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第六章 图形的变化
6.3 图形的相似
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 相似的有关概念及性质 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，图形的相似部分，考查2道题，分值为12分左右，通常以选填题（1题）、 解答题（1题）的形式考查。在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。需要考生在复习的时候给予加倍的重视，扎实掌握，灵活应用。
考点2 相似图形的判定 ☆☆☆
考点3 相似图形的应用（含位似） ☆☆☆
考点4 常见的相似三角形模型 ☆☆☆
图形的相似是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的考点之一。它不仅可以作为基础考点单独考查，还常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等知识点一起考查。
2
4
■考点一 实数的分类及正负数的意义 4
■考点二 科学记数法 5
■考点三 相反数、绝对值与数轴 6
■考点四 实数的运算及其大小比较 7
■考点五 二次根式及其运算 8
12
17
■考点一 相似的有关概念及性质
1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比。
2）比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项 。
3）比例的性质
性质 内容
性质1 = ad=bc（a，b，c，d≠0）。
性质2 如果=，那么。
性质3 如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）。
4）黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点 ，AC是BC与AB的比例中项 ，AC与AB的比叫做黄金比 。
5）平行线分线段成比例（定理）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
即： 。
6）相似三角形的定义：对应角相等 ，对应边成比例 的两个三角形叫做相似三角形 ，相似三角形对应边的比叫做相似比 。
7）性质：（1）相似三角形的对应角相等 ；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线） 成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比 ，面积比等于相似比的平方 。
8）相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 ，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比 。
9）相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边成比例 ；（2）相似多边形的对应角相等 ；（3）相似多边形周长的比等于相似比 ，相似多边形面积的比等于相似比的平方 。
■考点二 相似图形的判定
相似三角形的判定：（1）有两角对应相等 ，两三角形相似；（2）两边对应成比例 且夹角相等 ，两三角形相似；（3）三边对应成比例 ，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 ，两直角三角形相似。
■考点三 相似图形的应用（含位似）
1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上） ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比 。
2）位似图形的性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k ；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 或相似比 。
3）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点 ，则该点即是位似中心 。
4）画位似图形的步骤：（1）确定位似中心 ；（2）确定原图形的关键点 ；（3）确定位似比 ，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点 ；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点 。
5）利用影长测量物体的高度
①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决。
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长 来，再计算出被测量物的长度 。
6）利用相似测量河的宽度（测量距离）
①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上。必须保证在一条直线 上，为了使问题简便，尽量构造直角 三角形。
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度 。
7）借助标杆或直尺测量物体的高度．
利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点 和盲区 的知识构建相似三角形 ，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。
■考点四 常见的相似三角形模型
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。常见模型有：一线三等角模型、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、十字架模型、A字和8字模型、母子模型、托勒密模型等。
■考点一 相似的有关概念及性质
◇典例1：（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：
【答案】
【详解】解：∵∴∴，故答案为：．
◆变式训练
1．（2024·上海杨浦·统考一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，
∵点是线段的黄金分割点，且，∴，故选：A．
2．（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设，▲为，●为，◆为，
∴，∴，
∴，∴▲，●，◆这三种物体的重量比为．故选：B．
◇典例2：（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在中，点在边上，连接，交于点．则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：四边形是平行四边形，，，∴
，，故B错误，不符合题意；，故A正确，符合题意；
如果，则有，和不平行，，故C错误，不符合题意；
如果，则有∴，和不平行，
，故D错误，不符合题意；故选：A．
◆变式训练
1.（2023·江苏·统考中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【答案】D
【详解】解：由步骤2可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤3中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点 故选：D
2．（2024·重庆大渡口·统考一模）如图，，若，，，则的长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：∵，∴，即，∴，故选：B．
3．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵中，，∴，
∵∴，故选：A．
◇典例3：（2024·福建·校考模拟预测）如图，由图形改变为图形，这种图形改变属于（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．相似
【答案】D
【详解】图形改变为图形，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：D．
◆变式训练
1.（2023·广东深圳·统考模拟预测）下列图形不是相似图形的是（ ）
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．某人的侧身照片和正面照片
C．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 D．大小不同的两张中国地图
【答案】B
【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，故本选项不符合题意；
B、某人的侧身照片和正面像，不是相似图形，故本选项符合题意；
C、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是相似图形，故本选项不符合题意；D、大小不同的两张中国地图，是相似图形，故本选项不符合题意；故选：B．
◇典例4：（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴，∴，故选：B.
◆变式训练
1．（2023·江苏泰州·统考中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
【答案】
【详解】解：两个相似图形，其周长之比为，其相似比为，
其面积比为．故答案为：．
2．（2024·四川泸州·校考一模）若且面积比为，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵且面积比为，∴和的相似比为，
∴和的周长比为．故选：C．
◇典例5：（2023·山东·统考中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，由折叠可得：，，
∵矩形，∴，∴，设的长为x，则，
∵矩形，∴，∵矩形与原矩形相似，
∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去）∴，故选：C．
◆变式训练
1.（2024·重庆沙坪坝·统考一模）若两个相似多边形的相似比为3:1，则它们周长的比为（ ）
A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．9:1
【答案】B
【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为3:1，∴它们周长的比为3:1，故选：B．
2. （2024·河北张家口·校考模拟预测）把一根铁丝首尾相接围成一个长为，宽为的矩形，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形，使矩形矩形，则这根铁丝需增加（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：原长方形的长和宽分别为和，由图形知，扩张后的长方形宽为，设长为，
∵矩形矩形，∴，∴，
经检验，是分式方程的解，∴扩张后的长方形长为，
原长方形的周长为，扩张后长方形的周长为，
，∴这根铁丝需增加，故选：D．
■考点二 相似图形的判定
◇典例6：（2024·江西·统考一模）如图，已知，请再添加一个条件，使，你添加的条件是 （写出一个即可）．
【答案】或
【详解】解：添加，∵，∴；
添加，∵，，∴；
故答案为：或．
◆变式训练
1．（2024·广东阳江·一模）如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、根据，，并不满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，不能判断，故本选项符合题意；
B、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意；
C、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意；
D、因为，，满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，，故本选项不符合题意．故选：A．
2．（2024·江西·统考三模）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】A
【详解】解：在和中，，如果，需满足的条件有：
①或平分；②；故选：A．
◇典例7：（2024·湖南邵阳·统考一模）如图，是等边三角形，点、分别在、的延长线上，．(1)请找出图中相似的三角形；(2)请选择其中一对说明理由．
【答案】(1)，(2)理由见解析
【详解】（1）解：相似三角形有：，；
（2）的理由：∵是等边三角形，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；
的理由：∵是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
◆变式训练
1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，，是边上的高，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，∴，
∵是边上的高，∴，
∴，∴，∴．
2．（2025·上海黄浦·一模）已知在中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，连接．(1)证明：；(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】（1）证明：，．，．
平分，，．
（2），．
，，．
又，，．，．
又，，．
3．（2024·浙江·校考一模）如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且．求证：(1)；(2)．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）证明：∵，∴，，
∵，，∴，即，∴．
■考点三 相似图形的应用（含位似）
◇典例7：（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
◆变式训练
1．（2024·山东·三模）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到'，①；②；③；④点、、三点在同一直线上.则以上四种说法正确的是______．
【答案】①②④
【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，故②正确；由位似图形中，对应边平行可知：，故①正确；
∵放大2倍得到，∴，∴，故③错误；
由位似图形中对应点的连线都经过同一点，∴点C、点O、点C’三点在同一直线上，故④正确；
故答案为：①②④．
2．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，故选：C．
◇典例8：（2024·江苏·中考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（2，7）
【解析】（1）如图，△O′A′B即为所求；
（2）如图，△O″A″B即为所求；
（3）如图，∵点M是OA的中点，∴经过（1）旋转后坐标变为（，）
∴经过（1）位似变换后，M的对应点M′的坐标为（2，7）．故答案为：（2，7）．
◆变式训练
1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
(1)在图1中，以为边，画出，使和全等，D为格点，请在图1中画出满足条件的所有；(2)在图2中，以点C为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点E、F为格点；(3)在图3中，在边上找一个点P，且满足．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】本题主要考查了作图﹣相似变换，熟练掌握全等图形、位似图形、相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据全等三角形的性质即可作出；（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出；（3）取格点E，F，连接，交于点P，则点P即为所求作的点．
【详解】（1）如图，和和即为所作，
（2）如图，即为所作，
（3）如图所示，取格点E，F，交于点P．
；
∵，∴，∴．
2．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为、．
(1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍即新图与原图的相似比为，画出图形并写出点、的坐标；(2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求出点所经过的路线长．
【答案】(1)见解析，、的坐标分别为：，(2)见解析，
【分析】（1）利用位似图形的性质得出，点对应点 、的坐标即可；（2）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后的对应点、的位置，然后顺次连接即可，再根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】（1）解：如图所示：、的坐标分别为：，；
（2）解：如图所示：即为所求，点所经过的路线长为：．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
◇典例9：（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为 cm．
【答案】18
【详解】解：，，，，
，，故答案为：18．
◆变式训练
1.（2023·吉林长春·校考模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴四边形为矩形，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即,∴物体被缩小到原来的．故选：C．
2．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点．测得，，，请根据这些数据求河的宽度．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∴，
∴，即，∴，解得：，答：的长为．
◇典例10：（2023·四川攀枝花·统考中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．
【答案】36m
【详解】解：设，则
∵，，∴，∴，
∴，即，同理可证，
∴，即，∴，解得，
经检验，是原方程的解，∴，∴，∴该古建筑的高度为36m．
◆变式训练
1．（2023·江西·统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．
【答案】
【详解】解：∵和均为直角∴，∴，∴
∵，∴,故答案为：．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点为揽月阁的顶部，点为揽月阁的底部，小明在点处放一水平的平面镜，然后沿着方向向前走米，到达点处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端的像．接下来小明不动，小丽在处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端、揽月阁的顶端、小明的眼睛在一条直线上，此时测得测量杆的高度米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离米，点、、在一条直线上，，，，求揽月阁的高度．（平面镜的大小忽略不计）
【答案】揽月阁的高度为米
【详解】延长交的延长线于点，根据题意知
∵，，，∴，
∴，∴，∴，∵，，∴，
∵，，，∴，
∴，，∴，，
设，，则，，，
∴，解得：，∴（米），答：揽月阁的高度为米．
■考点四 常见的相似三角形模型
◇典例11：（23-24下·衢州·二模）在矩形中，E是边的中点，连接，过点B作于点F，射线与直线交于点P，设．
(1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定m的值；
(3)作点B关于直线的对称点，当以点P，D，为顶点的三角形是等腰三角形时，求的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)或2或
【详解】（1）如图，∵ =1，四边形ABCD是矩形，
∴AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCP=90°，
∵ ，∴∠BAE=∠CBP，∴△ABE≌△BCP，∴AE=BP．
（2）∵ 矩形中，E是边的中点，∴设BE=EC=x，则BC=AD=2x，∠BAD=90°．
∵ ，∠ADF=∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴，
∵ 四边形是矩形，∴AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，
∴，∴，
解得，（舍去），∴BD=DF+EF=3EF=，
∴，∴．
（3）当时，∵ 四边形是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∠ADC=∠ABC=∠BCP=90°，
∵ E是边的中点， ，∴ AD=BC=2BE，∠PFE=90°，
∵P，D，为顶点的三角形是等腰三角形，∴，∴，∴，
∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴sin∠BAE=，∴∠BAE=30°，根据（1）证明，得∠BAE=∠CBP=30°，
∴tan∠BAE=tan30°=，tan∠CBP=tan30°=，
∴，，∴=．
如图，当点P在CD的延长线上时，此时落在AD上，
根据题意，得∠BAF=∠AF=45°，∴∠PD=∠PD=45°，∴，
∵∠BAF=45°，∴∠BEA=45°，∴四边形ABE是正方形，故是AD的中点，
∴=CD，∴=．如图，∵ ，设AB=x，则AD=mx，BE=，
∵∠ABG=90°-∠FBE，∠AEB=90°-∠FBE，∴∠ABG=∠AEB，∴tan∠ABG= tan∠AEB，
∴，∴，解得AG=，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴，
∴，∴，∴，∴．
◆变式训练
1．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：设正方形的边长为，则，
∵四边形是正方形，，，
，，， ，，，
解得：，正方形的面积为故答案为：
2．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；
小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：，
∴，两边同时除以，得．
（2）证明：∵，，，，∴，，
∵，∴，∴，同理，，
∴，∴，
两边同时除以得，，∴；
（3）解：由（1）可知，，，
∴，解得，，∴，解得，，∴．
3．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．(1)初步探究：如图2，若，求证：；
(2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；(3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴；
（2）解：∵点为中点，∴设，由（1）知，∴，
∴，∴与的相似比为，∴，∵∴；
（3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示：
∵点为中点，∴设，∵，∴，，
在中，，则由勾股定理可得，过点作于点，如图2所示：
∴，∴，∴，∴，，∴，∴，
∵，点为中点，∴，，，
又∵，∴，，∴，
又∵，∴，，∴，即，∴，∴．
◇典例12：．（2024·江西·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形的旋转变换进行研究．(1)[观察猜想]如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系 ；
(2)[探究证明]如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)[拓展延伸]如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出DF2的值．
【答案】(1)结论BD=CE．证明见解析；
(2)结论不成立．BD与CE的数量关系：BD=CE．证明见解析；(3)28
【详解】（1）结论BD=CE．理由：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（），∴BD=EC．故答案为：BD=CE．
（2）结论不成立．BD与CE的数量关系：BD=CE．
理由：∵△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠EAD=45°，，
∵∠DAB=∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴，∴BD=CE
（3）如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．
，
将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，
当AB⊥BE时，
ABC是等边△，等边三角形的边长为4，，
◆变式训练
1．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长．
（2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长．（3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，，
，，，，，
在和中，，，
，，，，，
在和中，，，，
设，则，
在中，，，解得：，；
（2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点，
，，，
在和中，，，
，，，，，
在和中，，，，
设，则，
，，，
，，，
在中，，即，解得：，；
②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点，
，，，，，
在和中，，，
，，，，，
在和中，，，，
设，则，
，，，，，
，在中，，即，
解得：，；综上所述，或；
（3）作，且令，连接，，
，，，，
， ，，，
，，，
，，，，
，，
，
，，，．
2．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．
在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且．
【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；
请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长．
【答案】（）见解析；（），理由见解析；；（）
【详解】（）证明：连接，∵，，且当时，，
，，，，
，，∴∠EDF，，
在和中，，∴， ，
，即；
（），理由如下：过点作于，于，
，，，
，，和是等腰直角三角形，
，，，，，
，，设，则，，，，
，，，四边形是矩形，
，，
又，，，，
；
如图4，当点在射线上时，过点作于，于，
，，，，，和是等腰直角三角形，
，，，，，
∴，，设，，
，，，，，，
四边形是矩形，，，
又，，，，
；
当点在的延长线上时，如图5，，，，
，，和是等腰直角三角形，
，，，，，
∴，，设，，，，，，，，四边形是矩形，
，，
又，，，，
；
综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，；
（3）解：连接，，，如图（1），
的中点为，，，∴点在线段的垂直平分线上运动，
∵点D为靠近B的四等分点，∴，
由（2）得，∴
当点E与点A重合时，过点M作于点H，如图，
∴，∴，∴∴，∴，
∵，代入得，∴；
当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，如图，
∵，代入得，∴，
∴如图，点M的运动轨迹即为的长，
∵在Rt中，∴∴∴点运动的路径长为
◇典例13：（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，，
∴，．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
（1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：．
请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）
【分析】(1) 过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可．
(2) 根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可．(3) 根据定理，计算比值，后解答即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，
则．故：．
（2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得：．
又，∴，．在等边中，，点为的中点，
．由勾股定理知： ．
（3）解：线段是的梅氏线，
由梅涅劳斯定理得，，即，则．如图，连接，
，于是．
◆变式训练
1．（2024·山西·校考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)；的面积为
【详解】（1）证明：在中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴，．
由赛瓦定理可得：．∴，∴．即点F为AB的中点；
（2）解：∵为等边三角形，，∴∵点D是BC边的中点，∴，
∵，∴．由赛瓦定理可得：；过点F作FG⊥BC于G，
∴，，∴CG=BC-BG=8，
∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，
∴，即，∴，∴，
∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴
又，∴，∴．
2．（2024·河南商丘·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：
克罗狄斯 托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程：
证明：如图1，作，交于点.，
（依据1），（依据2），
，，.
，，即，
，，
．
任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______．
(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______．
(3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长．
【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似 (2)勾股定理 (3)
【详解】（1）解：托勒密定理的逆命题是如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形．证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等；依据2”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似．故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）解：如图，作，交于点，
，，，，，
，，，，
即．，，．
．，
四边形是矩形，，
，故答案为：勾股定理；
（3）解：为直径，，
，，，．
的角平分线交于点，，，
为等腰直角三角形，．
四边形为圆的内接四边形，．．
1．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．故选D．
2．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点分别为边的中点，∴，，故正确；
∵，∴，故正确；
∵，∴，∴，故错误；故选：．
3．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【详解】解：∵正方形，，∴，
∵正方形，，∴，∴，
由题意得，∴，∴，即，解得，故选：B．
4．（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵与相似，且相似比为，
∴与的周长比为，故选B．
5．（2024·湖北·中考真题）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ．
【答案】 /30度 /
【详解】解：∵为等边三角形，，∴，，
∴，，，
作交的延长线于点，∴，，
∵，∴，∴，
∴，即，解得，故答案为：，．
6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ．
【答案】
【详解】解：设的距离为，∴，即，
∵，∴，，∴，
∴，故答案为：．
7．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
【答案】
【详解】由题意得：，∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，∴，即，∴（），
即小孔到的距离为，故答案为：．
8．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．
【答案】/0.5
【详解】解：，，，故答案为：．
9．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．
【答案】
【详解】解：连接，过E作于F，设，，
∵，为中点，∴，又，
∴，，，∴，，
∵，∴，则，又，
∴，∴，，
∴，则；
∵是的一条角平分线，∴，又，
∴，∴∴，则，
∴，即，解得（负值已舍去），故答案为：．
10．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．
【答案】
【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：
∵四边形为平行四边形，∴，，，
∴，∵，，∴，∴，
∴，∴当最小时，最小，∵两点之间线段最短，∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，
∵，∴，∴，即，解得．故答案为：．
11．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是正方形，，，
，，，
，，，，
又，，，，，
，，．故答案为：．
12．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E若，则 （从“”中选择一个符合要求的填空）； ．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，∴，即，
∵将绕点A逆时针旋转得到，∴，，
∴，∴，∴，即，解得：，
∵四边形是平行四边形，，∴，∴，
设，，则，，∵，∴，
∴，∴，整理得：，
把代入解得：故答案为：，．
13．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．
【答案】/
【详解】解：如图，连接交于点，
∵五边形是正五边形，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，即，解得或（舍去），
∴，故答案为：．
14．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【答案】见解析
【详解】解：，，，
四边形是正方形，，，
，，又，．
15．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．
【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．
【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）证明：在正方形中，，，∴，
∵，∴，
∴，∴．
（2）如图1，作于点N，如图所示：
∵，，∴四边形是矩形，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴；
（3）∵， ，∴，∴．
∵，∴，如图2，作于点N，
∵，∴，∴．
∵，∴，∴，
∵，∴，∴．
∵，，∴，
∴，∴∴．
16．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：(1)求证：；(2)探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：①当时，直接写出的值；②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
(3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】(1)见解析(2)①②，证明见解析(3)
【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，
∴，，且，∴，∴；
（2）解：①当时，；当时，，
∴总结规律得：是的2倍，∴当时，；
②当时，猜想，证明：作于点，
∵，∴，∴，
∵，∴，由（1）知，又，
∴，即，∴；
（3），理由如下：过点作，∵，，∴，
由（2）知，当时，，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，由（1）知，∴．
17．（2024·江西·中考真题）综合与实践：如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；②当时，请直接写出的长度．
【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或.
【详解】解：（1）∵，∴，，
∵，∴，，∴；
∴，，∴，
∴，∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下：
∵，∴，，
∵，∴；∴，，
∴，∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（3）由（1）得：，，，∴，都为等腰直角三角形；
∵点F与点C关于对称，∴为等腰直角三角形；，
∴四边形为正方形，如图，过作于，
∵，，∴，，
当时，∴，∴，
如图，当时，此时，同理可得：，
∴y与x的函数表达式为，当时，的最小值为；
②如图，∵，正方形，记正方形的中心为，∴，
连接，，，∴，
∴在上，且为直径，∴，
过作于，过作于，∴，，
∴，∴，∴正方形面积为,
∴，解得：，，经检验都符合题意，如图，
综上：当时，为或.
18．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积分别为4，16，12，
【详解】（1）∵，，．∴，
∴，，
∴即，
∵∴，∴．
（2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，∴，
∵是中线∴，∴，
∵，∴即，∴，∴，∵，
∴，∴，∴四边形是平行四边形，
∵∴四边形矩形，∴，
∴，∴，∴，
设，则，∵，∴，
∴，∵，∴，解得；
∴，，∵，∴，
∴，∴，∴，解得．
（3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，
∵，∴，
∵，，，∴四边形是矩形，
∴，∴，故；
如图，当时，此时是直角三角形，
过点A作于点Q，交于点N，∴，，
∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，解得；
故．
1．（2024·江苏·一模）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（ ）
A．4 B．6 C．9 D．36
【答案】B
【详解】解：根据比例中项的概念，得，，
又线段不能是负数，应舍去，取，故选：B．
2.（2024上海虹口·统考一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则已知四边形的四条边分别为1，，2，．
选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意；选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例．
将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为．
如图，连接、，则，．
在与中，，，
，，．
在与中，，，
，，，
，，，，
又，四边形四边形．故选：D．
3．（2024·河北石家庄·统考三模）对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．
甲方案：如图1所示，最大值为16；
乙方案：如图2所示，最大值为16．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确
C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
【答案】D
【详解】解：∵6：2=3：1，∴三个矩形的长宽比为3：1，甲方案：如图1所示，
3a+3b=6，∴a+b=2，周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
乙方案：如图2所示，a+b=2，周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
如图3所示，矩形①的长为2，则宽为2÷3=；则矩形②的长为6-=，宽为÷3=；
∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+)+2(+)=；
∵16，∴周长和的最大值为；故选：D．
4．（2024·安徽·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】解：∵是线段的黄金分割点，，
∴，∴，∵，∴，故选B
5．（2024·黑龙江·统考二模）如图，四边形是平行四边形，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，分别交、于点、，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，，，故选：C．
6.（2024·安徽·模拟预测）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．
7．（2024·四川泸州·校考一模）如图，点D在的边上，要判定与相似，需添加一个条件，下列添加的条件中，不正确的是（ ）
A． B． C．＝ D．＝
【答案】C
【详解】解： 若 ，则 ，故选项 A 不合题意；
若 ，则 ， 故选项 B 不合题意；
若 ，则 ，故选项 D 不合题意；故选：C．
8.（2024·湖北·统考一模）如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，∴，故选：D．
9．（2024·陕西·校考三模）如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】解：为等边三角形，．．
，，，
，，，，．故选：D．
10．（2025·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，∴，由题意可得是等边三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴Q点的运动轨迹是射线，∵，∴，
∵，∵，∴，
∵，，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为，故选：A．
11.（2024·湖南·校考三模）（多选题）如图，已知，任取一点，连接，，，并取它们的中点、、、顺次连接得到，下列结论中正确的是（ ）
A．与是位似图形 B．与是相似图形
C．与的周长之比 D．与的面积之比为
【答案】ABC
【详解】解：、、的中点分别为、、，
∴，，，，，，∴，
与是位似图形，位似中心为点，A选项符合题意；
与是相似图形，B选项符合题意；
与的周长比是，C选项符合题意；
与的面积比是，D选项不符合题意；故选：ABC．
12．（2024·重庆大渡口·统考一模）如图，，若，，则的大小为 ．
【答案】/40度
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，故答案为：．
13．（2024·广东潮州·二模）如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于，
∵将沿着折痕翻折，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，故答案为：．
14．（2025·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，，过点B的直线轴，点P在直线m上运动，是右侧的等腰直角三角形，且，点C在直线上，则当取最小值时点P的横坐标是 ．
【答案】
【详解】解：设点P的坐标为，过点P作，垂足为E，过点C作，垂足为F，如图，
∵，∴．∵，∴．
在和中，，∴，∴
∵点C始终在直线上运动．∴点C的坐标为．
设直线与x轴、y轴分别交于点M、N，如图，当时，，当时，，
∴．∴．∵，∴．
作点A关于直线作对称点，连接，
则．∴，
∵．∴最小值为长，此时C位于处．
∵，∴．根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：
，解得，∴，∴，故答案为：．
15.（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点．(1)在所给网格中，以点为位似中心，将放大2倍得到（点的对应点分别是），画出；(2)将进行平移得到格点（点的对应点分别是），使，画出．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
16．（2024·吉林长春·校考模拟预测）在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作．如图1，射线经过点A，交边于点E．
(1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形；
(2)如图2，将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线，分别交，于点E，F．①求证：；②如图3，若，，在线段上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围；
③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似．
【答案】(1)(2)①见解析 ② ③或
【详解】（1）∵， 是边的中点，
∴，
∵，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴；
（2）①证明: ∵是的一个外角，∴，
∵，∴，又∵，∴；
②如图，初始位置时，如图，当过点时，
， 是边的中点，，由①知 ，
，即 解得 ，∴ 的取值范围为；
③当旋转角或时, 与相似,
∵，∴ ，∴,
∵是的中点，∴ ,当时, 旋转角为，
当时, 旋转角为，
综上所述: 当旋转角为或时, 与相似．
17．（2024·浙江宁波·统考二模）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．
(1)[初步理解]如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形．(2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图2，若，，，求四边形的周长．(3)[拓展提高]如图3，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且．若，，求的值．
【答案】(1)见解析(2)23(3)
【详解】（1）解： 平分，，
在中，，
，，
，，所以 和为叠似三角形；
（2）解：∵，，，．，
，，，且
，，，，四边形的周长为：．
（3）解：如图，过C作的平行线交的延长线于G，，，
∵，，，，
，，，，
为中点，，又，，
，，，即
，，，，．
18．（2024·山东泰安·统考三模）【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图，点在的延长线上，且，若求证：；请用你所学的知识进行证明．
【拓展训练】如图，点在的延长线上，且，若，，，则的值为______；（直接写出）
【知识迁移】将此模型迁移到平行四边形中，如图，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点若求证：．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析
【详解】（1）证明：，，，
，；
（2）解：如图，在上截取，连接，
，是等边三角形，，，
，，
，由（1）知：，，，故答案为：；
（3）证明：如图，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，
，，四边形是平行四边形，
，，，
，，由（1）知：，
，，．
19．（2024·浙江宁波·校联考模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，和是直角三角形，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在与中，直角顶点重合于点C，点D在上，，且，连接，若，求的长；
【拓展提高】（3）如图3，若，， ，，过A作交延长线于Q，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）证明：，，
，，，，；
（2）解：，，，
，， ， ，
，，，
， ，， ；
（3）解：如图3，在上截取，连接，
，，，，
设，则，，
，，，
，是等边三角形，
，，，
，，
，∴，，
，， ，
20．（2025·广东·模拟预测）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______；（2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，求的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）当时，和是等腰直角三角形，，，
，，，故答案为：；
（2）．理由：如图，过点作于点，
，，，
，，同理可得：，，
，，，；
（3）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，
．．线段绕点顺时针旋转得到线段，．．
是以为底边的等腰三角形，，，．
．．．
，．设，则，，，
．．，，
，，，，
，，．
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第六章 图形的变化
6.3 图形的相似
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 相似的有关概念及性质 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，图形的相似部分，考查2道题，分值为12分左右，通常以选填题（1题）、 解答题（1题）的形式考查。在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。需要考生在复习的时候给予加倍的重视，扎实掌握，灵活应用。
考点2 相似图形的判定 ☆☆☆
考点3 相似图形的应用（含位似） ☆☆☆
考点4 常见的相似三角形模型 ☆☆☆
图形的相似是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的考点之一。它不仅可以作为基础考点单独考查，还常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等知识点一起考查。
2
4
■考点一 实数的分类及正负数的意义 4
■考点二 科学记数法 5
■考点三 相反数、绝对值与数轴 6
■考点四 实数的运算及其大小比较 7
■考点五 二次根式及其运算 8
12
17
■考点一 相似的有关概念及性质
1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比。
2）比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项 。
3）比例的性质
性质 内容
性质1 = ad=bc（a，b，c，d≠0）。
性质2 如果=，那么。
性质3 如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）。
4）黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点 ，AC是BC与AB的比例中项 ，AC与AB的比叫做黄金比 。
5）平行线分线段成比例（定理）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
即： 。
6）相似三角形的定义：对应角相等 ，对应边成比例 的两个三角形叫做相似三角形 ，相似三角形对应边的比叫做相似比 。
7）性质：（1）相似三角形的对应角相等 ；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线） 成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比 ，面积比等于相似比的平方 。
8）相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 ，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比 。
9）相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边成比例 ；（2）相似多边形的对应角相等 ；（3）相似多边形周长的比等于相似比 ，相似多边形面积的比等于相似比的平方 。
■考点二 相似图形的判定
相似三角形的判定：（1）有两角对应相等 ，两三角形相似；（2）两边对应成比例 且夹角相等 ，两三角形相似；（3）三边对应成比例 ，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 ，两直角三角形相似。
■考点三 相似图形的应用（含位似）
1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上） ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比 。
2）位似图形的性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k ；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 或相似比 。
3）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点 ，则该点即是位似中心 。
4）画位似图形的步骤：（1）确定位似中心 ；（2）确定原图形的关键点 ；（3）确定位似比 ，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点 ；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点 。
5）利用影长测量物体的高度
①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决。
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长 来，再计算出被测量物的长度 。
6）利用相似测量河的宽度（测量距离）
①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上。必须保证在一条直线 上，为了使问题简便，尽量构造直角 三角形。
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度 。
7）借助标杆或直尺测量物体的高度．
利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点 和盲区 的知识构建相似三角形 ，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。
■考点四 常见的相似三角形模型
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。常见模型有：一线三等角模型、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、十字架模型、A字和8字模型、母子模型、托勒密模型等。
■考点一 相似的有关概念及性质
◇典例1：（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：
【答案】
【详解】解：∵∴∴，故答案为：．
◆变式训练
1．（2024·上海杨浦·统考一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，
∵点是线段的黄金分割点，且，∴，故选：A．
2．（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设，▲为，●为，◆为，
∴，∴，
∴，∴▲，●，◆这三种物体的重量比为．故选：B．
◇典例2：（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在中，点在边上，连接，交于点．则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：四边形是平行四边形，，，∴
，，故B错误，不符合题意；，故A正确，符合题意；
如果，则有，和不平行，，故C错误，不符合题意；
如果，则有∴，和不平行，
，故D错误，不符合题意；故选：A．
◆变式训练
1.（2023·江苏·统考中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【答案】D
【详解】解：由步骤2可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤3中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点 故选：D
2．（2024·重庆大渡口·统考一模）如图，，若，，，则的长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：∵，∴，即，∴，故选：B．
3．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵中，，∴，
∵∴，故选：A．
◇典例3：（2024·福建·校考模拟预测）如图，由图形改变为图形，这种图形改变属于（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．相似
【答案】D
【详解】图形改变为图形，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：D．
◆变式训练
1.（2023·广东深圳·统考模拟预测）下列图形不是相似图形的是（ ）
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．某人的侧身照片和正面照片
C．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 D．大小不同的两张中国地图
【答案】B
【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，故本选项不符合题意；
B、某人的侧身照片和正面像，不是相似图形，故本选项符合题意；
C、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是相似图形，故本选项不符合题意；D、大小不同的两张中国地图，是相似图形，故本选项不符合题意；故选：B．
◇典例4：（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴，∴，故选：B.
◆变式训练
1．（2023·江苏泰州·统考中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
【答案】
【详解】解：两个相似图形，其周长之比为，其相似比为，
其面积比为．故答案为：．
2．（2024·四川泸州·校考一模）若且面积比为，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵且面积比为，∴和的相似比为，
∴和的周长比为．故选：C．
◇典例5：（2023·山东·统考中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，由折叠可得：，，
∵矩形，∴，∴，设的长为x，则，
∵矩形，∴，∵矩形与原矩形相似，
∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去）∴，故选：C．
◆变式训练
1.（2024·重庆沙坪坝·统考一模）若两个相似多边形的相似比为3:1，则它们周长的比为（ ）
A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．9:1
【答案】B
【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为3:1，∴它们周长的比为3:1，故选：B．
2. （2024·河北张家口·校考模拟预测）把一根铁丝首尾相接围成一个长为，宽为的矩形，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形，使矩形矩形，则这根铁丝需增加（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：原长方形的长和宽分别为和，由图形知，扩张后的长方形宽为，设长为，
∵矩形矩形，∴，∴，
经检验，是分式方程的解，∴扩张后的长方形长为，
原长方形的周长为，扩张后长方形的周长为，
，∴这根铁丝需增加，故选：D．
■考点二 相似图形的判定
◇典例6：（2024·江西·统考一模）如图，已知，请再添加一个条件，使，你添加的条件是 （写出一个即可）．
【答案】或
【详解】解：添加，∵，∴；
添加，∵，，∴；
故答案为：或．
◆变式训练
1．（2024·广东阳江·一模）如图，在中，D是上一点，连接，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、根据，，并不满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，不能判断，故本选项符合题意；
B、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意；
C、因为，，满足相似三角形的判定条件“两组对应角相等”，所以，，故本选项不符合题意；
D、因为，，满足相似三角形的判定条件中的“两边成比例且夹角相等”所以，，故本选项不符合题意．故选：A．
2．（2024·江西·统考三模）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】A
【详解】解：在和中，，如果，需满足的条件有：
①或平分；②；故选：A．
◇典例7：（2024·湖南邵阳·统考一模）如图，是等边三角形，点、分别在、的延长线上，．(1)请找出图中相似的三角形；(2)请选择其中一对说明理由．
【答案】(1)，(2)理由见解析
【详解】（1）解：相似三角形有：，；
（2）的理由：∵是等边三角形，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；
的理由：∵是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
◆变式训练
1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，，是边上的高，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，∴，
∵是边上的高，∴，
∴，∴，∴．
2．（2025·上海黄浦·一模）已知在中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，连接．(1)证明：；(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】（1）证明：，．，．
平分，，．
（2），．
，，．
又，，．，．
又，，．
3．（2024·浙江·校考一模）如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且．求证：(1)；(2)．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）证明：∵，∴，，
∵，，∴，即，∴．
■考点三 相似图形的应用（含位似）
◇典例7：（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
◆变式训练
1．（2024·山东·三模）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到'，①；②；③；④点、、三点在同一直线上.则以上四种说法正确的是______．
【答案】①②④
【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，故②正确；由位似图形中，对应边平行可知：，故①正确；
∵放大2倍得到，∴，∴，故③错误；
由位似图形中对应点的连线都经过同一点，∴点C、点O、点C’三点在同一直线上，故④正确；
故答案为：①②④．
2．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，故选：C．
◇典例8：（2024·江苏·中考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（2，7）
【解析】（1）如图，△O′A′B即为所求；
（2）如图，△O″A″B即为所求；
（3）如图，∵点M是OA的中点，∴经过（1）旋转后坐标变为（，）
∴经过（1）位似变换后，M的对应点M′的坐标为（2，7）．故答案为：（2，7）．
◆变式训练
1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
(1)在图1中，以为边，画出，使和全等，D为格点，请在图1中画出满足条件的所有；(2)在图2中，以点C为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点E、F为格点；(3)在图3中，在边上找一个点P，且满足．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】本题主要考查了作图﹣相似变换，熟练掌握全等图形、位似图形、相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据全等三角形的性质即可作出；（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出；（3）取格点E，F，连接，交于点P，则点P即为所求作的点．
【详解】（1）如图，和和即为所作，
（2）如图，即为所作，
（3）如图所示，取格点E，F，交于点P．
；
∵，∴，∴．
2．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为、．
(1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍即新图与原图的相似比为，画出图形并写出点、的坐标；(2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求出点所经过的路线长．
【答案】(1)见解析，、的坐标分别为：，(2)见解析，
【分析】（1）利用位似图形的性质得出，点对应点 、的坐标即可；（2）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后的对应点、的位置，然后顺次连接即可，再根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】（1）解：如图所示：、的坐标分别为：，；
（2）解：如图所示：即为所求，点所经过的路线长为：．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
◇典例9：（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为 cm．
【答案】18
【详解】解：，，，，
，，故答案为：18．
◆变式训练
1.（2023·吉林长春·校考模拟预测）凸透镜成像的原理如图所示，．若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴四边形为矩形，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即,∴物体被缩小到原来的．故选：C．
2．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点．测得，，，请根据这些数据求河的宽度．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∴，
∴，即，∴，解得：，答：的长为．
◇典例10：（2023·四川攀枝花·统考中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．
【答案】36m
【详解】解：设，则
∵，，∴，∴，
∴，即，同理可证，
∴，即，∴，解得，
经检验，是原方程的解，∴，∴，∴该古建筑的高度为36m．
◆变式训练
1．（2023·江西·统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．
【答案】
【详解】解：∵和均为直角∴，∴，∴
∵，∴,故答案为：．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点为揽月阁的顶部，点为揽月阁的底部，小明在点处放一水平的平面镜，然后沿着方向向前走米，到达点处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端的像．接下来小明不动，小丽在处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端、揽月阁的顶端、小明的眼睛在一条直线上，此时测得测量杆的高度米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离米，点、、在一条直线上，，，，求揽月阁的高度．（平面镜的大小忽略不计）
【答案】揽月阁的高度为米
【详解】延长交的延长线于点，根据题意知
∵，，，∴，
∴，∴，∴，∵，，∴，
∵，，，∴，
∴，，∴，，
设，，则，，，
∴，解得：，∴（米），答：揽月阁的高度为米．
■考点四 常见的相似三角形模型
◇典例11：（23-24下·衢州·二模）在矩形中，E是边的中点，连接，过点B作于点F，射线与直线交于点P，设．
(1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定m的值；
(3)作点B关于直线的对称点，当以点P，D，为顶点的三角形是等腰三角形时，求的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)或2或
【详解】（1）如图，∵ =1，四边形ABCD是矩形，
∴AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCP=90°，
∵ ，∴∠BAE=∠CBP，∴△ABE≌△BCP，∴AE=BP．
（2）∵ 矩形中，E是边的中点，∴设BE=EC=x，则BC=AD=2x，∠BAD=90°．
∵ ，∠ADF=∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴，
∵ 四边形是矩形，∴AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，
∴，∴，
解得，（舍去），∴BD=DF+EF=3EF=，
∴，∴．
（3）当时，∵ 四边形是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∠ADC=∠ABC=∠BCP=90°，
∵ E是边的中点， ，∴ AD=BC=2BE，∠PFE=90°，
∵P，D，为顶点的三角形是等腰三角形，∴，∴，∴，
∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴sin∠BAE=，∴∠BAE=30°，根据（1）证明，得∠BAE=∠CBP=30°，
∴tan∠BAE=tan30°=，tan∠CBP=tan30°=，
∴，，∴=．
如图，当点P在CD的延长线上时，此时落在AD上，
根据题意，得∠BAF=∠AF=45°，∴∠PD=∠PD=45°，∴，
∵∠BAF=45°，∴∠BEA=45°，∴四边形ABE是正方形，故是AD的中点，
∴=CD，∴=．如图，∵ ，设AB=x，则AD=mx，BE=，
∵∠ABG=90°-∠FBE，∠AEB=90°-∠FBE，∴∠ABG=∠AEB，∴tan∠ABG= tan∠AEB，
∴，∴，解得AG=，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴，
∴，∴，∴，∴．
◆变式训练
1．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：设正方形的边长为，则，
∵四边形是正方形，，，
，，， ，，，
解得：，正方形的面积为故答案为：
2．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；
小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：，
∴，两边同时除以，得．
（2）证明：∵，，，，∴，，
∵，∴，∴，同理，，
∴，∴，
两边同时除以得，，∴；
（3）解：由（1）可知，，，
∴，解得，，∴，解得，，∴．
3．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．(1)初步探究：如图2，若，求证：；
(2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；(3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∴；
（2）解：∵点为中点，∴设，由（1）知，∴，
∴，∴与的相似比为，∴，∵∴；
（3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示：
∵点为中点，∴设，∵，∴，，
在中，，则由勾股定理可得，过点作于点，如图2所示：
∴，∴，∴，∴，，∴，∴，
∵，点为中点，∴，，，
又∵，∴，，∴，
又∵，∴，，∴，即，∴，∴．
◇典例12：．（2024·江西·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形的旋转变换进行研究．(1)[观察猜想]如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系 ；
(2)[探究证明]如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)[拓展延伸]如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出DF2的值．
【答案】(1)结论BD=CE．证明见解析；
(2)结论不成立．BD与CE的数量关系：BD=CE．证明见解析；(3)28
【详解】（1）结论BD=CE．理由：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（），∴BD=EC．故答案为：BD=CE．
（2）结论不成立．BD与CE的数量关系：BD=CE．
理由：∵△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠EAD=45°，，
∵∠DAB=∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴，∴BD=CE
（3）如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．
，
将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，
当AB⊥BE时，
ABC是等边△，等边三角形的边长为4，，
◆变式训练
1．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长．
（2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长．（3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，，
，，，，，
在和中，，，
，，，，，
在和中，，，，
设，则，
在中，，，解得：，；
（2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点，
，，，
在和中，，，
，，，，，
在和中，，，，
设，则，
，，，
，，，
在中，，即，解得：，；
②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点，
，，，，，
在和中，，，
，，，，，
在和中，，，，
设，则，
，，，，，
，在中，，即，
解得：，；综上所述，或；
（3）作，且令，连接，，
，，，，
， ，，，
，，，
，，，，
，，
，
，，，．
2．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．
在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且．
【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；
请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长．
【答案】（）见解析；（），理由见解析；；（）
【详解】（）证明：连接，∵，，且当时，，
，，，，
，，∴∠EDF，，
在和中，，∴， ，
，即；
（），理由如下：过点作于，于，
，，，
，，和是等腰直角三角形，
，，，，，
，，设，则，，，，
，，，四边形是矩形，
，，
又，，，，
；
如图4，当点在射线上时，过点作于，于，
，，，，，和是等腰直角三角形，
，，，，，
∴，，设，，
，，，，，，
四边形是矩形，，，
又，，，，
；
当点在的延长线上时，如图5，，，，
，，和是等腰直角三角形，
，，，，，
∴，，设，，，，，，，，四边形是矩形，
，，
又，，，，
；
综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，；
（3）解：连接，，，如图（1），
的中点为，，，∴点在线段的垂直平分线上运动，
∵点D为靠近B的四等分点，∴，
由（2）得，∴
当点E与点A重合时，过点M作于点H，如图，
∴，∴，∴∴，∴，
∵，代入得，∴；
当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，如图，
∵，代入得，∴，
∴如图，点M的运动轨迹即为的长，
∵在Rt中，∴∴∴点运动的路径长为
◇典例13：（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，，
∴，．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
（1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：．
请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）
【分析】(1) 过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可．
(2) 根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可．(3) 根据定理，计算比值，后解答即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，
则．故：．
（2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得：．
又，∴，．在等边中，，点为的中点，
．由勾股定理知： ．
（3）解：线段是的梅氏线，
由梅涅劳斯定理得，，即，则．如图，连接，
，于是．
◆变式训练
1．（2024·山西·校考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)；的面积为
【详解】（1）证明：在中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴，．
由赛瓦定理可得：．∴，∴．即点F为AB的中点；
（2）解：∵为等边三角形，，∴∵点D是BC边的中点，∴，
∵，∴．由赛瓦定理可得：；过点F作FG⊥BC于G，
∴，，∴CG=BC-BG=8，
∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，
∴，即，∴，∴，
∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴
又，∴，∴．
2．（2024·河南商丘·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：
克罗狄斯 托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程：
证明：如图1，作，交于点.，
（依据1），（依据2），
，，.
，，即，
，，
．
任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______．
(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______．
(3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长．
【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似 (2)勾股定理 (3)
【详解】（1）解：托勒密定理的逆命题是如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形．证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等；依据2”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似．故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）解：如图，作，交于点，
，，，，，
，，，，
即．，，．
．，
四边形是矩形，，
，故答案为：勾股定理；
（3）解：为直径，，
，，，．
的角平分线交于点，，，
为等腰直角三角形，．
四边形为圆的内接四边形，．．
1．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．故选D．
2．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点分别为边的中点，∴，，故正确；
∵，∴，故正确；
∵，∴，∴，故错误；故选：．
3．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【详解】解：∵正方形，，∴，
∵正方形，，∴，∴，
由题意得，∴，∴，即，解得，故选：B．
4．（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵与相似，且相似比为，
∴与的周长比为，故选B．
5．（2024·湖北·中考真题）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ．
【答案】 /30度 /
【详解】解：∵为等边三角形，，∴，，
∴，，，
作交的延长线于点，∴，，
∵，∴，∴，
∴，即，解得，故答案为：，．
6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ．
【答案】
【详解】解：设的距离为，∴，即，
∵，∴，，∴，
∴，故答案为：．
7．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
【答案】
【详解】由题意得：，∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，∴，即，∴（），
即小孔到的距离为，故答案为：．
8．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．
【答案】/0.5
【详解】解：，，，故答案为：．
9．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．
【答案】
【详解】解：连接，过E作于F，设，，
∵，为中点，∴，又，
∴，，，∴，，
∵，∴，则，又，
∴，∴，，
∴，则；
∵是的一条角平分线，∴，又，
∴，∴∴，则，
∴，即，解得（负值已舍去），故答案为：．
10．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．
【答案】
【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：
∵四边形为平行四边形，∴，，，
∴，∵，，∴，∴，
∴，∴当最小时，最小，∵两点之间线段最短，∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，
∵，∴，∴，即，解得．故答案为：．
11．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是正方形，，，
，，，
，，，，
又，，，，，
，，．故答案为：．
12．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E若，则 （从“”中选择一个符合要求的填空）； ．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，∴，即，
∵将绕点A逆时针旋转得到，∴，，
∴，∴，∴，即，解得：，
∵四边形是平行四边形，，∴，∴，
设，，则，，∵，∴，
∴，∴，整理得：，
把代入解得：故答案为：，．
13．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．
【答案】/
【详解】解：如图，连接交于点，
∵五边形是正五边形，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，即，解得或（舍去），
∴，故答案为：．
14．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【答案】见解析
【详解】解：，，，
四边形是正方形，，，
，，又，．
15．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．
【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．
【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）证明：在正方形中，，，∴，
∵，∴，
∴，∴．
（2）如图1，作于点N，如图所示：
∵，，∴四边形是矩形，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴；
（3）∵， ，∴，∴．
∵，∴，如图2，作于点N，
∵，∴，∴．
∵，∴，∴，
∵，∴，∴．
∵，，∴，
∴，∴∴．
16．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：(1)求证：；(2)探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：①当时，直接写出的值；②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
(3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】(1)见解析(2)①②，证明见解析(3)
【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，
∴，，且，∴，∴；
（2）解：①当时，；当时，，
∴总结规律得：是的2倍，∴当时，；
②当时，猜想，证明：作于点，
∵，∴，∴，
∵，∴，由（1）知，又，
∴，即，∴；
（3），理由如下：过点作，∵，，∴，
由（2）知，当时，，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，由（1）知，∴．
17．（2024·江西·中考真题）综合与实践：如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；②当时，请直接写出的长度．
【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或.
【详解】解：（1）∵，∴，，
∵，∴，，∴；
∴，，∴，
∴，∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下：
∵，∴，，
∵，∴；∴，，
∴，∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（3）由（1）得：，，，∴，都为等腰直角三角形；
∵点F与点C关于对称，∴为等腰直角三角形；，
∴四边形为正方形，如图，过作于，
∵，，∴，，
当时，∴，∴，
如图，当时，此时，同理可得：，
∴y与x的函数表达式为，当时，的最小值为；
②如图，∵，正方形，记正方形的中心为，∴，
连接，，，∴，
∴在上，且为直径，∴，
过作于，过作于，∴，，
∴，∴，∴正方形面积为,
∴，解得：，，经检验都符合题意，如图，
综上：当时，为或.
18．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积分别为4，16，12，
【详解】（1）∵，，．∴，
∴，，
∴即，
∵∴，∴．
（2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，∴，
∵是中线∴，∴，
∵，∴即，∴，∴，∵，
∴，∴，∴四边形是平行四边形，
∵∴四边形矩形，∴，
∴，∴，∴，
设，则，∵，∴，
∴，∵，∴，解得；
∴，，∵，∴，
∴，∴，∴，解得．
（3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，
∵，∴，
∵，，，∴四边形是矩形，
∴，∴，故；
如图，当时，此时是直角三角形，
过点A作于点Q，交于点N，∴，，
∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，解得；
故．
1．（2024·江苏·一模）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（ ）
A．4 B．6 C．9 D．36
【答案】B
【详解】解：根据比例中项的概念，得，，
又线段不能是负数，应舍去，取，故选：B．
2.（2024上海虹口·统考一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则已知四边形的四条边分别为1，，2，．
选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意；选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例．
将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为．
如图，连接、，则，．
在与中，，，
，，．
在与中，，，
，，，
，，，，
又，四边形四边形．故选：D．
3．（2024·河北石家庄·统考三模）对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．
甲方案：如图1所示，最大值为16；
乙方案：如图2所示，最大值为16．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确
C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
【答案】D
【详解】解：∵6：2=3：1，∴三个矩形的长宽比为3：1，甲方案：如图1所示，
3a+3b=6，∴a+b=2，周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
乙方案：如图2所示，a+b=2，周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
如图3所示，矩形①的长为2，则宽为2÷3=；则矩形②的长为6-=，宽为÷3=；
∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+)+2(+)=；
∵16，∴周长和的最大值为；故选：D．
4．（2024·安徽·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】解：∵是线段的黄金分割点，，
∴，∴，∵，∴，故选B
5．（2024·黑龙江·统考二模）如图，四边形是平行四边形，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，分别交、于点、，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，，，故选：C．
6.（2024·安徽·模拟预测）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．
7．（2024·四川泸州·校考一模）如图，点D在的边上，要判定与相似，需添加一个条件，下列添加的条件中，不正确的是（ ）
A． B． C．＝ D．＝
【答案】C
【详解】解： 若 ，则 ，故选项 A 不合题意；
若 ，则 ， 故选项 B 不合题意；
若 ，则 ，故选项 D 不合题意；故选：C．
8.（2024·湖北·统考一模）如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，∴，故选：D．
9．（2024·陕西·校考三模）如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】解：为等边三角形，．．
，，，
，，，，．故选：D．
10．（2025·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，∴，由题意可得是等边三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴Q点的运动轨迹是射线，∵，∴，
∵，∵，∴，
∵，，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为，故选：A．
11.（2024·湖南·校考三模）（多选题）如图，已知，任取一点，连接，，，并取它们的中点、、、顺次连接得到，下列结论中正确的是（ ）
A．与是位似图形 B．与是相似图形
C．与的周长之比 D．与的面积之比为
【答案】ABC
【详解】解：、、的中点分别为、、，
∴，，，，，，∴，
与是位似图形，位似中心为点，A选项符合题意；
与是相似图形，B选项符合题意；
与的周长比是，C选项符合题意；
与的面积比是，D选项不符合题意；故选：ABC．
12．（2024·重庆大渡口·统考一模）如图，，若，，则的大小为 ．
【答案】/40度
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，故答案为：．
13．（2024·广东潮州·二模）如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于，
∵将沿着折痕翻折，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，故答案为：．
14．（2025·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，，过点B的直线轴，点P在直线m上运动，是右侧的等腰直角三角形，且，点C在直线上，则当取最小值时点P的横坐标是 ．
【答案】
【详解】解：设点P的坐标为，过点P作，垂足为E，过点C作，垂足为F，如图，
∵，∴．∵，∴．
在和中，，∴，∴
∵点C始终在直线上运动．∴点C的坐标为．
设直线与x轴、y轴分别交于点M、N，如图，当时，，当时，，
∴．∴．∵，∴．
作点A关于直线作对称点，连接，
则．∴，
∵．∴最小值为长，此时C位于处．
∵，∴．根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：
，解得，∴，∴，故答案为：．
15.（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点．(1)在所给网格中，以点为位似中心，将放大2倍得到（点的对应点分别是），画出；(2)将进行平移得到格点（点的对应点分别是），使，画出．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
16．（2024·吉林长春·校考模拟预测）在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作．如图1，射线经过点A，交边于点E．
(1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形；
(2)如图2，将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线，分别交，于点E，F．①求证：；②如图3，若，，在线段上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围；
③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似．
【答案】(1)(2)①见解析 ② ③或
【详解】（1）∵， 是边的中点，
∴，
∵，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴；
（2）①证明: ∵是的一个外角，∴，
∵，∴，又∵，∴；
②如图，初始位置时，如图，当过点时，
， 是边的中点，，由①知 ，
，即 解得 ，∴ 的取值范围为；
③当旋转角或时, 与相似,
∵，∴ ，∴,
∵是的中点，∴ ,当时, 旋转角为，
当时, 旋转角为，
综上所述: 当旋转角为或时, 与相似．
17．（2024·浙江宁波·统考二模）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．
(1)[初步理解]如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形．(2)[尝试应用]在（1）的基础上，如图2，若，，，求四边形的周长．(3)[拓展提高]如图3，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且．若，，求的值．
【答案】(1)见解析(2)23(3)
【详解】（1）解： 平分，，
在中，，
，，
，，所以 和为叠似三角形；
（2）解：∵，，，．，
，，，且
，，，，四边形的周长为：．
（3）解：如图，过C作的平行线交的延长线于G，，，
∵，，，，
，，，，
为中点，，又，，
，，，即
，，，，．
18．（2024·山东泰安·统考三模）【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图，点在的延长线上，且，若求证：；请用你所学的知识进行证明．
【拓展训练】如图，点在的延长线上，且，若，，，则的值为______；（直接写出）
【知识迁移】将此模型迁移到平行四边形中，如图，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点若求证：．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析
【详解】（1）证明：，，，
，；
（2）解：如图，在上截取，连接，
，是等边三角形，，，
，，
，由（1）知：，，，故答案为：；
（3）证明：如图，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，
，，四边形是平行四边形，
，，，
，，由（1）知：，
，，．
19．（2024·浙江宁波·校联考模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，和是直角三角形，，，求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在与中，直角顶点重合于点C，点D在上，，且，连接，若，求的长；
【拓展提高】（3）如图3，若，， ，，过A作交延长线于Q，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）证明：，，
，，，，；
（2）解：，，，
，， ， ，
，，，
， ，， ；
（3）解：如图3，在上截取，连接，
，，，，
设，则，，
，，，
，是等边三角形，
，，，
，，
，∴，，
，， ，
20．（2025·广东·模拟预测）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．
【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______；（2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，求的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）当时，和是等腰直角三角形，，，
，，，故答案为：；
（2）．理由：如图，过点作于点，
，，，
，，同理可得：，，
，，，；
（3）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，
．．线段绕点顺时针旋转得到线段，．．
是以为底边的等腰三角形，，，．
．．．
，．设，则，，，
．．，，
，，，，
，，．
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