2025年北师大版数学八年级下册期中仿真模拟卷[范围：1-3章]
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020·常州）如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由x＜y可得： ，故此选项成立；
B、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故此选项不成立.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都乘以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个负数不等号的方向改变；在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，对各选项分析判断后利用排除法求解.
2．（2020九上·德城期末）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．故选：B
【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
3．（2021·铜仁）不等式组 的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
解①得： ，
解②得： ，
故不等式组的解集为： ，
故答案为：B.
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可.
4．（2024·湖北）平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．（4，6） B．（6，4）
C．（﹣4，﹣6） D．（﹣6，﹣4）
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；点的坐标与象限的关系；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为，如图所示：
由题意得，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，点A'在第一象限.
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：B
【分析】过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为，先根据点A的坐标得到，，进而根据旋转的性质得到，，从而即可证明∠AOB=∠OA'C，根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而即可得到点A'的坐标.
5．（2024·宁夏）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；绝对值的非负性；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，
∴a-3≥0，
∴a≥3.
故答案为：A.
【分析】首先根据绝对值的性质得出不等式a-3≥0，解得a的取值范围，结合解集在数轴上的正确表示方法即可得出答案。
6．（2024·宜宾）如图，在中，，以BC为边作，，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
【答案】D
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，如图：
∵BE=AB，∠ABE=90°，
∴.
∵∠DBC=90°=∠EBA，
∴∠DBE=∠CBA，
又∵BD=BC，AB=BE，
∴△DBE≌△CBA(SAS)
∴DE=AC=2.
在△ADE中，AD
∵当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值=6+2=8.
故答案为：D.
【分析】将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，由“SAS”可证△DBE≌△CBA，可得DE=AC=2，由等腰直角三角形的性质可得AE，由三角形的三边关系即可求解.
7．（2024·烟台中考）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-平行线
【解析】【解答】解：第一个图形：由作图痕迹知射线OP为∠AOB的平分线；
第二个图形：由作图痕迹知OC=OD，OA=OB，
∴AC=BD，
∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠OAD=∠OBC，
∵AC=BD，∠BPD=∠APC，
∴△BPD≌△APC，
∴AP=BP，
∵OA=OB，PO=PO，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠AOP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
第三个图形：由作图知∠ACP=∠BOA，OC=CP，
∴CP∥OB，∠COP=∠CPO，
∴∠CPO=∠BOP，
∴∠COP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
第四个图形：由作图知OC=OD，OP垂直平分CD，
∴∠COP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，根据作图痕迹逐一判定即可.
8．（2020·广元）关于x的不等式 的整数解只有4个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组整理得： ，
解集为m＜x＜3，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，-1，
∴-2≤m<-1，
故答案为：C．
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
9．（2023·河北） 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得DA=DC=2，
∴0＜AC＜2+2=4，
对比选项，AC的长为3，
故答案为：B
【分析】根据三角形的三边关系结合等腰三角形的定义即可求解。
10．（2024·台湾）小玲搭飞机出国旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据下图的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（ ）
每人使用各种交通工具 每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤 ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤 ●汽车：0.17公斤
A．310天 B．309天 C．308天 D．307天
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小玲至少要改搭公交车上下班x天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量，由题意得
20x(0.17-0.04)＞800
解得x＞
∴小玲至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量.
故答案为：C.
【分析】小玲至少要改搭公交车上下班x天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量，
则每天搭乘公交车上下班比驾驶汽车上下班每天少排放的碳排量为20（0.17-0.04）公斤，进而根据小玲每天搭乘公交车上下班比驾驶汽车上下班每天少排放的碳排量×搭乘公交车上下班的时间超过搭飞机产生的碳排放量列出不等式，求出其最小整数解即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·达州）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是 .
【答案】2≤a＜3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：∵不等式组恰有3个整数解，
∴不等式组有解，
整理，解得不等式的解集为a-2＜x≤3，
∴整数解为3，2，1，
∴0≤a-2＜1，
∴2≤a＜3.
故答案为：2≤a＜3.
【分析】由题意得不等式组有解，解得不等式的组的解集为a-2＜x≤3，又不等式组恰有三个整数解，即为3，2，1，从而得0≤a-2＜1，解得即可求出a的范围.
12．（2021·娄底）如图， 中， 是 上任意一点， 于点 于点F，若 ，则 .
【答案】1
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，如下图，
于点 于点 ，
，
，
，
故答案是：1.
【分析】连接 ，由=1，即可求出结论.
13．（2022·绥化）不等式组的解集为，则m的取值范围为 ．
【答案】m≤2
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①得：，
又因为不等式组的解集为x>2
∵x>m，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
14．（2022·朝阳）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则ACD的周长是 ．
【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC5，
∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18．
故答案为：18．
【分析】根据垂直平分线的性质可得CD=BD，再利用勾股定理求出AC的长，最后利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。
15．（2023·广州）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点到直线的距离为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于点G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=5，
在Rt△ADE中，∵AE=12，DE=5，
∴由勾股定理得AD=，
∵S△ADE=AD×EG=AE×ED，
∴AD×EG=AE×ED，即12×5=13×EG，
∴EG=，即点E到AD的距离为.
故答案为：.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF=5，在Rt△ADE中，由勾股定理算出AD，进而根据等面积法可得AD×EG=AE×ED，从而代值可算出EG的长，此题得解.
16．（2024·广安）如图，直线与轴、轴分别相交于点A，B，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵y=2x+2交坐标轴于点A和点B，
∴A（-1，0），B（0，2）.
∴AO=1，BO=2.
∵△AOB旋转得到△ACD，
∴AC=AO=1，CD=BO=2.
∴点D的纵坐标为AC=1，
点D的横坐标为：-（2+1）=-3.
∴D（-3，1）.
故答案为：（-3，1）.
【分析】根据一次函数与坐标轴交点的情况求出A和B点坐标，从而知道AO和BO的长度，根据旋转的性质即可求出AC和CD的长度，即可求出点D的坐标.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八下·金沙期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的解集在数轴上表示如下图：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解不等式组的解法进行求解即可.
18．（2025八下·余姚开学考）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G．
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）证明： ∵是的角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线
（2）解：∵ DE=EF，
∴，
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得DE=DF，依据AAS判定△AED≌△AFD推出AE=AF，根据垂直平分线的判定即可证明；
（2）根据三角形的面积公式可得，根据DE=DF，即可求得.
19．每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形， 在建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上．
（1） 写出点 的坐标．
（2） 以原点 为对称中心， 画出 关于原点 对称的 ， 并写出点 ， 的坐标．
【答案】（1）解：A（1，-4），B（5，-4），C（4，-1）.
（2）解：如图所示.
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据网格特点和原点位置即可数出点A，B，C的坐标；
（2）根据关于原点成中心对称的图形的纵横坐标都互为相反数，先得到点A'，B'，C'的坐标，再顺次连接A'，B'，C'，即可得到 .
20．（2024八下·南山期中）如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，F为的中点，求EF的长．
【答案】（1）证明：在中，，
，
，
，，
，
又，
，
是等腰三角形；
（2）解：F为的中点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
答：的长为12．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用进行角之间的转换得出，然后根据等腰三角形的判定即可得出结论；
（2）根据中点的定义及等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理计算的长．
21．（2024八下·福田期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）；
（2）若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围；
（3）若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围．
【答案】（1）①②
（2）解：，
解不等式①得：2x≥8-m
，
解不等式②得：3x＜2m-m+9
3x＜m+9
，
∴原不等式组的解集为：，
解方程得：，
∵方程是关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
∴；
（3）解：方程，解得：，
，
解不等式①得：5x+x＞11+7
6x＞18
，
解不等式②得：
，
∴不等式组的解集为：，
∵关于x的方程关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
解得：.
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】
解：（1）①，
解得：，
②，
解得：，
，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∴不等式组的“子方程”是：①②，
故答案为：①②：
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，新定义的理解与应用，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键.
（1）先求解三个方程：运用等式的基本性质，通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤，求出每个方程的解；再求解不等式组：分别对两个不等式进行求解，通过移项、合并同类项等操作，得到不等式组的解集为：，将方程的解与不等式组的解集进行对比，判断哪些方程的解在解集范围内，从而确定”子方程“，即可判断出答案；
（2）先求解方程4x+4=0，得到方程的解x=-1，再求解不等式组：分别对两个不等式进行移项等操作，求出不等式组的解集，然后根据”子方程“的定义列不等式组，因为方程的解是不等式组的”子方程“，所以x=-1是满足不等式的解集，由此列出关于m的不等式组进行求解，即可得出答案；
（3）先求解方程2x-k=4，用含k的式子表示出x，即，再求不等式组：分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，最后根据”子方程“的定义列出不等式组：由于方程的解是不等式组的”子方程“，所以要在不等式组的解集范围内，进而列出关于k的不等式组并求解，即可得出答案.
（1）①，
解得：，
②，
解得：，
，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∴不等式组的“子方程”是：①②，
故答案为：①②：
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
解方程得，，
方程是关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
∴；
（3）方程，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵关于x的方程关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
解得：.
22．（2024八下·沙市区期末）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元.设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元.
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元
（3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元(0【答案】（1）解：由题意得y=(80-60)x+(120-90)(100-x)=-10x+3000；
（2）解： 由题意得， ，
解得 ，
随 x 增大而减小，
当 时， y最大， 最大为 ，
商场可获得的最大利润是2800元；
（3）解： 由题意得， ；
当 ， 即 时， y随x增大而减小，
当 时能获得最大利润，
解得 (舍去)；
当 时， 获得的利润为3000 ， 不符合题意；
当 时， 则y随x增大而增大，
当 时能获得最大利润，
，
解得 ；
综上所述， .
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=销售x件甲商品的利润+销售(100-x)件乙商品的利润可建立出y关于x的函数关系式；
（2）由购进x件甲商品的费用+购进(100-x)件乙商品的费用不超过8400列出不等式，求解得出x的取值范围，进而根据（1）小题所得函数解析式的性质可解此题；
（3）根据总利润=销售x件甲商品的利润+销售(100-x)件乙商品的利润可建立出y关于x的函数关系式，然后分一次项系数大于零，等于零及小于零三种情况，结合（2）中x的取值范围及一次函数的性质可解此题.
23．（2024八下·平乐开学考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图(1)，中，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流.小明得到了如下的解决方法：延长到点，使请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图得到的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 .
（3）【问题解决】
如图（2），AD是的中线，交于，交AD于，且.
求证：.
【答案】（1）B
（2）解：由（1）知：，，，在中，，由三角形三边关系定理得：，，故答案为：.
（3）证明：如图2，延长AD到M，使，连接BM，
是中线，
，
在和中
，
，，
，
，
，
，
，
即.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：在和中
，
，
故答案为：B.
【分析】（1）根据，，推出和全等即可；
（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
（3）延长AD到M，使，连接BM，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可.
24．（2021八下·海拉尔期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 的图象经过点 ，且与 轴交于点 ，与直线 ： 交于点A，点A的横坐标为 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）直接写出关于 的不等式 的解集；
（3）若 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标．
【答案】（1）解： 点 在直线 上，且点 的横坐标为 ，
点 的纵坐标为 ．
直线 过点 ，
可列方程组为
解得
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：观察图象可得：关于 的不等式 的解集为： ．
（3）解：设 ，
点 为直线 与 轴的交点，
，解得 ，
即 ，
，
，解得： ，
∴点 的坐标为 或 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将A的横坐标代入直线 上求出A的纵坐标，因为直线 过点 ，列出方程组，解出即可得k、b的值；
（2）观察图象可得 所表示的解集；
（3）根据坐标数据求出三角形AOB的面积，由此得到三角形AOD的面积，点A的横坐标为三角形AOD的高，由此得到底OD的长度，在y轴的正负半轴各有一点满足情况，分类讨论即可。
1 / 12025年北师大版数学八年级下册期中仿真模拟卷[范围：1-3章]
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020·常州）如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020九上·德城期末）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·铜仁）不等式组 的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北）平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．（4，6） B．（6，4）
C．（﹣4，﹣6） D．（﹣6，﹣4）
5．（2024·宁夏）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·宜宾）如图，在中，，以BC为边作，，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
7．（2024·烟台中考）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2020·广元）关于x的不等式 的整数解只有4个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河北） 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2024·台湾）小玲搭飞机出国旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据下图的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（ ）
每人使用各种交通工具 每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤 ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤 ●汽车：0.17公斤
A．310天 B．309天 C．308天 D．307天
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·达州）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是 .
12．（2021·娄底）如图， 中， 是 上任意一点， 于点 于点F，若 ，则 .
13．（2022·绥化）不等式组的解集为，则m的取值范围为 ．
14．（2022·朝阳）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则ACD的周长是 ．
15．（2023·广州）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点到直线的距离为 ．
16．（2024·广安）如图，直线与轴、轴分别相交于点A，B，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八下·金沙期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
18．（2025八下·余姚开学考）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G．
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若，，求的面积．
19．每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形， 在建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上．
（1） 写出点 的坐标．
（2） 以原点 为对称中心， 画出 关于原点 对称的 ， 并写出点 ， 的坐标．
20．（2024八下·南山期中）如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，F为的中点，求EF的长．
21．（2024八下·福田期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）；
（2）若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围；
（3）若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围．
22．（2024八下·沙市区期末）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元.设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元.
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元
（3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元(023．（2024八下·平乐开学考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图(1)，中，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流.小明得到了如下的解决方法：延长到点，使请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图得到的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 .
（3）【问题解决】
如图（2），AD是的中线，交于，交AD于，且.
求证：.
24．（2021八下·海拉尔期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 的图象经过点 ，且与 轴交于点 ，与直线 ： 交于点A，点A的横坐标为 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）直接写出关于 的不等式 的解集；
（3）若 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由x＜y可得： ，故此选项成立；
B、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故此选项不成立.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都乘以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个负数不等号的方向改变；在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，对各选项分析判断后利用排除法求解.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．故选：B
【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
3．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
解①得： ，
解②得： ，
故不等式组的解集为： ，
故答案为：B.
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；点的坐标与象限的关系；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为，如图所示：
由题意得，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，点A'在第一象限.
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：B
【分析】过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为，先根据点A的坐标得到，，进而根据旋转的性质得到，，从而即可证明∠AOB=∠OA'C，根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而即可得到点A'的坐标.
5．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；绝对值的非负性；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，
∴a-3≥0，
∴a≥3.
故答案为：A.
【分析】首先根据绝对值的性质得出不等式a-3≥0，解得a的取值范围，结合解集在数轴上的正确表示方法即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，如图：
∵BE=AB，∠ABE=90°，
∴.
∵∠DBC=90°=∠EBA，
∴∠DBE=∠CBA，
又∵BD=BC，AB=BE，
∴△DBE≌△CBA(SAS)
∴DE=AC=2.
在△ADE中，AD∵当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值=6+2=8.
故答案为：D.
【分析】将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，由“SAS”可证△DBE≌△CBA，可得DE=AC=2，由等腰直角三角形的性质可得AE，由三角形的三边关系即可求解.
7．【答案】D
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-平行线
【解析】【解答】解：第一个图形：由作图痕迹知射线OP为∠AOB的平分线；
第二个图形：由作图痕迹知OC=OD，OA=OB，
∴AC=BD，
∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠OAD=∠OBC，
∵AC=BD，∠BPD=∠APC，
∴△BPD≌△APC，
∴AP=BP，
∵OA=OB，PO=PO，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠AOP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
第三个图形：由作图知∠ACP=∠BOA，OC=CP，
∴CP∥OB，∠COP=∠CPO，
∴∠CPO=∠BOP，
∴∠COP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
第四个图形：由作图知OC=OD，OP垂直平分CD，
∴∠COP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，根据作图痕迹逐一判定即可.
8．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组整理得： ，
解集为m＜x＜3，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，-1，
∴-2≤m<-1，
故答案为：C．
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
9．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得DA=DC=2，
∴0＜AC＜2+2=4，
对比选项，AC的长为3，
故答案为：B
【分析】根据三角形的三边关系结合等腰三角形的定义即可求解。
10．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小玲至少要改搭公交车上下班x天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量，由题意得
20x(0.17-0.04)＞800
解得x＞
∴小玲至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量.
故答案为：C.
【分析】小玲至少要改搭公交车上下班x天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量，
则每天搭乘公交车上下班比驾驶汽车上下班每天少排放的碳排量为20（0.17-0.04）公斤，进而根据小玲每天搭乘公交车上下班比驾驶汽车上下班每天少排放的碳排量×搭乘公交车上下班的时间超过搭飞机产生的碳排放量列出不等式，求出其最小整数解即可.
11．【答案】2≤a＜3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：∵不等式组恰有3个整数解，
∴不等式组有解，
整理，解得不等式的解集为a-2＜x≤3，
∴整数解为3，2，1，
∴0≤a-2＜1，
∴2≤a＜3.
故答案为：2≤a＜3.
【分析】由题意得不等式组有解，解得不等式的组的解集为a-2＜x≤3，又不等式组恰有三个整数解，即为3，2，1，从而得0≤a-2＜1，解得即可求出a的范围.
12．【答案】1
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，如下图，
于点 于点 ，
，
，
，
故答案是：1.
【分析】连接 ，由=1，即可求出结论.
13．【答案】m≤2
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①得：，
又因为不等式组的解集为x>2
∵x>m，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
14．【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC5，
∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18．
故答案为：18．
【分析】根据垂直平分线的性质可得CD=BD，再利用勾股定理求出AC的长，最后利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于点G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=5，
在Rt△ADE中，∵AE=12，DE=5，
∴由勾股定理得AD=，
∵S△ADE=AD×EG=AE×ED，
∴AD×EG=AE×ED，即12×5=13×EG，
∴EG=，即点E到AD的距离为.
故答案为：.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF=5，在Rt△ADE中，由勾股定理算出AD，进而根据等面积法可得AD×EG=AE×ED，从而代值可算出EG的长，此题得解.
16．【答案】
【知识点】旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵y=2x+2交坐标轴于点A和点B，
∴A（-1，0），B（0，2）.
∴AO=1，BO=2.
∵△AOB旋转得到△ACD，
∴AC=AO=1，CD=BO=2.
∴点D的纵坐标为AC=1，
点D的横坐标为：-（2+1）=-3.
∴D（-3，1）.
故答案为：（-3，1）.
【分析】根据一次函数与坐标轴交点的情况求出A和B点坐标，从而知道AO和BO的长度，根据旋转的性质即可求出AC和CD的长度，即可求出点D的坐标.
17．【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的解集在数轴上表示如下图：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解不等式组的解法进行求解即可.
18．【答案】（1）证明： ∵是的角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线
（2）解：∵ DE=EF，
∴，
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可得DE=DF，依据AAS判定△AED≌△AFD推出AE=AF，根据垂直平分线的判定即可证明；
（2）根据三角形的面积公式可得，根据DE=DF，即可求得.
19．【答案】（1）解：A（1，-4），B（5，-4），C（4，-1）.
（2）解：如图所示.
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据网格特点和原点位置即可数出点A，B，C的坐标；
（2）根据关于原点成中心对称的图形的纵横坐标都互为相反数，先得到点A'，B'，C'的坐标，再顺次连接A'，B'，C'，即可得到 .
20．【答案】（1）证明：在中，，
，
，
，，
，
又，
，
是等腰三角形；
（2）解：F为的中点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
答：的长为12．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用进行角之间的转换得出，然后根据等腰三角形的判定即可得出结论；
（2）根据中点的定义及等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理计算的长．
21．【答案】（1）①②
（2）解：，
解不等式①得：2x≥8-m
，
解不等式②得：3x＜2m-m+9
3x＜m+9
，
∴原不等式组的解集为：，
解方程得：，
∵方程是关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
∴；
（3）解：方程，解得：，
，
解不等式①得：5x+x＞11+7
6x＞18
，
解不等式②得：
，
∴不等式组的解集为：，
∵关于x的方程关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
解得：.
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】
解：（1）①，
解得：，
②，
解得：，
，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∴不等式组的“子方程”是：①②，
故答案为：①②：
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，新定义的理解与应用，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键.
（1）先求解三个方程：运用等式的基本性质，通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤，求出每个方程的解；再求解不等式组：分别对两个不等式进行求解，通过移项、合并同类项等操作，得到不等式组的解集为：，将方程的解与不等式组的解集进行对比，判断哪些方程的解在解集范围内，从而确定”子方程“，即可判断出答案；
（2）先求解方程4x+4=0，得到方程的解x=-1，再求解不等式组：分别对两个不等式进行移项等操作，求出不等式组的解集，然后根据”子方程“的定义列不等式组，因为方程的解是不等式组的”子方程“，所以x=-1是满足不等式的解集，由此列出关于m的不等式组进行求解，即可得出答案；
（3）先求解方程2x-k=4，用含k的式子表示出x，即，再求不等式组：分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，最后根据”子方程“的定义列出不等式组：由于方程的解是不等式组的”子方程“，所以要在不等式组的解集范围内，进而列出关于k的不等式组并求解，即可得出答案.
（1）①，
解得：，
②，
解得：，
，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∴不等式组的“子方程”是：①②，
故答案为：①②：
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
解方程得，，
方程是关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
∴；
（3）方程，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵关于x的方程关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
解得：.
22．【答案】（1）解：由题意得y=(80-60)x+(120-90)(100-x)=-10x+3000；
（2）解： 由题意得， ，
解得 ，
随 x 增大而减小，
当 时， y最大， 最大为 ，
商场可获得的最大利润是2800元；
（3）解： 由题意得， ；
当 ， 即 时， y随x增大而减小，
当 时能获得最大利润，
解得 (舍去)；
当 时， 获得的利润为3000 ， 不符合题意；
当 时， 则y随x增大而增大，
当 时能获得最大利润，
，
解得 ；
综上所述， .
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=销售x件甲商品的利润+销售(100-x)件乙商品的利润可建立出y关于x的函数关系式；
（2）由购进x件甲商品的费用+购进(100-x)件乙商品的费用不超过8400列出不等式，求解得出x的取值范围，进而根据（1）小题所得函数解析式的性质可解此题；
（3）根据总利润=销售x件甲商品的利润+销售(100-x)件乙商品的利润可建立出y关于x的函数关系式，然后分一次项系数大于零，等于零及小于零三种情况，结合（2）中x的取值范围及一次函数的性质可解此题.
23．【答案】（1）B
（2）解：由（1）知：，，，在中，，由三角形三边关系定理得：，，故答案为：.
（3）证明：如图2，延长AD到M，使，连接BM，
是中线，
，
在和中
，
，，
，
，
，
，
，
即.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：在和中
，
，
故答案为：B.
【分析】（1）根据，，推出和全等即可；
（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
（3）延长AD到M，使，连接BM，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可.
24．【答案】（1）解： 点 在直线 上，且点 的横坐标为 ，
点 的纵坐标为 ．
直线 过点 ，
可列方程组为
解得
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：观察图象可得：关于 的不等式 的解集为： ．
（3）解：设 ，
点 为直线 与 轴的交点，
，解得 ，
即 ，
，
，解得： ，
∴点 的坐标为 或 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将A的横坐标代入直线 上求出A的纵坐标，因为直线 过点 ，列出方程组，解出即可得k、b的值；
（2）观察图象可得 所表示的解集；
（3）根据坐标数据求出三角形AOB的面积，由此得到三角形AOD的面积，点A的横坐标为三角形AOD的高，由此得到底OD的长度，在y轴的正负半轴各有一点满足情况，分类讨论即可。
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