沪教版七年级数学下册 第十六章《相交线与平行线》章节复习卷（含解析）

第十六章《相交线与平行线》章节复习卷
一、单选题
1．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是，那么这两个角相等
2．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　）
A． B．0 C．﹣1 D．﹣2
3．如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　）
A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90
C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离
4．用反正法证明命题“如图，如果，，那么”时，证明的第一个步骤是（ ）
A．假设不平行于 B．假设不平行于
C．假设 D．假设不平行于
5．设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（　　）
A．若a//b，b//c，则a//c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a⊥b，b⊥c，则a//c D．若a//b，b⊥c，则a⊥c
6．如图，下列推理中，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（ ）
A．第一次右拐50°，第二次左拐130° B．第一次左拐50°，第二次右拐50°
C．第一次左拐50°，第二次左拐130° D．第一次右拐50°，第二次右拐50°
8．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（　　）
A．60°、115°、135° B．45°、60°、105°、135°
C．15°、30°、45°、135° D．45°、60°、30°、15°
9．已知n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当n=3时，共有2个交点；当n=4时，共有5个交点；当n=5时，共有9个交点；…依此规律，当共有交点个数为27时，则n的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
二、填空题
11．把“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式 ．
12．如图，运动会上，小明以直线为起跳线，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为米，米，则小明的真实成绩为 米．
13．根据同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，写出图中的一个同位角： ．
14．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度．
15．如图，已知∠1=72°，∠4=110°，∠3=70°，则∠2= ．
16．两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是 ．
17．如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
18．沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀，在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯，若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P光束转动的速度是10度/秒，灯Q光束转动的速度是4度/秒，在两灯同时开启后的35秒内，开启 秒时，两灯的光束互相垂直．
三、解答题
19．如图，直线与直线相交于点．
(1)按要求完成画图．
过点画，交于点；
过点画，垂足为；
(2)在（）所画的图形中，按要求完成下列问题．
点到直线的距离是线段_________的长；
写出与的数量关系，并说明理由．
20．如图，直线相交于点平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数；
21．如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由．
补全以下解题过程：
解：平行．理由如下：
因为，平分，
所以__________=__________°（角平分线的定义）
又因为，
所以____________________，
所以（__________）．
22．如图，直线，点在的延长线上，，，分别是，，的平分线．
(1)试说明：；
(2)试说明：．
23．数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
小贴士
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．
如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么”
如图2
假设，过点O作直线，使，
依据基本事实______．
可得．
这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾，
说明的假设是不对的，于是有．
24．如图，直线和直线相交于点，连接，点，，分别在，，上，连接，，是上一点，连接，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数（用含的式子表示）．
25．如图，已知，．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
(1)与平行吗？请说明理由；
证明：∵，
∴__________，（ ）
∴__________，（ ）
∵，
∴__________（等量代换），
∴．（ ）
(2)若平分，，，求的度数．
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴__________，（角平分线的定义）
∴（已证），
又∵，
∴（垂直定义），
∵，
∴__________（两直线平行，同位角相等），
∴__________．
26．如图，平面上有六条两两不平行的直线．试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于．
27．如图，平分，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为线段上一点，连接，在射线上取点，连接，使得，当，时，求的度数；
28．已知：，点E、F分别在、上，M为与之间一点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为 ．
答案
一、单选题
1．C
【分析】本题考查了逆命题以及判断命题的真假，写出各命题的逆命题即可判断.
【解析】解：对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，为假命题，故A不符合题意；
如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题为：绝对值相等的两个数相等．因为绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故逆命题为假命题，故B不符合题意；
两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，为真命题，故C符合题意；
如果两个角都是，那么这两个角相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们都为，为假命题，故D不符合题意；
故选：C
2．D
【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答．
【解析】解：﹣2＜1，
，
∴当n＝﹣2时，“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，
故选：D．
3．D
【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D．
【解析】解：A、∵∠CDA＝60，
∴直线AD与直线BC的夹角是60，正确，故不符合题意；
B、∵∠ACD＝90，
∴直线AC与直线BC的夹角是90，正确，故不符合题意；
C、∵∠ACD＝90，
∴DC⊥AC，
∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故不符合题意；
D、∵BD和AD不垂直，
∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】用反证法证明命题的第一步为从原命题结论的反面出发即可．
【解析】命题的结论为，
∴反证法的第一步应为：假设CD不平行于EF．
故选：B．
5．B
【解析】根据平行线的判定定理及垂直的性质逐项进行分析即可解答．
【解答】解：A．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，则本选项正确，不合题意，
B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，故本选项错误，符合题意，
C．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，本选项正确，不合题意，
D．根据平行线的性质，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．
故选：B．
6．B
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【解析】解：A、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，不能得到，故此选项不符合题意；
B、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，故此选项符合题意；
C、由同旁内角互补，两直线平行可知，如果，那么，故此选项不符合题意；
D、由同旁内角互补，两直线平行可知，如果，那么，故此选项不符合题意；
故选B．
7．B
【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等．
【解析】解：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1=∠2．
因此，第一次与第二次拐的方向不相同，角度要相同，
故只有B选项符合，
故选B．
8．B
【分析】根据题意画出图形，再由平行线的性质定理即可得出结论．
【解析】解：如图
当∥时，；
当∥时，；
当∥ 时，∵，
∴；
当∥时，∵ ，
∴．
故选B
9．C
【解析】分析：首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的关系式，然后根据交点个数为27，列出关于n的方程，解方程求出n的值即可．
详解：∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n 1.即：
当n=3时，共有2个交点；
当n=4时,共有5个交点；
当n=5时,共有9个交点；
…，
∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n 1)=个.
解方程=27,得n=8或 7(负值舍去).
10．C
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【解析】解：①过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
二、填空题
11．如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行
【分析】先分清命题“内错角相等，两直线平行”的题设与结论，然后把题设写在如果的后面，结论部分写在那么的后面．
【解析】解：“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式为如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行．
故答案为：如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行．
12．
【分析】本题考查的是垂线段最短，熟知“垂线段最短”是解答此题的关键． 根据垂线段最短即可得出结论．
【解析】解：∵小明的真实成绩为点P到直线的距离，
∴小明的真实成绩为米，
故答案为：．
13．（或）
【分析】本题考查了同位角，结合题意：同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，且结合图形，即图中的一个同位角是或，进行作答．
【解析】解：依题意，图中的一个同位角是或，
故答案为：（或）．
14．42
【分析】先根据邻补角进行计算得到，根据平行线的判定当b与a的夹角为时，，由此得到直线b绕点A逆时针旋转．
【解析】解：如图：

∵，
∴，
∵，
∴当时，，
∴直线b绕点A逆时针旋转．
故答案为：42．
15．72°
【分析】先根据平行线的判定定理得到ab，然后再利用平行线的性质即可解答．
【解析】解：∵∠4＝110°，∠3＝70°，
∴∠3+∠4＝180°，
∴ab，
∴∠2＝∠1＝72°．
故答案为：72°．
16．或
【分析】设一个角度数为x，则另一个角度数为，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【解析】∵两个角的两边分别平行，
∴两个角相等或互补，
设一个角度数为x，则另一个角度数为，
由题意得：或，解得：或．
∴或
答：这两个角的度数分别是：或．
故答案是：或．
17．①③④
【分析】本题考查了平行线的性质，结合直线，得，，，即可作答．
【解析】解：∵，
∴，，，
其中所有正确结论的序号是①③④，
故答案为：①③④．
18．或或
【分析】设开启秒后，两灯的光束互相垂直，分，时，灯光返回，第一次与垂直和时，灯光返回，第二次与垂直，三种情况讨论求解即可．
【解析】解：灯P照射一次，需要秒，灯Q照射一次，需要秒，设开启秒后，两灯的光束互相垂直；
①当时，两灯光垂直于点，过作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
解得：；
②当时，灯光返回，第一次与垂直，过作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
解得：；
③当时，灯光返回，第二次与垂直，过作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
解得：；
综上：开启秒或秒或秒时，两灯的光束互相垂直．
三、解答题
19．（1）解：如图所示：
即为所求作；
（2）解：由题意可知，点到直线的距离是线段的长，
故答案为：；
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
20．（1）解：平分
．
又
．
又∵∠AOC=∠BOD,
．
（2），．
平分，
，
，
又∵∠AOC=∠BOD，
．
21．解：平行．理由如下：
因为，平分，
所以（角平分线的定义）
又因为，
所以，
所以（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：；60；；；同位角相等，两直线平行．
22．（1）解：∵，
∴，
∵，分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，分别是，的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴．
23．解：假设，过点O作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行，
可得．
这样过点O就有两条直线，都平行于直线，
这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，
说明的假设是不对的，于是有．
故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
24．（1）证明：∵，，
，
，
．
（2）解：∵，
．
又∵，
．
又∵平分，
，
．
25．（1）证明：∵，
∴，（同位角相等，两直线平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，
∴（等量代换），
∴．（同旁内角互补，两直线平行）
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴（已证），
又∵，
∴（垂直定义），
∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
∴．
26．解：如图，在平面上任取一点O，过点O分别作这6条直线的平行线，则由平行线的特性，知直线之间互成的角与原来的6条直线之间互成的角相等．
现在我们考虑直线的情况，观察直线与，与与与所成的角，由图不难发现这6个角合成一个平角，即这6个角的和为．
假设这6个角没有一个小于，则这6个角都大于或等于，从而这6个角的和至少为，这是不可能的，所以这6个角中至少有一个角小于．
不妨设与所成的角小于，
则原来的直线与所成的角也必小于．
27．（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）设，
，，
，
由（1）知：，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
解得：，
即．
28．（1）过M向左作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）设直线、交于点G，
∵平分，
∴，
设
∵，
由（1）得，，
∴，
由（1）得，，
∴，
过F作，则，，
∴，
于是得，，解得，
∴.
（3）设，
∵平分，
∴，
过点T向右作，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴.