系数类规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．（2024·云南模拟）按一定规律排列的一列数依次为-a2，a5，-a8，a11，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第10个数是( )
A．a23 B．-a26 C．a29 D．a32
2．（2024九下·官渡模拟）观察下列单项式：，…，按此规律，第8个单项式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·绥江模拟）按一定规律排列的多项式：，第个多项式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·绥江模拟）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·云南模拟）按一定规律排列的多项式：，，，，，…第个多项式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·巧家模拟）按一定规律排列的多项式：，，，，，．第个多项式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九下·禄丰模拟）观察下列多项式：，，，，，则第个多项式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·盘龙模拟）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024·孝感模拟）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着展开式中的各项的系数，则的展开式中含项的系数是 ．
10．（2024九下·东平模拟）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人也将下表称为“杨恽三角”．则：中，第三项系数为 ．
三、解答题
11．已知多项式：
（1）该多项式有什么特点和规律
（2）按规律写出多项式的第六项，并指出它的次数和系数.
（3）这个多项式是几次几项式
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：以上代数式的系数为-1，1，-1......第n个代数式的符号为(-1)n，而其指数为2，5，8，11，第n个代数式的指数为3n-1，故第10个代数式的为 a29
故答案为：C.
【分析】分别观察其系数和指数的变化规则并表达其规律，即可求出第10项的代数式.
2．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，…，
∴第n个式子为，
∴第8个单项式是，
故答案为：C
【分析】根据题意观察单项式得到第n个式子为，再代入即可求解。
3．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：根据题意，多项式的第一项依次是
多项式的第二项依次是
故第个多项式是．
故答案为：B
【分析】根据题意观察单项式得到第个多项式是，进而即可求解。
4．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：由已知的单项式可知：
每项的系数为奇数，故第n个单项式的系数为；每项的次数比项数多1，故第n个单项式的次数为：，
故第n个单项式为，
故答案为：A
【分析】根据题意观察得到每项的系数为奇数，故第n个单项式的系数为；每项的次数比项数多1，故第n个单项式的次数为：，进而即可求解。
5．【答案】C
【知识点】探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：观察多项式可得：含的项的次数是从开始的连续的自然数，含的项的系数是从开始的连续偶数，且两项之间用号连接起来，
∴第个多项式是，
故答案为：C
【分析】先根据题意分析得到含的项的次数是从开始的连续的自然数，含的项的系数是从开始的连续偶数，且两项之间用号连接起来，进而即可得到规律。
6．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，
∴第个多项式是，
故答案为：A
【分析】根据题意观察，进而得到第个多项式是，从而即可求解。
7．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：式子中第一个单项式为：，
式子中第二个单项式为：，
∴第n个多项式是：，
故答案为：C
【分析】根据题意观察多项式，进而得到第n个多项式是：，从而即可求解。
8．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项的系数都为1，a的指数分别为连续正整数，b的指数为1，常数项为连续正整数，
故第n个多项式为，
故答案为：B
【分析】根据题意观察单项式得到所给的多项式为二项式，第一项的系数都为1，a的指数分别为连续正整数，b的指数为1，常数项为连续正整数，进而得到第n个多项式为即可求解。
9．【答案】2024
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示数值变化规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：根据图中所给等式，
(a+b)2展开式的第二项为2ab=2a2-1b，
(a+b)3展开式的第二项为3a2b=3a3-1b，
(a+b)4展开式的第二项为4a3b=4a4-1b，
根据变化规律，(a+b)n展开式的第二项为nan-1b，
∴(a+b)2024的展开式中含a2023项是第二项，系数是2023+1=2024，
故答案为：2024.
【分析】根据前几个等式中的系数变化规律可得结论．
10．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：由题意可得，的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
，
的第三项系数为，
故答案为：
【分析】根据题意观察得到的第三项系数为，的第三项系数为，的第三项系数为，的第三项系数为，进而即可求解。
11．【答案】（1）解：该多项式每一项中x的指数从10依次减少1，每一项中y的指数从0依次增加1，并且符号是一正一负.
（2）解：由题意得第六项是，次数是10，系数是-1.
（3）解：由题意得十次十一项式
【知识点】多项式的项、系数与次数；用代数式表示数值变化规律；探索规律-系数规律
【解析】【分析】（1）根据题意得到规律该多项式每一项中x的指数从10依次减少1，每一项中y的指数从0依次增加1，并且符号是一正一负；
（2）根据规律写出第六项，进而根据单项式的次数和系数即可求解；
（3）根据多项式的次数结合题意即可求解。
1 / 1系数类规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．（2024·云南模拟）按一定规律排列的一列数依次为-a2，a5，-a8，a11，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第10个数是( )
A．a23 B．-a26 C．a29 D．a32
【答案】C
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：以上代数式的系数为-1，1，-1......第n个代数式的符号为(-1)n，而其指数为2，5，8，11，第n个代数式的指数为3n-1，故第10个代数式的为 a29
故答案为：C.
【分析】分别观察其系数和指数的变化规则并表达其规律，即可求出第10项的代数式.
2．（2024九下·官渡模拟）观察下列单项式：，…，按此规律，第8个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，…，
∴第n个式子为，
∴第8个单项式是，
故答案为：C
【分析】根据题意观察单项式得到第n个式子为，再代入即可求解。
3．（2024九下·绥江模拟）按一定规律排列的多项式：，第个多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：根据题意，多项式的第一项依次是
多项式的第二项依次是
故第个多项式是．
故答案为：B
【分析】根据题意观察单项式得到第个多项式是，进而即可求解。
4．（2024九下·绥江模拟）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：由已知的单项式可知：
每项的系数为奇数，故第n个单项式的系数为；每项的次数比项数多1，故第n个单项式的次数为：，
故第n个单项式为，
故答案为：A
【分析】根据题意观察得到每项的系数为奇数，故第n个单项式的系数为；每项的次数比项数多1，故第n个单项式的次数为：，进而即可求解。
5．（2024九下·云南模拟）按一定规律排列的多项式：，，，，，…第个多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：观察多项式可得：含的项的次数是从开始的连续的自然数，含的项的系数是从开始的连续偶数，且两项之间用号连接起来，
∴第个多项式是，
故答案为：C
【分析】先根据题意分析得到含的项的次数是从开始的连续的自然数，含的项的系数是从开始的连续偶数，且两项之间用号连接起来，进而即可得到规律。
6．（2024九下·巧家模拟）按一定规律排列的多项式：，，，，，．第个多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，
∴第个多项式是，
故答案为：A
【分析】根据题意观察，进而得到第个多项式是，从而即可求解。
7．（2024九下·禄丰模拟）观察下列多项式：，，，，，则第个多项式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：式子中第一个单项式为：，
式子中第二个单项式为：，
∴第n个多项式是：，
故答案为：C
【分析】根据题意观察多项式，进而得到第n个多项式是：，从而即可求解。
8．（2024九下·盘龙模拟）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项的系数都为1，a的指数分别为连续正整数，b的指数为1，常数项为连续正整数，
故第n个多项式为，
故答案为：B
【分析】根据题意观察单项式得到所给的多项式为二项式，第一项的系数都为1，a的指数分别为连续正整数，b的指数为1，常数项为连续正整数，进而得到第n个多项式为即可求解。
二、填空题
9．（2024·孝感模拟）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着展开式中的各项的系数，则的展开式中含项的系数是 ．
【答案】2024
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示数值变化规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：根据图中所给等式，
(a+b)2展开式的第二项为2ab=2a2-1b，
(a+b)3展开式的第二项为3a2b=3a3-1b，
(a+b)4展开式的第二项为4a3b=4a4-1b，
根据变化规律，(a+b)n展开式的第二项为nan-1b，
∴(a+b)2024的展开式中含a2023项是第二项，系数是2023+1=2024，
故答案为：2024.
【分析】根据前几个等式中的系数变化规律可得结论．
10．（2024九下·东平模拟）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人也将下表称为“杨恽三角”．则：中，第三项系数为 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：由题意可得，的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
的第三项系数为，
，
的第三项系数为，
故答案为：
【分析】根据题意观察得到的第三项系数为，的第三项系数为，的第三项系数为，的第三项系数为，进而即可求解。
三、解答题
11．已知多项式：
（1）该多项式有什么特点和规律
（2）按规律写出多项式的第六项，并指出它的次数和系数.
（3）这个多项式是几次几项式
【答案】（1）解：该多项式每一项中x的指数从10依次减少1，每一项中y的指数从0依次增加1，并且符号是一正一负.
（2）解：由题意得第六项是，次数是10，系数是-1.
（3）解：由题意得十次十一项式
【知识点】多项式的项、系数与次数；用代数式表示数值变化规律；探索规律-系数规律
【解析】【分析】（1）根据题意得到规律该多项式每一项中x的指数从10依次减少1，每一项中y的指数从0依次增加1，并且符号是一正一负；
（2）根据规律写出第六项，进而根据单项式的次数和系数即可求解；
（3）根据多项式的次数结合题意即可求解。
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