数阵类规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．（2024九上·宝山开学考）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，……，则的值为（ ）
A．1275 B．1326 C．1378 D．1431
2．（2024·德阳）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是( )
A． B． C． D．
3． 观察下边的数表 (横排为行， 坚排为列)， 按数表中的规律， 分数 若排在第 行第 列， 则 的值为（ ）
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
4．如图 所示， 观察 “品”字形中各数之间的变化情况， 根据观察到的规律得出 的值为（ ）
A．491 B．1045 C．1003 D．533
5．（2023九下·简阳期中）观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第2023行从左边数第2023个数是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·镇海区期末）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在，，，号座位上如图所示，以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置，，这样一直下去，第次交换位置后，小鼠所在的座号是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024九下·大庆模拟）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则 ．
8．（2024·潍坊）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝ ，n＝ ．
三、解答题
9．（2024·馆陶模拟）一列数字按照一定规律排列在如图所示的数字塔中，除第一行以外的数都等于它上一行中上方两个数的和，如：第二行第3个数：；
第三行第3个数：．
（1）求x的值；
（2）若一个数位于第n行的第2个数．
①用含n的代数式表示这个数： ；
②若这个数等于，求出该数所在的行数n．
10．（【深圳市中考数学备考指南】专题5操作与探究（易2））我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，
在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中各项的系数：第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中各项的系数等等．
（1）根据上面的规律，展开式的各项系数中最大的数为 ；
（2）若，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，， ……
得出：，，
故，，
∴，
故选：B．
【分析】结合数列找出规律：，，分别代入求出，和，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意可得前七行所有的数总个数为：1+2+3+4+5+6+7=28，
则第八行左起第1个数是第29个数，
即.
故答案为：C.
【分析】根据题意求得第八行左起第1个数是第几个数即可求解.
3．【答案】C
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：观察数表可知
分数的分子为该分数所在的列数
∴分数排在第20列
∴b=20
∵同一行的分数中，每个分数的分子与分母的和相等，且每个分数的分子与分母的和等于该分数所在的行数加1
∴a+1=20+2023
∴a=2042
∴=2022
故答案为：C
【分析】观察数表，总结规律即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：最上方的数字分别是1，3，5，是连续的奇数，
∴最上方是数字为2x-1；
∵左下方的数字分别是1，2，4，
∴左下方的数字可以表示为2x-1，
∵右下方的数字分别是：1+1=2；2+3=5；4+5=9
∴可表示为2x-1+2x-1，
∴21+2x-1=2x-1+2x-1
解之：x=11，
∴n=211-1+2×11-1=1024+22-1=1045.
故答案为：B.
【分析】分别观察最上方的数字是连续的奇数，可表示为2x-1；左下方的数字可以表示为2x-1，右下方的数字可表示为2x-1+2x-1，根据m+21=n，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到n的值.
5．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由图可得，
第一行有1个数，
第二行有3个数，
第三行有5个数，
第四行有7个数，
，
则第n行有个数，
每一行的最后一个数字的绝对值是：，
∴第2023行从左边数第2023个数的绝对值是，
图中的奇数都是负数，偶数都是正数，
第2023行从左边数第2023个数是，
故答案为：C．
【分析】发现数字的变化特点每一行的最后一个数字的绝对值是，然后根据规律得到结果即可．
6．【答案】A
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：第1次交换后小鼠所在的座号是3，
第2次交换后小鼠所在的座号是4，
第3次交换后小鼠所在的座号是2，
第4次交换后小鼠所在的座号是1，
后面重复循环
∴2024÷4=506，
∴第2024次交换后小鼠所在的座号是1；
故答案为：A.
【分析】据变换的规则可知，小鼠的座号分别为：3、4、2、1，4次一循环，再看2024除以4，即可得出结论.
7．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意得，
，
，
，
，
，
第个数记为，
故答案为：
【分析】根据题意得到第个数记为，进而代入即可求解。
8．【答案】45；2
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：
由图可知：当k为奇数时，第k行第1列就是
当k为偶数时，第1行第k列就是
∵
∴2025在第45行第1列
∴2024在在第45行第2列
∴m=45，n=2
故答案为：45，2.
【分析】先观察数的排列规律，找出规律：当k为奇数时，第k行第1列就是；当k为偶数时，第1行第k列就是，然后再把2024转化为452-1，即可找到m，n的值.
9．【答案】（1）根据题意：，
（2）①；
②∵，解得．∴所在的行数为第12行．
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】（2）①第二行的第2个数：
第三行的第2个数：
第四行的第2个数：
第n行的第2个数：
故答案为：
【分析】（1）根据题意得每个数都等于上一行中与其相连的两个数的和，根据这个规律可求得；
（2） ① 根据每个数都等于上一行中与其相连的两个数的和，分析规律总结可得； ② 利用①得到的结果课件里方程-4n+11=-37，解方程即可得到n的值.
10．【答案】（1）6
（2）解：由题意得当时，，.
【知识点】整式的混合运算；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：（1）展开式中各项的系数为1、1，展开式中各项的系数为1、2、1，展开式中各项的系数为1、3、3、1，由此可得展开式中各项的系数为1、4、6、4、1，展开式的各项系数中最大系数为6；
故答案为：6
【分析】（1）根据展开式中各项的系数为展开式中各项的系数为1、2、展开式中各项的系数为1、3、3、1，由此可得展开式中各项的系数为1、4、6、4、1，进而即可求解；
（2）根据题意得到当时，，进而即可求解。
1 / 1数阵类规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．（2024九上·宝山开学考）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，……，则的值为（ ）
A．1275 B．1326 C．1378 D．1431
【答案】B
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，， ……
得出：，，
故，，
∴，
故选：B．
【分析】结合数列找出规律：，，分别代入求出，和，即可求解.
2．（2024·德阳）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意可得前七行所有的数总个数为：1+2+3+4+5+6+7=28，
则第八行左起第1个数是第29个数，
即.
故答案为：C.
【分析】根据题意求得第八行左起第1个数是第几个数即可求解.
3． 观察下边的数表 (横排为行， 坚排为列)， 按数表中的规律， 分数 若排在第 行第 列， 则 的值为（ ）
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
【答案】C
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：观察数表可知
分数的分子为该分数所在的列数
∴分数排在第20列
∴b=20
∵同一行的分数中，每个分数的分子与分母的和相等，且每个分数的分子与分母的和等于该分数所在的行数加1
∴a+1=20+2023
∴a=2042
∴=2022
故答案为：C
【分析】观察数表，总结规律即可求出答案.
4．如图 所示， 观察 “品”字形中各数之间的变化情况， 根据观察到的规律得出 的值为（ ）
A．491 B．1045 C．1003 D．533
【答案】B
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：最上方的数字分别是1，3，5，是连续的奇数，
∴最上方是数字为2x-1；
∵左下方的数字分别是1，2，4，
∴左下方的数字可以表示为2x-1，
∵右下方的数字分别是：1+1=2；2+3=5；4+5=9
∴可表示为2x-1+2x-1，
∴21+2x-1=2x-1+2x-1
解之：x=11，
∴n=211-1+2×11-1=1024+22-1=1045.
故答案为：B.
【分析】分别观察最上方的数字是连续的奇数，可表示为2x-1；左下方的数字可以表示为2x-1，右下方的数字可表示为2x-1+2x-1，根据m+21=n，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到n的值.
5．（2023九下·简阳期中）观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第2023行从左边数第2023个数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由图可得，
第一行有1个数，
第二行有3个数，
第三行有5个数，
第四行有7个数，
，
则第n行有个数，
每一行的最后一个数字的绝对值是：，
∴第2023行从左边数第2023个数的绝对值是，
图中的奇数都是负数，偶数都是正数，
第2023行从左边数第2023个数是，
故答案为：C．
【分析】发现数字的变化特点每一行的最后一个数字的绝对值是，然后根据规律得到结果即可．
6．（2024九上·镇海区期末）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在，，，号座位上如图所示，以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置，，这样一直下去，第次交换位置后，小鼠所在的座号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：第1次交换后小鼠所在的座号是3，
第2次交换后小鼠所在的座号是4，
第3次交换后小鼠所在的座号是2，
第4次交换后小鼠所在的座号是1，
后面重复循环
∴2024÷4=506，
∴第2024次交换后小鼠所在的座号是1；
故答案为：A.
【分析】据变换的规则可知，小鼠的座号分别为：3、4、2、1，4次一循环，再看2024除以4，即可得出结论.
二、填空题
7．（2024九下·大庆模拟）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意得，
，
，
，
，
，
第个数记为，
故答案为：
【分析】根据题意得到第个数记为，进而代入即可求解。
8．（2024·潍坊）将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝ ，n＝ ．
【答案】45；2
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：
由图可知：当k为奇数时，第k行第1列就是
当k为偶数时，第1行第k列就是
∵
∴2025在第45行第1列
∴2024在在第45行第2列
∴m=45，n=2
故答案为：45，2.
【分析】先观察数的排列规律，找出规律：当k为奇数时，第k行第1列就是；当k为偶数时，第1行第k列就是，然后再把2024转化为452-1，即可找到m，n的值.
三、解答题
9．（2024·馆陶模拟）一列数字按照一定规律排列在如图所示的数字塔中，除第一行以外的数都等于它上一行中上方两个数的和，如：第二行第3个数：；
第三行第3个数：．
（1）求x的值；
（2）若一个数位于第n行的第2个数．
①用含n的代数式表示这个数： ；
②若这个数等于，求出该数所在的行数n．
【答案】（1）根据题意：，
（2）①；
②∵，解得．∴所在的行数为第12行．
【知识点】探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】（2）①第二行的第2个数：
第三行的第2个数：
第四行的第2个数：
第n行的第2个数：
故答案为：
【分析】（1）根据题意得每个数都等于上一行中与其相连的两个数的和，根据这个规律可求得；
（2） ① 根据每个数都等于上一行中与其相连的两个数的和，分析规律总结可得； ② 利用①得到的结果课件里方程-4n+11=-37，解方程即可得到n的值.
10．（【深圳市中考数学备考指南】专题5操作与探究（易2））我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，
在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中各项的系数：第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中各项的系数等等．
（1）根据上面的规律，展开式的各项系数中最大的数为 ；
（2）若，求的值.
【答案】（1）6
（2）解：由题意得当时，，.
【知识点】整式的混合运算；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：（1）展开式中各项的系数为1、1，展开式中各项的系数为1、2、1，展开式中各项的系数为1、3、3、1，由此可得展开式中各项的系数为1、4、6、4、1，展开式的各项系数中最大系数为6；
故答案为：6
【分析】（1）根据展开式中各项的系数为展开式中各项的系数为1、2、展开式中各项的系数为1、3、3、1，由此可得展开式中各项的系数为1、4、6、4、1，进而即可求解；
（2）根据题意得到当时，，进而即可求解。
1 / 1
