三角形的证明—北师大版数学八（下）期中专项复习
一、选择题
1．（2025八下·瑶海月考）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．三个角都是的三角形是等边三角形
2．（2024八下·辽阳期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
3．（2025八下·青秀开学考）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 B．2，2， C．1，3， D．1，3，3
4．（2025八下·南宁开学考）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长（ ）
A． B．1 C．2 D．
5．（2025八下·嘉兴月考）如图，中，，点在边上，，点在边上，且，若，则的长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．（2025八下·重庆市月考）在中，，将绕点逆时针旋转得到．如图，在旋转过程中，连接，交于点，当时，为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八下·南宁开学考）如图，在中，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C． D．
8．（2025八下·内江开学考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若∠B＝15°，则∠EAC等于（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
9．（2025八下·南宁开学考）如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2024八下·萝北期末）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、填空题
11．（2024八下·岳阳期末）命题“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”）.
12．（2024八下·顺德期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交AC于点D，则的周长为 ．
13．（2024八下·景德镇期中）如图，在△ABC中，，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交BC于点D，连接AD．若cm，cm，则△ACD的周长为 cm．
14．（2025八下·义乌月考）如图，一块长方形场地的长与宽的比为，于点，于点，连接，，则四边形与长方形的面积比为 ．
15．（2025八下·富顺开学考）如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
16．（2024八下·五峰期末）如图，为数轴原点，，两点分别对应，，作腰长为的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数为 ．
17．（2025八下·桐柏开学考）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：；；；，正确的有 （填序号）
18．（2024八下·深圳期末）如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为 度．
三、解答题
19．（2024八下·天津市月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长；
（3）求∠ACB的度数．
20．（2024八下·高要期末）如图，在中，，点在上，．求的长．
21．（2024八下·化州月考）是等腰直角三角形，，是角平分线，．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）若，求的长．
22．（2025八下·余姚开学考）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G．
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若，，求的面积．
23．（2024八下·花溪月考）如图，已知正比例函数的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且的面积为8．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）若点P是该正比例函数图像上一点，且使得的面积是面积的两倍，求点P的坐标；
（3）已知，在直线上（除O点外）是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由．
24．（2024八下·定州期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
（1）海港受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？
25．（2024八下·成都期末）已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E．
（1）如图1，若，，求线段的长；
（2）如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值；
（3）如图3，过点A的直线，射线与直线交于点F，若，，求线段的长．
26．（2024八下·东莞月考）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．
（1）当时，求的面积；
（2）若平分，求t的值；
（3）深入探索：若点P运动到边，且是等腰三角形，求t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；真命题与假命题；逆命题
2．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
【分析】顾名思义，反证法就是取原题设的相反条件进行论证．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，则此项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】由作图的步骤可知，直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝15°+15°＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠EAC＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：D．
【分析】根据基本尺规作图得到直线DE是线段AB的垂直平分线；根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE，根据三角形的外角的性质解答即可.
9．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；轴对称的性质
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
11．【答案】到角的两边距离相等的点在角平分线上，；真.
【知识点】真命题与假命题；逆命题
12．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∵，
∴的周长为，
故答案为：6．
【分析】
△BCD的周长为BC+DB+CD，根据线段的垂直平分线的性质得到，等量代换可得△BCD的周长为BC+AD+CD，进而得到△BCD的周长为BC+AC，代入数据即可求解。
13．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
14．【答案】
【知识点】分母有理化；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：设长方形的长和宽为：和，
由勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
同理可得：，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形与长方形的面积比为：．
故答案为：．
【分析】设长方形的长和宽为和，用x分别表示出AC，DE，BF，再利用HL定理可证明，根据全等三角形的性质，可得出，再求出AE、EF，接着用x表示出，，再求出它们的比即可．
15．【答案】14
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
16．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；等腰三角形的性质
17．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
18．【答案】108
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的判定
19．【答案】（1）12；（2）25；（3）90°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
20．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
21．【答案】（1）
（2）10
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
22．【答案】（1）证明： ∵是的角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线
（2）解：∵ DE=EF，
∴，
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得DE=DF，依据AAS判定△AED≌△AFD推出AE=AF，根据垂直平分线的判定即可证明；
（2）根据三角形的面积公式可得，根据DE=DF，即可求得.
23．【答案】（1）
（2）点P的坐标为或
（3）的长为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
24．【答案】（1）解：海港受台风影响．
理由：如图，过点作于，
因为，，，
所以．
所以是直角三角形．
所以，
所以，
所以，
因为以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
所以海港受到台风影响．
（2）解：当，时，正好影响海港，
因为，
所以，
因为台风中心移动的速度为，
所以小时
即台风影响海港持续的时间为小时．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，根据三角形的等面积法求出CD的长，即可求得；
（2）根据勾股定理求出EF的长，再根据时间=路程÷速度，即可求得.
25．【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
26．【答案】（1）；
（2）；
（3）或或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
1 / 1三角形的证明—北师大版数学八（下）期中专项复习
一、选择题
1．（2025八下·瑶海月考）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．三个角都是的三角形是等边三角形
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；真命题与假命题；逆命题
2．（2024八下·辽阳期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
【分析】顾名思义，反证法就是取原题设的相反条件进行论证．
3．（2025八下·青秀开学考）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 B．2，2， C．1，3， D．1，3，3
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，则此项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此逐一判断得出答案.
4．（2025八下·南宁开学考）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
5．（2025八下·嘉兴月考）如图，中，，点在边上，，点在边上，且，若，则的长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
6．（2025八下·重庆市月考）在中，，将绕点逆时针旋转得到．如图，在旋转过程中，连接，交于点，当时，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
7．（2025八下·南宁开学考）如图，在中，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
8．（2025八下·内江开学考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若∠B＝15°，则∠EAC等于（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】由作图的步骤可知，直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝15°+15°＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠EAC＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：D．
【分析】根据基本尺规作图得到直线DE是线段AB的垂直平分线；根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE，根据三角形的外角的性质解答即可.
9．（2025八下·南宁开学考）如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；轴对称的性质
10．（2024八下·萝北期末）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
二、填空题
11．（2024八下·岳阳期末）命题“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”）.
【答案】到角的两边距离相等的点在角平分线上，；真.
【知识点】真命题与假命题；逆命题
12．（2024八下·顺德期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交AC于点D，则的周长为 ．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∵，
∴的周长为，
故答案为：6．
【分析】
△BCD的周长为BC+DB+CD，根据线段的垂直平分线的性质得到，等量代换可得△BCD的周长为BC+AD+CD，进而得到△BCD的周长为BC+AC，代入数据即可求解。
13．（2024八下·景德镇期中）如图，在△ABC中，，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交BC于点D，连接AD．若cm，cm，则△ACD的周长为 cm．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
14．（2025八下·义乌月考）如图，一块长方形场地的长与宽的比为，于点，于点，连接，，则四边形与长方形的面积比为 ．
【答案】
【知识点】分母有理化；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：设长方形的长和宽为：和，
由勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
同理可得：，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形与长方形的面积比为：．
故答案为：．
【分析】设长方形的长和宽为和，用x分别表示出AC，DE，BF，再利用HL定理可证明，根据全等三角形的性质，可得出，再求出AE、EF，接着用x表示出，，再求出它们的比即可．
15．（2025八下·富顺开学考）如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】14
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
16．（2024八下·五峰期末）如图，为数轴原点，，两点分别对应，，作腰长为的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数为 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；等腰三角形的性质
17．（2025八下·桐柏开学考）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：；；；，正确的有 （填序号）
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
18．（2024八下·深圳期末）如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为 度．
【答案】108
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的判定
三、解答题
19．（2024八下·天津市月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长；
（3）求∠ACB的度数．
【答案】（1）12；（2）25；（3）90°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
20．（2024八下·高要期末）如图，在中，，点在上，．求的长．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
21．（2024八下·化州月考）是等腰直角三角形，，是角平分线，．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）10
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
22．（2025八下·余姚开学考）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G．
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）证明： ∵是的角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线
（2）解：∵ DE=EF，
∴，
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得DE=DF，依据AAS判定△AED≌△AFD推出AE=AF，根据垂直平分线的判定即可证明；
（2）根据三角形的面积公式可得，根据DE=DF，即可求得.
23．（2024八下·花溪月考）如图，已知正比例函数的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且的面积为8．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）若点P是该正比例函数图像上一点，且使得的面积是面积的两倍，求点P的坐标；
（3）已知，在直线上（除O点外）是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点P的坐标为或
（3）的长为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
24．（2024八下·定州期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
（1）海港受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解：海港受台风影响．
理由：如图，过点作于，
因为，，，
所以．
所以是直角三角形．
所以，
所以，
所以，
因为以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
所以海港受到台风影响．
（2）解：当，时，正好影响海港，
因为，
所以，
因为台风中心移动的速度为，
所以小时
即台风影响海港持续的时间为小时．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，根据三角形的等面积法求出CD的长，即可求得；
（2）根据勾股定理求出EF的长，再根据时间=路程÷速度，即可求得.
25．（2024八下·成都期末）已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E．
（1）如图1，若，，求线段的长；
（2）如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值；
（3）如图3，过点A的直线，射线与直线交于点F，若，，求线段的长．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
26．（2024八下·东莞月考）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．
（1）当时，求的面积；
（2）若平分，求t的值；
（3）深入探索：若点P运动到边，且是等腰三角形，求t的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
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