等式类规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．（2024九下·邯郸模拟）已知，则按此规律推算的结果一定能（ ）
A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除
2．已知 为实数， 规定运算： ， ． 按上述方法计算： 当 时， 的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·重庆市开学考）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数k，都有成立．
其中正确的个数是（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
4．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，则
5．（2024九下·大同模拟）观察下列等式：
，
，
，
，
照此规律，第个等式为 ．
6．（2024九上·杭州开学考）已知对于任意正整数，都有，则 ．
7．（2024·浙江模拟）我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如，请用观察到的规律解方程该方程的解是 ．
三、解答题
8．（2024九上·浙江月考）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
，，，…
（1）计算 ；
（2）探究（用含n的式子表示）
（3）若的值为，求的值．
9．（2024九下·浙江模拟）观察前后两个差为4的整数的平方差：
①；②；③；……
（1）写出第n个等式，并进行证明．
（2）问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．
10．（2024九下·浙江模拟）观察下列等式，并完成下列问题：
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
……
（1）请你写出第5个等式：__________；
（2）第n（，且n为整数）个等式可表示为__________；
（3）运用上述结论，计算：．
11．（2024·浙江模拟）观察下面的一列数：
（1）尝试： .
（2）归纳： .
（3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的.
12．设是一个两位数，其中是十位上的数字．例如，当时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当时，；
②当时，；
③当时， .
（2）归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与的差为2525，求的值．
13．（2024九下·南湖模拟）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请直接写出第6个等式．
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
14．（2024九下·洞头模拟）“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
（1）请用此方法拆分．
（2）请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
15．观察下列各式：
①，
②，
③，
（1）请观察规律， 并写出第④个等式： ；
（2）请用含 的式子写出你猜想的规律： .
（3）请证明 (2) 中的结论．
16．（2024九上·株洲开学考）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点 ，他们决定研究数的一些 “神秘 ”性质.
探索数的神秘性质
素材 尼科马霍斯是古希腊数学家 ，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果 ，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和. 举例论证： 13=1；23=3+5 33=7+9+11； 请你按规律写出 ： 43 =
规律 总结 当m是奇数7时 ，则等号右边式子中的中间数（ 即第4个数）为 ▲ ； 当m为偶数10时 ，则等号右边式子中的中间两个数（ 即第5和第6个数）为 ▲ .
综合 应用 利用上面结论计算 ：
拓展 延伸 我们还发现以下规律 ：已知时，且 m，n均为正整数 ，如果将进行如图所示的 “分解 ” ： 若(且m ，n均为不大于7的正整数）的分解中有奇数31 ，则的值为 ▲ .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
整除的概念：若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，b为被除数，a为除数，即a|b（“|”是整除符号），读作“a整除b”或“b能被a整除“。
整除的一个性质：如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。
根据平方差公式进行因式分解，能得到15这个因数。
2．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：
，
发现规律：以三个数为一组，不断循环，
，
故答案为：D.
【分析】分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可.
3．【答案】A
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：①∵a1=x，
∴，
∴，
∴，
∴，
......
∴每3个一循环，
∴，①错误；
②根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
......
∴每6个一循环，，
∵2024÷6=337......2，
∴，②错误；
③根据题意，得，，
∴，
当k为奇数时，由①②可知：，
∴，
，
∴对于任意正整数k，，③错误；
故答案为：A.
【分析】根据题意，得的值，从而找到相应规律：每3个一循环，判断出①错误；然后根据题意求出的值，从而找到相应规律：每6个一循环，，判断②错误；接下来求出的值，当k为奇数时，由①②可知：，从而求出，判断③错误.
4．【答案】10
【知识点】探索规律-等式类规律；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由题意可得：
......
∴1+1+...+1=10
故答案为：10
【分析】根据分数的加法化简各式，总结规律即可求出答案.
5．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：①；
②；
③；
④；
⑤，
……
第n个等式为：．
故答案为：．
【分析】根据题意观察等式，进而即可得到第n个等式为：．
6．【答案】
【知识点】分式的混合运算；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，则
，
∴原式．
故答案为：
【分析】先根据“”得到，则，进而化简原式，代入数值即可求解。
7．【答案】
【知识点】探索规律-等式类规律；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，可将原方程化简为：，
∴，
方程两边同乘，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：．
【分析】根据规律将原方程进行化简得，然后解分式方程即可．
8．【答案】（1）
（2）解：
（3）解：
．
∵的值为，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解
∴
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1），
，
，
……
以此类推可得，
∴
，
故答案为：；
【分析】（1）观察题干，先找出式子的变化规律，由此即可化简计算；
（2）利用（1）的规律将各分数分解为差的形式，从而化简求出答案；
（3）观察式子特征，仿照题意将分式拆分为，，即可化简整理，整理后再解关于n的分式方程．
9．【答案】（1）解：由，可得；
由，可得；
由，可得；……
∴可推导一般性规律为：第n个等式是：；
证明：左边右边．
（2）解：可以，理由如下：
令，解得，，
∴．
答：存在整数和，使写成两个差为4的整数的平方差．
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法；一元一次方程的其他应用；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）由，可得；由，可得；由，可得；……可推导一般性规律为：第n个等式是：；根据左边右边即可求证．
（2）令，计算即可求解．
10．【答案】（1）
（2）
（3）解：由（2）得，
．
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：根据题意得第5个等式为，
故答案为：；
（2）解：第n（，且n为整数）个等式可表示为：，
故答案为：；
【分析】（1）模仿题干给出的等式直接写出结果即可；
（2）观察题中所给等式，发现规律为等式的左边是（n+1）的平方，右边是n与n+2的乘积加上1，根据这一规律，可得结论；
（3）利用（2）中规律变形为 ( 2023 × 2025 + 1 ) ( 2021 × 2023 + 1 ) ，再逆用乘法分配律求解即可．
（1）解：根据题意得第5个等式为，
故答案为：；
（2）解：第n（，且n为整数）个等式可表示为：，
故答案为：；
（3）解：由（2）得，
．
11．【答案】（1）；
（2）
（3）解：
∴．
【知识点】探索规律-等式类规律；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：（1）；
.
故答案为：；
（2）.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意计算求解即可；
（2）根据（1）的规律即可得出结论；
（3）首先根据分式的加减运算求出，，然后代入，求解即可.
12．【答案】（1）
（2）解：．
理由如下：．
（3）解：由题知，，即，解得或-5(舍去)，的值为5．
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）解：①当时，；
②当时，；
③当时，．
【分析】（1）通过观察，，代入a值计算即可；
（2）a5实际应以10a+5的代数式子表示，然后计算平方得出结论；
（3）根据小问条件以及（2）小题得出的结论，得到关于a的一元二次方程，求解a即可. 注意，因为题目一开始就已经限制a的取值范围 ，所以要舍去负数根.
13．【答案】（1）解：
（2）解：根据题意可得第个等式为：，
证明：等式左边，
等式右边，
等式左边等式左边，
等式成立．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）)观察以上各式的特征与规律得第6个等式为；
【分析】（1）根据题干给出的几个等式发现等式左边是两个因数的乘积，其中第一个因数比等式的序号多1，第二个因数的分子与第一个因式相同，分母等于等式的序号，据此即可写出第6个等式；
（2）根据（1）发现的规律写出第n个等式，左边根据分式乘法法则进行计算，右边利用异分母分式加法法则进行计算，比较计算的结果即可得出结论.
14．【答案】（1）根据材料中等式反映的规律知，
（2）．理由：
∵右边，
左边
，
∴左边＝右边，
∴成立．
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）根据所给等式的特点解答即可；
（2）借助所给等式，利用多项式的运算合并证明即可．
15．【答案】（1）
（2）
（3）解：.
【知识点】分式的通分；二次根式的性质与化简；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）观察题目中的3个式子，即可得出答案；
（2）观察式子即可得到规律，从而用含n的式子写出猜想的规律；
（3）先将根号下的式子进行通分，然后利用完全平方公式进行整理，最后利用二次根式的性质进行化简即可.
16．【答案】素材：13＋15＋17＋19；
规律总结：49，99，101；
综合应用：4356；
拓展延伸：64或216.
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：素材：设43＝（a 2）＋a＋（a＋2）＋（a＋4），
解得：a＝15，
∴43＝13＋15＋17＋19；
故答案为：13＋15＋17＋19；
规律总结：设73＝（a 6）＋（a 4）＋（a 2）＋a＋（a＋2）＋（a＋4）＋（a＋6），
解得：a＝49，
当m＝10时，102 1＝99，102＋1＝101，
故答案为：49，99，101；
综合应用：13＋23＋33＋…＋93＋103＋113
＝1＋（3＋5）＋（7＋9＋11）＋……＋（111＋113＋115＋117＋119＋121＋123＋125＋127＋129＋131）
＝×66×（1＋131）
＝4356；
拓展延伸：当m＝2时，2n 1 1＝31，
解得：n＝6，
此时mn的值为64，
当m＝6时，6n 1 5＝31，
解得：n＝3，
此时mn的值为216，
故答案为：64或216；
【分析】素材：设未知数列方程求解；
规律总结：根据左边数与右边中间一个数或两个数的平均数的关系求解；
综合应用：根据前面总结的规律求解；
拓展延伸：根据题意，验证求解．
1 / 1等式类规律—备考2025中考数学规律型探究题
一、选择题
1．（2024九下·邯郸模拟）已知，则按此规律推算的结果一定能（ ）
A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
整除的概念：若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，b为被除数，a为除数，即a|b（“|”是整除符号），读作“a整除b”或“b能被a整除“。
整除的一个性质：如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。
根据平方差公式进行因式分解，能得到15这个因数。
2．已知 为实数， 规定运算： ， ． 按上述方法计算： 当 时， 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：
，
发现规律：以三个数为一组，不断循环，
，
故答案为：D.
【分析】分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可.
3．（2024九上·重庆市开学考）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数k，都有成立．
其中正确的个数是（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：①∵a1=x，
∴，
∴，
∴，
∴，
......
∴每3个一循环，
∴，①错误；
②根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
......
∴每6个一循环，，
∵2024÷6=337......2，
∴，②错误；
③根据题意，得，，
∴，
当k为奇数时，由①②可知：，
∴，
，
∴对于任意正整数k，，③错误；
故答案为：A.
【分析】根据题意，得的值，从而找到相应规律：每3个一循环，判断出①错误；然后根据题意求出的值，从而找到相应规律：每6个一循环，，判断②错误；接下来求出的值，当k为奇数时，由①②可知：，从而求出，判断③错误.
二、填空题
4．（【深圳市中考数学备考指南】专题21规律探究解析（难））人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，则
【答案】10
【知识点】探索规律-等式类规律；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：由题意可得：
......
∴1+1+...+1=10
故答案为：10
【分析】根据分数的加法化简各式，总结规律即可求出答案.
5．（2024九下·大同模拟）观察下列等式：
，
，
，
，
照此规律，第个等式为 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：①；
②；
③；
④；
⑤，
……
第n个等式为：．
故答案为：．
【分析】根据题意观察等式，进而即可得到第n个等式为：．
6．（2024九上·杭州开学考）已知对于任意正整数，都有，则 ．
【答案】
【知识点】分式的混合运算；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，则
，
∴原式．
故答案为：
【分析】先根据“”得到，则，进而化简原式，代入数值即可求解。
7．（2024·浙江模拟）我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如，请用观察到的规律解方程该方程的解是 ．
【答案】
【知识点】探索规律-等式类规律；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，可将原方程化简为：，
∴，
方程两边同乘，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：．
【分析】根据规律将原方程进行化简得，然后解分式方程即可．
三、解答题
8．（2024九上·浙江月考）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
，，，…
（1）计算 ；
（2）探究（用含n的式子表示）
（3）若的值为，求的值．
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：
．
∵的值为，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解
∴
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1），
，
，
……
以此类推可得，
∴
，
故答案为：；
【分析】（1）观察题干，先找出式子的变化规律，由此即可化简计算；
（2）利用（1）的规律将各分数分解为差的形式，从而化简求出答案；
（3）观察式子特征，仿照题意将分式拆分为，，即可化简整理，整理后再解关于n的分式方程．
9．（2024九下·浙江模拟）观察前后两个差为4的整数的平方差：
①；②；③；……
（1）写出第n个等式，并进行证明．
（2）问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：由，可得；
由，可得；
由，可得；……
∴可推导一般性规律为：第n个等式是：；
证明：左边右边．
（2）解：可以，理由如下：
令，解得，，
∴．
答：存在整数和，使写成两个差为4的整数的平方差．
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法；一元一次方程的其他应用；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）由，可得；由，可得；由，可得；……可推导一般性规律为：第n个等式是：；根据左边右边即可求证．
（2）令，计算即可求解．
10．（2024九下·浙江模拟）观察下列等式，并完成下列问题：
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
……
（1）请你写出第5个等式：__________；
（2）第n（，且n为整数）个等式可表示为__________；
（3）运用上述结论，计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：由（2）得，
．
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：根据题意得第5个等式为，
故答案为：；
（2）解：第n（，且n为整数）个等式可表示为：，
故答案为：；
【分析】（1）模仿题干给出的等式直接写出结果即可；
（2）观察题中所给等式，发现规律为等式的左边是（n+1）的平方，右边是n与n+2的乘积加上1，根据这一规律，可得结论；
（3）利用（2）中规律变形为 ( 2023 × 2025 + 1 ) ( 2021 × 2023 + 1 ) ，再逆用乘法分配律求解即可．
（1）解：根据题意得第5个等式为，
故答案为：；
（2）解：第n（，且n为整数）个等式可表示为：，
故答案为：；
（3）解：由（2）得，
．
11．（2024·浙江模拟）观察下面的一列数：
（1）尝试： .
（2）归纳： .
（3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的.
【答案】（1）；
（2）
（3）解：
∴．
【知识点】探索规律-等式类规律；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：（1）；
.
故答案为：；
（2）.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意计算求解即可；
（2）根据（1）的规律即可得出结论；
（3）首先根据分式的加减运算求出，，然后代入，求解即可.
12．设是一个两位数，其中是十位上的数字．例如，当时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当时，；
②当时，；
③当时， .
（2）归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与的差为2525，求的值．
【答案】（1）
（2）解：．
理由如下：．
（3）解：由题知，，即，解得或-5(舍去)，的值为5．
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）解：①当时，；
②当时，；
③当时，．
【分析】（1）通过观察，，代入a值计算即可；
（2）a5实际应以10a+5的代数式子表示，然后计算平方得出结论；
（3）根据小问条件以及（2）小题得出的结论，得到关于a的一元二次方程，求解a即可. 注意，因为题目一开始就已经限制a的取值范围 ，所以要舍去负数根.
13．（2024九下·南湖模拟）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请直接写出第6个等式．
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
【答案】（1）解：
（2）解：根据题意可得第个等式为：，
证明：等式左边，
等式右边，
等式左边等式左边，
等式成立．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）)观察以上各式的特征与规律得第6个等式为；
【分析】（1）根据题干给出的几个等式发现等式左边是两个因数的乘积，其中第一个因数比等式的序号多1，第二个因数的分子与第一个因式相同，分母等于等式的序号，据此即可写出第6个等式；
（2）根据（1）发现的规律写出第n个等式，左边根据分式乘法法则进行计算，右边利用异分母分式加法法则进行计算，比较计算的结果即可得出结论.
14．（2024九下·洞头模拟）“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
（1）请用此方法拆分．
（2）请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】（1）根据材料中等式反映的规律知，
（2）．理由：
∵右边，
左边
，
∴左边＝右边，
∴成立．
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）根据所给等式的特点解答即可；
（2）借助所给等式，利用多项式的运算合并证明即可．
15．观察下列各式：
①，
②，
③，
（1）请观察规律， 并写出第④个等式： ；
（2）请用含 的式子写出你猜想的规律： .
（3）请证明 (2) 中的结论．
【答案】（1）
（2）
（3）解：.
【知识点】分式的通分；二次根式的性质与化简；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）观察题目中的3个式子，即可得出答案；
（2）观察式子即可得到规律，从而用含n的式子写出猜想的规律；
（3）先将根号下的式子进行通分，然后利用完全平方公式进行整理，最后利用二次根式的性质进行化简即可.
16．（2024九上·株洲开学考）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点 ，他们决定研究数的一些 “神秘 ”性质.
探索数的神秘性质
素材 尼科马霍斯是古希腊数学家 ，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果 ，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和. 举例论证： 13=1；23=3+5 33=7+9+11； 请你按规律写出 ： 43 =
规律 总结 当m是奇数7时 ，则等号右边式子中的中间数（ 即第4个数）为 ▲ ； 当m为偶数10时 ，则等号右边式子中的中间两个数（ 即第5和第6个数）为 ▲ .
综合 应用 利用上面结论计算 ：
拓展 延伸 我们还发现以下规律 ：已知时，且 m，n均为正整数 ，如果将进行如图所示的 “分解 ” ： 若(且m ，n均为不大于7的正整数）的分解中有奇数31 ，则的值为 ▲ .
【答案】素材：13＋15＋17＋19；
规律总结：49，99，101；
综合应用：4356；
拓展延伸：64或216.
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：素材：设43＝（a 2）＋a＋（a＋2）＋（a＋4），
解得：a＝15，
∴43＝13＋15＋17＋19；
故答案为：13＋15＋17＋19；
规律总结：设73＝（a 6）＋（a 4）＋（a 2）＋a＋（a＋2）＋（a＋4）＋（a＋6），
解得：a＝49，
当m＝10时，102 1＝99，102＋1＝101，
故答案为：49，99，101；
综合应用：13＋23＋33＋…＋93＋103＋113
＝1＋（3＋5）＋（7＋9＋11）＋……＋（111＋113＋115＋117＋119＋121＋123＋125＋127＋129＋131）
＝×66×（1＋131）
＝4356；
拓展延伸：当m＝2时，2n 1 1＝31，
解得：n＝6，
此时mn的值为64，
当m＝6时，6n 1 5＝31，
解得：n＝3，
此时mn的值为216，
故答案为：64或216；
【分析】素材：设未知数列方程求解；
规律总结：根据左边数与右边中间一个数或两个数的平均数的关系求解；
综合应用：根据前面总结的规律求解；
拓展延伸：根据题意，验证求解．
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