课件17张PPT。22.1.1二次函数第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学上（RJ）
教学课件1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点） 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？ 导入新课图片引入1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.3.一元二次方程的一般形式是什么？一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.2.什么是一次函数？正比例函数？ax2+bx+c=0 (a≠0)讲授新课 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.探究归纳 问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 填空：
每个球队n要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数 .n-1答： 此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数. 问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 填空：
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y=________.20(1+x) 20(1+x)220(1+x)2答：y=20x2+40x+20； 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.函数①②③有什么共同点?函数都是用
自变量的二次整式表示的 y=6x2 y=20x2+40x+20二次函数的定义： 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.温馨提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.归纳总结 例1
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？解：由（1）可知,解得由（2）可知,解得m=3. 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.典例精析 解题小结：本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数m+3≠0. 例2 下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？
为什么？
① y=ax2+bx+c ② s=3-2t2 ③y=x2
④ ⑤y=x2+x3+25 ⑥ y=(x+3)2-x2
不一定是，缺少a≠0的条件.不是，右边是分式.不是，x的最高次数是3.y=6x+9 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等.方法归纳 想一想
二次函数的一般式y=ax２＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0
(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.当堂练习2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数C1、把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数
为______，常数项为 .3．下列函数是二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．C-3x2-16124.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
课堂小结二次函数定 义y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）一般形式右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.特殊形式y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.课件18张PPT。第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学上（RJ）
教学课件22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质1．知道二次函数的图象是一条抛物线.
2．会画二次函数y=ax2的图象.（难点）
3．掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用．（重点）导入新课复习引入（1）一次函数的图象是一条 .（2） 通常怎样画一个函数的图象？直线列表、描点、连线讲授新课你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?9410194探究归纳1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．y=x2这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.观察思考问题1 从二次函数y=x2的图象你发现了什么性质？ 在对称轴左侧，抛物线从左往右下降；在对称称轴的右侧，抛物线从左往右上升.
顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最低点.练一练：画出函数y=-x2的图象，并根据图象说出它有哪些性质？列表：y 在对称轴左侧，抛物线从左往右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左往右下降.
顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.解：分别填表，再画出它们的图象，如图84.520.5084.520.584.520.5084.520.5探究归纳例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．问题1 从二次函数 开口大小与a的绝对值大小有什么关系？当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5问题2 从二次函数 开口大小与a的绝对值大小有什么关系？当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.位置开
口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减归纳总结问题1 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2当堂练习 1.函数y=2x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 2.函数y=－3x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xxyyOO 3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .k>14、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O 5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
(4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1 则y1 y2.
2y轴向上（0,0）小上>课堂小结二次函数y=ax2图象及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性课件15张PPT。22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学上（RJ）
教学课件第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（难点）
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（重点）
3.比较函数y=ax2与y=ax2+k的联系.1.已知二次函数
① y=-x2; ② y= x2; ③ y=15x2;
④ y=-4x2; ⑤ y=- x2; ⑥ y=4x2.
(1)其中开口向上的有 (填题号)；
(2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 (填题号).②③⑥⑤①④⑤导入新课复习引入2.一次函数y=2x与y=2x+2的图象的位置关系.
3.你能由此推测二次函数y=2x2与y=2x2+1的图象之间有何关系吗？二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象之间又有何关系?平行讲授新课探究归纳例1 在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．解：先列表：95.53135.5973.51－113.57y = 2x2＋1y = 2x2－1 (1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 二次函数开口方向顶点坐标对称轴向上向上(0,1)(0,-1)y轴y轴y = 2x2＋1y = 2x2－1(2) 抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？ 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下y=2x2+1上二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.探究归纳 把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移2个单位呢？想一想
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.归纳总结二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的特点当堂练习1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ． 2、填表：y = 2x2－４向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .在=2>2<25.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.向下平移1个单位.>0=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.课堂小结二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系开口方向由a的符号决定；
k决定顶点位置；
对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：
k正向上；
k负向下.课件12张PPT。22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学上（RJ）
教学课件第2课时 二次函数y=a（x-h)2的图象和性质情境引入1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（难点）
2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.(重点）
3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系.
导入新课复习引入 问题1 二次函数 y=ax2+k（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？答：二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0）
的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移-k个单位长度得到. 问题2 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？ 答：应该可以.讲授新课 例1 画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．－2－4.5－200－2－2探究归纳－4.50xy－8向下直线x=-1( -1 , 0 )直线x=0直线x=1向下向下( 0 , 0 )( 1, 0)
a＞0时，开口 , 最 ____ 点是顶点;
a＜0时，开口 , 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 ，
顶点坐标是 .向上低向下高直线 x = h( h,0 )知识要点二次函数y=a（x-h)2 的特点向右平移
1个单位想一想
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ 向左平移
1个单位二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2的关系可以看作互相平移得到.左右平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
2.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线____，顶点是________.
3 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.
当堂练习 y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 y1 〉y2 〉 y3 4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.向上直线x=3( 3, 0 )直线x=2直线x=1向下向上(2, 0 )( 1, 0)课堂小结二次函数y=a(x-h)2的图象及性质图象性质对称轴是x=h;
顶点坐标是（h,0)
a的符号决定开口方向.左右平移平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.课件18张PPT。22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学上（RJ）
教学课件第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.(重点）
3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.（难点）
导入新课复习引入1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:
(1)y=ax2
(2)y=ax2+c
(3)y=a(x-h)2
2.由y=-x2的图象怎样平移得到y=-x2-3的图象.并说明后者图象的顶点，对称轴，增减性.3.由y=2x2的图象怎样平移得到y=2(x-3)2的图象.并说明后者图象的顶点，对称轴，增减性.向下平移3个单位.y=-x2-3的顶点(0,-3),对称轴是x=0(或y轴），在y轴的左侧y随x的增大而增大， 在y轴的右侧，y随x的增大而减小.向右平移3个单位.y=2（x-3）2的顶点(3,0),对称轴是x=3，当 x<3时y随x的增大而减小；当 x>3时，y随x的增大而增大.讲授新课 例1 画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.探究归纳解: 先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5直线x=－1开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1)试一试
画出函数y= 2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2)y= 2（x+1）2-2知识要点二次函数y=a（x-h)2 +k的特点a＞0时，开口 , 最 点是顶点;
a＜0时，开口 , 最 点是顶点;
对称轴是 ， 顶点坐标是 .向上低向下高直线x=h(h,k)向左平移
1个单位探究归纳怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？平移方法1向下平移
1个单位怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？平移方法2向左平移
1个单位向下平移
1个单位二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系可以看作互相平移得到的.y = ax2y = ax2 + k y = a(x - h )2y = a( x - h )2 + k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变. 例2 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?典例精析C(3,0)B(1，3) A解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(3,0)，∴ 0=a(3－1)2＋3.解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).当x=0时,y=2.25.答:水管长应为2.25m.2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?答：由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.3.如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
当堂练习向上( 1, －2 )向下向下( 3 , 7)( 2 , －6 )向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3, 5 )y=－3(x－1)2－2y = 4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格:2.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若
（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是 （ ）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④xyO2x=-1B3.求二次函数y=x2- 2x-1的顶点坐标、对称轴及其最值.解：y=x2-2x-1=x2-2x+1-1=(x-1)2-2,
∴ 顶点坐标为（1，-2），对称轴是直线x=1.当x=1，时，y最小值=-2.课堂小结一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质图象特点当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是x=h,
顶点坐标是（h,k).平移规律左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.课件19张PPT。22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学上（RJ）
教学课件第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质情境引入1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）导入新课复习引入向上向下(h ,k)(h ,k)x=hx=h当xh时，
y随着x的增大而增大. 当xh时，
y随着x的增大而减小. x=h时,y最小=kx=h时,y最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.(0,0)y轴0(0,-5)y轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43??????讲授新课探究归纳我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？配方可得问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？解: 先利用图形的对称性列表7.553.533.557.5然后描点画图，得到图象如右图.O问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质。x=6当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.试一试
你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？O我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？y=ax2+bx+c 归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)(2)如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.例1 填表：典例精析(1,3)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6( ,-6)直线x=例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .D1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：A.y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x= 则该二次函数图象的对称轴为( )D当堂练习2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .直线x=1（2）3.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：直线x=3直线x=8直线x=1.25直线x= 0.5课堂小结顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)配方法公式法
(顶点式)课件17张PPT。22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学上（RJ）
教学课件第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 1.会用待定系数法求二次函数的解析式.(难点）
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写解析式）讲授新课探究归纳问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： 解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式. 解得∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写解析式）这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数解析式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数解析式.归纳总结一般式法求二次函数解析式的方法 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的解析式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的解析式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次函数的解析式. 归纳总结交点法求二次函数解析式的方法这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式.想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行y轴. 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的解析式.解：设这个二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1=-8， 解得a=-1.∴所求的二次函数的解析式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式.想一想
直接观察上面表格，你能猜想出当x=-6 时，该二次函数对应的函数值是多少？-15 利用二次函数图象的对称性.即由表格信息可知，抛物线的对称轴是直线x=-2,横坐标为2和-6的两点必定是该抛物线上的一对对称点，故可知x=-6与x=2的函数值必定相等.y=-x2-4x-3当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . 注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.xyO12-1-2-3-4321-13452.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其解析式是
.顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+63.综合题：如图，已知二次函数 的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与
x轴交于点C，连接BA，BC，求
△ABC的面积．(1)(2)△ABC的面积是6.课堂小结①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）待定系数法
求二次函数解析式课件18张PPT。22.2二次函数与一元二次方程第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学上（RJ）
教学课件1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.（重点）
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.导入新课情境引入问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：讲授新课（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？1513∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解析：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？h=20t-5t2（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？204解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
h=20t-5t2（4）球从飞出到落地要用多少时间？0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.h=20t-5t2从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.观察图象，完成下表0个1个2个x2-x+1=0无解0x2-6x+9=0，x1=x2=3-2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1知识要点有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次
方程ax2+bx+c=0根的关系由前面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).y = x2－2x－2解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
x1≈-0.7，x2≈2.7.
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限A能力提升 已知二次函数 的图象，利用图象回答问题：
（1）方程 的解是什么？
（2）x取什么值时，y>0 ？
（3）x取什么值时，y<0 ？解：（1）x1=2,x2=4;（2）x<2或x>4;（3）2 教学课件 第1课时 几何图形的最大面积1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
导入新课复习引入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
（1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法)解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；（2）开口方向：向下；对称轴：x= ；顶点坐标：（ ， ）；最大值： .引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？讲授新课 可以出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.
也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1 矩形面积公式是什么？典例精析问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0时，
S有最大值 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S的函数关系式是什么？问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5 如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.问题1 变式1与例题有什么不同？设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？0 ＜ x ≤18.问题6 如何求最值？由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378. 不正确. 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .当堂练习2.如图2，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.33. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为9×1000=9000（元）课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依 据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定课件12张PPT。22.3 实际问题与二次函数第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学上（RJ）
教学课件第2课时 商品利润最大问题 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）
导入新课情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？讲授新课 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.探究交流180006000数量关系（1）销售额= 售价×销售量;（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价. 例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000 ②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元.降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：2030020-x300+18xy=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60x+6000. 例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？6000综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。 ②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.③涨价多少元时，利润最大，是多少？当 时, 即定价57.5元时，最大利润是6050元.即：y=-18x2+60x+6000，由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.当堂练习1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.252.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .
每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)
3. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75∵-1<0,对称轴x=10,∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.课件20张PPT。22.3 实际问题与二次函数第二十二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学上（RJ）
教学课件第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.（重点）
2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题.(难点）导入新课情境引入 我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO讲授新课例1 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?-3
(-2,-2) ●
● (2,-2)4米当 时，
所以，水面下降1m，水面的宽度为 m.所以水面的宽度增加了 m.解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（2，-2），可得所以，这条抛物线的解析式为当水面下降1m时，水面的纵坐标为
● (2,-2)设二次函数解析式为 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?4 m4 m请同学们分别求出对应的函数解析式.OO解：设y=-ax2+2将（-2,0）代入得a= ∴y= +2；设y=-a（x-2）2+2将（0,0）代入得a= ∴y= +2；知识要点解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；
(3)合理设出函数解析式；
(4)利用待定系数法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 例2 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？3米4米4米OABC解：如图建立直角坐标系.则点A的坐标是（0， ），B点坐标是（4，4），C点坐标是（8，3）.因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 ①.把点A(0, )代入①得解得 所以抛物线的解析式是 .当x=8时，则所以此球不能投中.判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；O若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点儿；（2）向前平移一点儿.3米8米4米4米Oyx（8，3）（4，4）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（1）跳得高一点儿；（8，3）（4，4）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（７，３）
●（2）向前平移一点儿.x当堂练习1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=
-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.23.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？OA1.25米OA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点
为B，水流落水与x轴交于C点.
由题意可知A（ 0，1.25）、
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）. xy设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0), 点A坐标代入，得a= － 1；当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5∴水池的半径至少要2.5米.∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 1.25课堂小结实际问题数学模型 （二次函数的图象和性质）拱桥问题运动中的抛物线问题（实物中的抛物线形问题）转化的关键建立恰当的直角坐标系能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
