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
选择②③作为条件，①作为结论．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
24．∵，（已知），
∴（如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
25．解：（1）由，，得到；
由，，得到；
由，，得到；
故能组成3个命题．
（2）由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，∴，
，．
由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，，
．
由，，得到，是真命题．理由如下：
∵，，．
，，
．
26．（1）证明：∵，
∴> ab．
∴ ．
∵，，
∴ac．
∴ ．
∴ ．
（2）解∶选择②④ ．
证明如下： ∵a∴a<0．
∴，．
∵a < b，
∴．
∴．
27．解：如图，在平面上任取一点O，过点O分别作这6条直线的平行线，则由平行线的特性，知直线之间互成的角与原来的6条直线之间互成的角相等．
现在我们考虑直线的情况，观察直线与，与与与所成的角，由图不难发现这6个角合成一个平角，即这6个角的和为．
假设这6个角没有一个小于，则这6个角都大于或等于，从而这6个角的和至少为，这是不可能的，所以这6个角中至少有一个角小于．
不妨设与所成的角小于，
则原来的直线与所成的角也必小于．