末尾数字规律与数列中的规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．观察下列等式：，.由上述规律可知，的末位数字是（ ）
A．3 B．9 C．2 D．0
2．（2024九下·利津模拟）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，，……，请你推算的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．已知 f（1）=2（取1×2计算结果的末位数字），f（2）=6（取2×3计算结果的末位数字），f（3）=2（取3×4计算结果的末位数字）……则. 的值为 （ ）
A．2020 B．4040 C．4042 D．4030
4．数学家把4，10，16，22，28，…叫做等差数列数.根据它的规律，第100个等差数列数为（ ）
A．600 B．2017 C．602 D．598
5．有一列数 ·在这列数中，第50个值等于1的项的序号是 （ ）
A．4900 B．4901 C．5000 D．5001
二、填空题
6．已知：N=1992×1993×1994+1993×1994×1995+1994×1995×1996+1995×1996×1997，则 N 的末位数字是 .
7．已知一列数a1，a2，a3，…， an，其中 1，则 的个位数字是 。
8．取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如：|[3.14]=3，[0.618]=0.给出一列数已知且当k≥2时，满足则x2024的值为 .
9．（2024九上·北京市开学考）甲乙两人玩一个游戏：将n（n为奇数）个数排成一列，记作，甲，乙轮流从这一列数中删除两个相邻的数，剩余的数成为一列新的数．甲先开始操作，直至这列数被删到只剩下一个数．每次操作时，甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化．
（1）对于，被删除一次后可以成为或以及一些其他情况，写出未列举的其他情况 ；（写出一种即可）
（2）对于，最后剩下的数为 ．
10．我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列.如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差.如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2.若一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列.二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数是 ，第2014个数是
三、解答题
11．（【深圳市中考数学备考指南】专题5操作与探究（中））阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，以此类推，排在第位的数称为第项，记为.所以，数列的一般形式可以写成：，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用表示.如：数列为等差数列，期中，公差为.根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列的公差为 ，第5项是 .
（2）如果一个数列，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：.所以
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：（ ）d
（3）求-4039是等差数列的第几项 并说明理由.
12．按照一定顺序排列的一列数被称为数列，排在第一位的数被称为第一项，记为以此类推，排在第n位的数被称为第n项，记为 an.
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示如：数列1，3，9，27，…，为等比数列，其中 公比为q=3.
（1）等比数列3，6，12，…的第六项是 .
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q.根据定义可得到： 所以 由此可得 （用a1和q的代数式表示）
（3）若用 Sn表示等比数列（a1，a2，a3，a4，…， an中前n 项的和，证明可分q=1和q≠1两种情况.当q=1时，
①请根据q=1的证明方法，证明当q≠1时，等比数列前 n项和 成立.
②求（1）中等比数列 S6的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，
发现规律：
末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，
每4个数一组循环，
∴2023÷4＝505……3，
∵3＋9＋7＋1＝20，
∴20×505＝10100，
∵0+3+9+7=19
∴算式：3＋32＋33＋34＋…＋32023结果的末位数字是9．
故答案为：9．
【分析】先求出规律：每4个数一组循环，再结合2023÷4＝505……3，求出20×505＝10100，再求出0+3+9+7=19，即可得到算式：3＋32＋33＋34＋…＋32023结果的末位数字是9．
2．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，……，
∴尾数每4个一循环，
∵，，
∴每一组的4个数相加以后个位数字为0，
∴505组相加后个位数字为0，
∵，
∴的个位数字为4，
故答案为：C．
【分析】先根据数据与序号的关系可得尾数每4个一循环，再结合，可得的个位数字为4，从而得解.
3．【答案】B
【知识点】探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：根据题意可知：
f（1）=2（取1×2计算结果的末位数字），
f（2）=6（取2×3计算结果的末位数字），
f（3）=2（取3×4计算结果的末位数字），
f（4）=0（取4×5计算结果的末位数字），
f（5）=0，（取5×6计算结果的末位数字），
f（6）=2，（取6×7计算结果的末位数字），
f（7）=6，（取7×8计算结果的末位数字），
…
发现规律：2，6，2，0，0五个数一个循环，
所以2020÷5=404，
所以404×（2+6+2+0+0）=4040，
所以 f（1）+f（2）+f（3）+……+（2020）的值为4040.
故答案为：B.
【分析】先列举找到f（x）的尾数规律，最后利用循环规律即可计算出结果。
4．【答案】D
【知识点】探索规律-数列中的规律
【解析】解： 4，10，16，22，28，…叫做等差数列数，且 ，即数列的公差为，
则第n个数为，第100个数是.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件先求等差数列的公差，再根据通项求解即可.
5．【答案】B
【知识点】探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：第50个值等于1的项的分子分母的和为2×50=100，
由于从分子分母的和为2到分子分母的和为99的分数的个数为1+2+…+98=4851，
第50个值等于1的项为 ，则4851+50=4901.
故答案为：B.
【分析】由题意，值为1的项只有所以第50个值为1的应该是，它的前面共有，即可知它是第4901项.
6．【答案】4
【知识点】乘法原理；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：由题意得1992×1993×1994的末位数字与2×3×4的末位数字相同，
∴1992×1993×1994的末位数字为4，
∵其余三个乘式中每一个都有因子2和因子5，
∴1993×1994×1995，1994×1995×1996，1995×1996×1997的未位数字都是0，
∴N的末位数字是4.
故答案为：4
【分析】根据题意得到1992×1993×1994的末位数字为4，进而结合题意得到1993×1994×1995，1994×1995×1996，1995×1996×1997的未位数字都是0，从而即可求解。
7．【答案】4
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
，
，
…，
∴，
，
，
，
，
，
…，
由上可得，各数个位数字依次以1，2，4，8这四个数字依次循环出现，
∵，，
∴的个位数字是4，
故答案为：4．
【分析】根据题意，进行一定数量的计算，从中寻找数字的循环规律，据此解答即可．
8．【答案】5
【知识点】探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：且当 k≥2 时，满足
(n为自然数).
故答案为：5.
【分析】首先由＝1和当k≥2时，求出 可得规律以2、3、4、5为一个循环组，依次循环，然后利用规律解答即可．
9．【答案】或（写出一种即可）；3
【知识点】探索规律-末尾数字规律
10．【答案】21；4054183
【知识点】探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵3-1=2，7-3=4，13-7=6，
∴第5个数是13+8=21，
设第n个数为an，则a1=1，
…
=1+n(n-1)，
即
∴az014=1+2014×2013=1+4054182=4054183.
故答案为21；4054183.
【分析】本题考查数列的递推公式.根据数列的前几项满足：3-1=2，7-3=4，13-7=6，据此可推出第5个数是13+8=21，进而可推出应用数列的累和公式可求出进而可求出第2014个数.
11．【答案】（1）5；25
（2）
（3）解：-4039是等差数列的第2018项，
理由：等差数列，
令
解得，，
即-4039是等差数列.的第2018项.
【知识点】整式的混合运算；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得
第5项是：，
故答案为：5，25；
（2）如果一个数列，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：
...所以
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意得到，进而即可得到第5项；
（2）根据等差数列的定义得到，，，进而即可得到通项公式；
（3）根据题意得到通项公式，再令即可求解。
12．【答案】（1）96
（2）
（3）解：①当q≠1时，
，①
则 ，②
①-②可得：，
因为q≠1，所以q-1≠0，则 ；
②因为等比数列3，6，12，…，首项a1=3，公比q=2，
所以 .
【知识点】探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：（1）易知该等比数列的公比，
则数列第六项为；
（2）因为
所以 .
故答案为：96； .
【分析】（1）根据数列先求公比，再根据等比数列的通项求即可；
（2）根据已知条件直接写数列的通项即可；
（3）当时，利用错位相减法求和，再根据等比数列的求和公式求解即可.
1 / 1末尾数字规律与数列中的规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．观察下列等式：，.由上述规律可知，的末位数字是（ ）
A．3 B．9 C．2 D．0
【答案】B
【知识点】探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，
发现规律：
末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，
每4个数一组循环，
∴2023÷4＝505……3，
∵3＋9＋7＋1＝20，
∴20×505＝10100，
∵0+3+9+7=19
∴算式：3＋32＋33＋34＋…＋32023结果的末位数字是9．
故答案为：9．
【分析】先求出规律：每4个数一组循环，再结合2023÷4＝505……3，求出20×505＝10100，再求出0+3+9+7=19，即可得到算式：3＋32＋33＋34＋…＋32023结果的末位数字是9．
2．（2024九下·利津模拟）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，，……，请你推算的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，……，
∴尾数每4个一循环，
∵，，
∴每一组的4个数相加以后个位数字为0，
∴505组相加后个位数字为0，
∵，
∴的个位数字为4，
故答案为：C．
【分析】先根据数据与序号的关系可得尾数每4个一循环，再结合，可得的个位数字为4，从而得解.
3．已知 f（1）=2（取1×2计算结果的末位数字），f（2）=6（取2×3计算结果的末位数字），f（3）=2（取3×4计算结果的末位数字）……则. 的值为 （ ）
A．2020 B．4040 C．4042 D．4030
【答案】B
【知识点】探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：根据题意可知：
f（1）=2（取1×2计算结果的末位数字），
f（2）=6（取2×3计算结果的末位数字），
f（3）=2（取3×4计算结果的末位数字），
f（4）=0（取4×5计算结果的末位数字），
f（5）=0，（取5×6计算结果的末位数字），
f（6）=2，（取6×7计算结果的末位数字），
f（7）=6，（取7×8计算结果的末位数字），
…
发现规律：2，6，2，0，0五个数一个循环，
所以2020÷5=404，
所以404×（2+6+2+0+0）=4040，
所以 f（1）+f（2）+f（3）+……+（2020）的值为4040.
故答案为：B.
【分析】先列举找到f（x）的尾数规律，最后利用循环规律即可计算出结果。
4．数学家把4，10，16，22，28，…叫做等差数列数.根据它的规律，第100个等差数列数为（ ）
A．600 B．2017 C．602 D．598
【答案】D
【知识点】探索规律-数列中的规律
【解析】解： 4，10，16，22，28，…叫做等差数列数，且 ，即数列的公差为，
则第n个数为，第100个数是.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件先求等差数列的公差，再根据通项求解即可.
5．有一列数 ·在这列数中，第50个值等于1的项的序号是 （ ）
A．4900 B．4901 C．5000 D．5001
【答案】B
【知识点】探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：第50个值等于1的项的分子分母的和为2×50=100，
由于从分子分母的和为2到分子分母的和为99的分数的个数为1+2+…+98=4851，
第50个值等于1的项为 ，则4851+50=4901.
故答案为：B.
【分析】由题意，值为1的项只有所以第50个值为1的应该是，它的前面共有，即可知它是第4901项.
二、填空题
6．已知：N=1992×1993×1994+1993×1994×1995+1994×1995×1996+1995×1996×1997，则 N 的末位数字是 .
【答案】4
【知识点】乘法原理；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：由题意得1992×1993×1994的末位数字与2×3×4的末位数字相同，
∴1992×1993×1994的末位数字为4，
∵其余三个乘式中每一个都有因子2和因子5，
∴1993×1994×1995，1994×1995×1996，1995×1996×1997的未位数字都是0，
∴N的末位数字是4.
故答案为：4
【分析】根据题意得到1992×1993×1994的末位数字为4，进而结合题意得到1993×1994×1995，1994×1995×1996，1995×1996×1997的未位数字都是0，从而即可求解。
7．已知一列数a1，a2，a3，…， an，其中 1，则 的个位数字是 。
【答案】4
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
，
，
…，
∴，
，
，
，
，
，
…，
由上可得，各数个位数字依次以1，2，4，8这四个数字依次循环出现，
∵，，
∴的个位数字是4，
故答案为：4．
【分析】根据题意，进行一定数量的计算，从中寻找数字的循环规律，据此解答即可．
8．取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如：|[3.14]=3，[0.618]=0.给出一列数已知且当k≥2时，满足则x2024的值为 .
【答案】5
【知识点】探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：且当 k≥2 时，满足
(n为自然数).
故答案为：5.
【分析】首先由＝1和当k≥2时，求出 可得规律以2、3、4、5为一个循环组，依次循环，然后利用规律解答即可．
9．（2024九上·北京市开学考）甲乙两人玩一个游戏：将n（n为奇数）个数排成一列，记作，甲，乙轮流从这一列数中删除两个相邻的数，剩余的数成为一列新的数．甲先开始操作，直至这列数被删到只剩下一个数．每次操作时，甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化．
（1）对于，被删除一次后可以成为或以及一些其他情况，写出未列举的其他情况 ；（写出一种即可）
（2）对于，最后剩下的数为 ．
【答案】或（写出一种即可）；3
【知识点】探索规律-末尾数字规律
10．我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列.如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差.如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2.若一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列.二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数是 ，第2014个数是
【答案】21；4054183
【知识点】探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵3-1=2，7-3=4，13-7=6，
∴第5个数是13+8=21，
设第n个数为an，则a1=1，
…
=1+n(n-1)，
即
∴az014=1+2014×2013=1+4054182=4054183.
故答案为21；4054183.
【分析】本题考查数列的递推公式.根据数列的前几项满足：3-1=2，7-3=4，13-7=6，据此可推出第5个数是13+8=21，进而可推出应用数列的累和公式可求出进而可求出第2014个数.
三、解答题
11．（【深圳市中考数学备考指南】专题5操作与探究（中））阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，以此类推，排在第位的数称为第项，记为.所以，数列的一般形式可以写成：，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用表示.如：数列为等差数列，期中，公差为.根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列的公差为 ，第5项是 .
（2）如果一个数列，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：.所以
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：（ ）d
（3）求-4039是等差数列的第几项 并说明理由.
【答案】（1）5；25
（2）
（3）解：-4039是等差数列的第2018项，
理由：等差数列，
令
解得，，
即-4039是等差数列.的第2018项.
【知识点】整式的混合运算；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意得
第5项是：，
故答案为：5，25；
（2）如果一个数列，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：
...所以
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意得到，进而即可得到第5项；
（2）根据等差数列的定义得到，，，进而即可得到通项公式；
（3）根据题意得到通项公式，再令即可求解。
12．按照一定顺序排列的一列数被称为数列，排在第一位的数被称为第一项，记为以此类推，排在第n位的数被称为第n项，记为 an.
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示如：数列1，3，9，27，…，为等比数列，其中 公比为q=3.
（1）等比数列3，6，12，…的第六项是 .
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q.根据定义可得到： 所以 由此可得 （用a1和q的代数式表示）
（3）若用 Sn表示等比数列（a1，a2，a3，a4，…， an中前n 项的和，证明可分q=1和q≠1两种情况.当q=1时，
①请根据q=1的证明方法，证明当q≠1时，等比数列前 n项和 成立.
②求（1）中等比数列 S6的值.
【答案】（1）96
（2）
（3）解：①当q≠1时，
，①
则 ，②
①-②可得：，
因为q≠1，所以q-1≠0，则 ；
②因为等比数列3，6，12，…，首项a1=3，公比q=2，
所以 .
【知识点】探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：（1）易知该等比数列的公比，
则数列第六项为；
（2）因为
所以 .
故答案为：96； .
【分析】（1）根据数列先求公比，再根据等比数列的通项求即可；
（2）根据已知条件直接写数列的通项即可；
（3）当时，利用错位相减法求和，再根据等比数列的求和公式求解即可.
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