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8.3列联表与独立性检验---自检定时练--解析版
单选题
1．年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通
B．样本中多数女性是岁及以上
C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多
D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高
【答案】C
【分析】通过对等高堆积条形图的分析，结合所列列联表及不等式性质，逐一对每个选项进行推理判断即可.
【详解】设等高条形图对应列联表如下：
岁及以上 岁以下 总计
男性
女性
总计
根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即；
岁以下男性比岁以下女性多，即．
根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即；
女性中岁及以上的比岁以下的多，即，
对于A，男性人数为，女性人数为，
因为，所以，所以A正确；
对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为，
因为，所以B正确；
对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为，
无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确；
对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为，
因为，所以，所以D正确．
故选：C.
2.下面是列联表：
合计
21 73
22 25 47
合计 46 120
则表中，的值分别为（ ）
A．94，72 B．52，50 C．74．52 D 52，74．
【答案】D
【分析】根据联表计算求参即可.
【详解】因为．所以．又，所以．
故选：D.
3.已知两个分类变量X，Y的数据列联表如下，则下列能说明X与Y有关联的是（ ）
X Y 合计
100 a d
200 b e
合计 300 c n
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，同一个样本中，越大，说明两个变量的关系越强，然后分别计算各选项，即可得到结果.
【详解】同一个样本中，越小，说明两个变量的关系越弱，
越大，说明两个变量的关系越强，
对于A，当时，
对于B，当时，可得，则，
对于C，当时，，
对于D，当时，，即，此时，
由以上分析可知，选项A能说明X与Y有关联.
故选：A
4.假设有两个分类变量和，它们的可能取值分别为和，其列联表如下：
总计
总计
对于以下数据，对同一样本能说明与有关的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】对于同一样本，越大，说明与之间的关系越强.
【详解】根据（其中），
值越大，说明“与有关系”的可能性越大，
对于同一样本，越大，说明与之间的关系越强
对于A，当，，，时，；
对于B，当，，，时，；
对于C，当，，，时，；
对于D，当，，，时，；
因为，所以B中的值最大，即B对应的值最大，说明与之间的关系越强.
故选：B．
5.为了研究色盲与性别的关系，调查了1000人，调查结果如下表所示：
情况 性别 总计
男 女
正常 442 514 956
色盲 38 6 44
总计 480 520 1000
根据上述数据，试问色盲与性别关系是（ ）
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．相互独立 B．不相互独立
C．有的把握认为色盲与性别无关 D．只有的把握认为色盲与性别有关
【答案】B
【分析】根据卡方公式计算数值，对比临界值即可求得结果.
【详解】零假设为：色盲与性别相互独立，即它们之间无关．
因为，
所以，
所以依据小概率值的独立性检验，可以推断出不成立，
即色盲与性别之间不相互独立，有的把握认为色盲与性别有关.
故选：B．
6.某观影平台对新近上映的某部影片的观众评价情况进行调查，得到如下数据（单位：人）：
作出评价 不作评价
男 30 15
女 45 10
附：，
0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
则下列说法正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否作出观影评价与性别有关
B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否作出观影评价与性别有关
C．没有95%的把握认为是否作出观影评价与性别有关
D．有99%的把握认为是否作出观影评价与性别有关
【答案】C
【分析】计算出卡方，结合题意表格中的数据即可判断.
【详解】由题意知，，
所以没有的把握认为是否作出观影评价与性别有关.
故选：C
多选题
7.为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（ ）
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
A．若，则认为“毛色”和“角”无关
B．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%
C．若，则认为“毛色”和“角”无关
D．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%
【答案】BC
【分析】根据独立性检验的判断原则一一分析即可.
【详解】对AB，若，因为 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A 错，B 对；
对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误.
故选：BC.
8.（多选）某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系，进行一次抽样调查，得到数据如表1.
免疫 不免疫 总计
注射疫苗 10 10 20
未注射疫苗 6 34 40
总计 16 44 60
表1
0.10 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
表2
则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，我们认为免疫与注射疫苗有关系
D．有99.9%的把握认为免疫与注射疫苗有关系
【答案】AC
【分析】根据题目数据计算卡方判断A，结合概率表判断B，与临界值对照判断CD.
【详解】由表中数据，得，所以A正确；
因为，所以B错误；
，在犯错误的概率不超过1%的前提下，
我们认为免疫与注射疫苗有关系，所以C正确；
，没有99.9%的把握认为免疫与注射疫苗有关系，故D错误.
故选：AC
填空题
9.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有 人.
附： ， 其中， .
【答案】30
【分析】设男生人数为x，由题意得列联表，计算，对照临界值列出不等式，求出x的取值范围.
【详解】设男生人数为x，由题意得列联表如下；
喜欢追星 不喜欢追星 合计
男生 x
女生
合计
计算
解得
又，
所以 ，
即根据 的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，所以男生至少有30人.
故答案为：30.
10.某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有 人.
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】（答案不唯一）
【分析】设被调查的男女生为人，写出列联表，应用卡方公式求卡方值，结合求参数范围，进而确定被调查的男生为，即可答案.
【详解】由题意，设被调查的男女生为人，则男生喜欢抖音有人，女生喜欢抖音有人，
所以列联表如下：
喜欢抖音 不喜欢抖音 总计
男生
女生
总计
所以，则，
所以被调查的男生为，
又，则人数是5的整数倍，
所以大于等于45的5的整数倍都符合题意，即可能有人.
故答案为：（答案不唯一）
解答题
11.小明为了了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 110
合计 80 200
(1)求；
(2)在所有喜欢蛇年春晚小品类节目的观众中随机选1人，记该观众是男性观众的概率为，求出的估计值；
(3)根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与喜欢与否有关联？
附：，其中.
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)；
(2)；
(3)能.
【分析】（1）根据列联表，可得的值；
（2）利用古典概型概率公式，可得结论；
（3）根据所给的表格做出这组数据的观测值，把观测值同临界值进行比较，可得到性别因素与喜欢与否有关联.
【详解】（1）由列联表可知，.
（2）由列联表可知，喜欢蛇年春晚小品类节目的观众共计120人，其中男性有45人，
则该观众是男性观众的概率的估计值为.
（3）补全列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 75 35 110
合计 120 80 200
零假设为：性别因素与喜欢与否无关联，
根据列联表中的数据，得，
依据小概率的独立性检验，可推断不成立，即可以认为性别因素与喜欢与否有关联.
12.向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示：
DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计
减少 未减少
应用 54 72
没有应用 42
合计 90 150
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？
(2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek.
（ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率.
（ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：其中，）
【答案】(1)表格见解析，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关
(2)（i）；（ii）人
【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论；
（2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论；
（ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，则，由条件列不等式可求结论.
【详解】（1）依题意，列联表如下：
DeepSeek的应用情况 视频从业人员 合计
减少 未减少
应用
没有应用
合计
零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异，
由列联表中数据得，.
根据小概率值的的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关.
（2）（i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立.
设“员工经过培训能应用”，则
，
所以员工经过培训能应用的概率是.
（ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，
则，因此，
调整后视频部的年利润为
（万元），
令，解得，又，所以.
所以视频部最多可以调人到其他部门.
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8.3列联表与独立性检验---自检定时练--学生版
【1】知识清单
(1)分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
(2)列联表
①定义：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．
②2×2列联表．
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{0，1}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 a b a＋b
X=1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
2.等高堆积条形图
(1)等高堆积条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．
(2)观察等高条形图发现和相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．
3．卡方独立性检验
定义 利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验
公式 ＝，其中n＝a＋b＋c＋d
具体步骤 ①确定α，根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量不独立”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值.②计算，利用公式计算随机变量的观测值.③下结论，如果，就推断“X与Y不独立”，这种推断犯错误的概率不超过α；如果，就认为“X与Y独立”.
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议30分钟)
单选题
1．年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通
B．样本中多数女性是岁及以上
C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多
D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高
2.下面是列联表：
合计
21 73
22 25 47
合计 46 120
则表中，的值分别为（ ）
A．94，72 B．52，50 C．74．52 D 52，74．
3.已知两个分类变量X，Y的数据列联表如下，则下列能说明X与Y有关联的是（ ）
X Y 合计
100 a d
200 b e
合计 300 c n
A． B． C． D．
4.假设有两个分类变量和，它们的可能取值分别为和，其列联表如下：
总计
总计
对于以下数据，对同一样本能说明与有关的可能性最大的一组为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
5.为了研究色盲与性别的关系，调查了1000人，调查结果如下表所示：
情况 性别 总计
男 女
正常 442 514 956
色盲 38 6 44
总计 480 520 1000
根据上述数据，试问色盲与性别关系是（ ）
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．相互独立 B．不相互独立
C．有的把握认为色盲与性别无关 D．只有的把握认为色盲与性别有关
6.某观影平台对新近上映的某部影片的观众评价情况进行调查，得到如下数据（单位：人）：
作出评价 不作评价
男 30 15
女 45 10
附：，
0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
则下列说法正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否作出观影评价与性别有关
B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否作出观影评价与性别有关
C．没有95%的把握认为是否作出观影评价与性别有关
D．有99%的把握认为是否作出观影评价与性别有关
多选题
7.为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（ ）
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
A．若，则认为“毛色”和“角”无关
B．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%
C．若，则认为“毛色”和“角”无关
D．若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%
8.（多选）某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系，进行一次抽样调查，得到数据如表1.
免疫 不免疫 总计
注射疫苗 10 10 20
未注射疫苗 6 34 40
总计 16 44 60
表1
0.10 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
表2
则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，我们认为免疫与注射疫苗有关系
D．有99.9%的把握认为免疫与注射疫苗有关系
填空题
9.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有 人.
附： ， 其中， .
10.某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有 人.
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
解答题
11.小明为了了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男性 45 45 90
女性 110
合计 80 200
(1)求；
(2)在所有喜欢蛇年春晚小品类节目的观众中随机选1人，记该观众是男性观众的概率为，求出的估计值；
(3)根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与喜欢与否有关联？
附：，其中.
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
12.向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示：
DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计
减少 未减少
应用 54 72
没有应用 42
合计 90 150
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？
(2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek.
（ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率.
（ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：其中，）
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B B C BC AC
9.【答案】30
10.【答案】（答案不唯一）
11.【答案】(1)； (2)； (3)能.
12.【答案】(1)表格见解析，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关
(2)（i）；（ii）人
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