课件14张PPT。第五章 生活中的轴对称1 轴对称现象探 究 新 知1 轴对称现象? 活动1 知识准备 如图5－1－1所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，AB＝AC，∠BAC＝60°，则∠BAD＝_______．图5－1－130°1 轴对称现象? 活动2 教材导学 1．探究轴对称图形
欣赏下面几张美丽的图片，你发现有什么共同特点？图5－1－2[答案] 将图案沿某直线对折，左右两部分能完全重合．1 轴对称现象◆知识链接——[新知梳理]知识点一2．探究轴对称
如图5－1－3所示，取一张质地较软、吸水性能好的纸，在纸的一侧滴一滴墨水，将纸迅速对折、压平，并用手指压出清晰的折痕，再将纸打开后铺平，观察所得到的图案．
位于折痕两侧的墨迹图案彼此之间有什么关系？与同伴进行交流．1 轴对称现象图5－1－3新 知 梳 理1 轴对称现象? 知识点一 轴对称图形与对称轴 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做______________，这条直线叫做____________．
对称轴是一条_______，有些轴对称图形可能有多条对称轴，有的甚至有无数条对称轴．轴对称图形对称轴直线1 轴对称现象? 知识点二 成轴对称与对称轴 如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形___________，这条直线叫做这两个图形的_____________．
轴对称与轴对称图形的区别与联系：
区别：(1)轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形而言；(2)轴对称描述的是两个图形的位置关系，而轴对称图形是一个图形具有的特殊形状；(3)轴对称图形反映的是这个图形自身的对称性，它至少有一条对称轴．成轴对称对称轴1 轴对称现象联系：(1)都有沿某条直线折叠后重合这一条件，这条直线称为对称轴；(2)一个轴对称图形被对称轴分成成轴对称的两个图形；反之，如果将成轴对称的两个图形看作一个整体时，就成为一个轴对称图形．重难互动探究1 轴对称现象探究问题一 轴对称图形的识别 例1 [高频考题] [2014·天津] 下列标志中，可以看作是轴对称图形的是( )图5－1－41 轴对称现象图5－1－51 轴对称现象[解析] D 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断．A、B、C三个选项中的图形均无法沿着某一条直线折叠以后，直线两旁的部分能互相重合，只有D选项，如图所示，沿着图中的任意一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，由此也可以发现，此图形有三条对称轴，故选择D.1 轴对称现象[归纳总结]判定一个图形是不是轴对称图形的关键是看能否找到一条直线，沿着这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，若能找到，则该图形就是轴对称图形，反之则不是轴对称图形．1 轴对称现象探究问题二 识别轴对称 例2如图5－1－6所示，三角形①与哪些三角形成轴对称？整个图形中几条对称轴？ 图5－1－6 图5－1－71 轴对称现象解：由定义知，三角形①与三角形②、三角形④分别成轴对称，整个图形共有两条对称轴，如图5－1－7所示的虚线．[归纳总结] [归纳总结] 判断两个图形是否为轴对称，关键是能否找到一条直线可将这两个图形沿着这条直线对折，使对折后的两个图形重合．理解轴对称的关键要抓住以下几点：①有两个图形能够完全重合；②重合方式：沿着某条直线对折后能够完全重合；③轴对称的两个图形一定全等，但两个全等的图形不一定轴对称．课件15张PPT。第五章 生活中的轴对称2 探索轴对称的性质探 究 新 知2 探索轴对称的性质? 活动1 知识准备 1．对于两个平面图形来说，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形___________，这条直线就是对称轴．成轴对称是说两个图形的位置关系．
2．如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够______________，那么这个图形叫做轴对称图形．成轴对称互相重合2 探索轴对称的性质3．(1)轴对称图形的对称轴是一条_______．
(2)写出两个是轴对称图形的汉字：_________________________________．
(3)写出3个是轴对称图形的英文字母：___________________________________．直线答案不唯一，如日、中等答案不唯一，如A，E，H等2 探索轴对称的性质? 活动2 教材导学 探究轴对称的性质
1．如图5－2－1是在方格纸上画出的一棵树的一半，以树干所在的直线为对称轴画出树的另一半．图5－2－12 探索轴对称的性质解：如图5－2－2中的虚线．图5－2－22 探索轴对称的性质2．在上图中任找两对对应点，用测量的方法找出相等的线段和角，由此你来推测轴对称有哪些性质呢？◆知识链接——[新知梳理]知识点一、二新 知 梳 理2 探索轴对称的性质? 知识点一 成轴对称的图形的性质 1．关于某条直线对称的两个图形是__________．
2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴_______________．
3．成轴对称的两个图形全等，且____________相等，___________________相等．全等形垂直平分对应线段对应角2 探索轴对称的性质图5－2－3[表示形式] 如图5－2－3所示，直线l两旁的图形关于l成轴对称，那么l⊥AA′，并且平分AA′；同时OA＝O′A′，∠A＝∠A′等．2 探索轴对称的性质? 知识点二 轴对称图形的性质 1．轴对称图形对应点所连的线段被对称轴_________________．
2．轴对称图形的_______________相等，__________相等．垂直平分对应线段对应角2 探索轴对称的性质? 知识点三 利用对称的性质补全轴对称图形1．对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
2．对应线段相等，对应角相等．
这两条性质是轴对称极为重要的性质，根据这些性质可寻找轴对称图形的对应点、对应线段及对应角，并由此能补全轴对称图形．重难互动探究2 探索轴对称的性质探究问题一 轴对称的性质的运用例1 [高频考题] 如图5－2－4所示，∠AOB内有一点P，分别画出P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5 cm，求△PMN的周长． 图5－2－4[解析] 本题主要考查轴对称图形的性质：对应线段相等．2 探索轴对称的性质解：P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点，由轴对称性质易得MP1＝MP，NP2＝NP，所以△PMN的周长＝MP＋NP＋MN＝MP1＋NP2＋MN＝P1P2＝5(cm)．[归纳总结] (1)关于某直线成轴对称的两个图形是全等图形，而全等图形不一定成轴对称．
(2)对称轴是对应点所连线段的垂直平分线．
(3)对应点的连线互相平行(有时在一条直线上)．
(4)若两点所连线段被某直线垂直平分，则此直线为这两点的对称轴．
2 探索轴对称的性质探究问题二 补画轴对称图形 例2如图5－2－5所示，分别以直线l为对称轴，画出图形的另一半． 图5－2－5[解析] 我们分别作出关键点的对称点，然后连接．2 探索轴对称的性质解：如图5－2－6所示．图5－2－62 探索轴对称的性质[归纳总结]此类作图题的依据就是轴对称(或轴对称图形)的性质．一般地，对称点分别在对称轴两侧，若某点在对称轴上，则它的对称点就是它本身． 课件19张PPT。第五章 生活中的轴对称3 简单的轴对称图形第1课时 等腰三角形的性质探 究 新 知第1课时 等腰三角形的性质? 活动1 知识准备 已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则第三边长是___________．4或6第1课时 等腰三角形的性质? 活动2 教材导学 探究等腰三角形的性质
1．在△ABC中，若AB＝AC，我们折叠△ABC，使点B与点C重合，在折的过程中你能发现等腰三角形的性质吗？如图5－3－1所示，在△ABC中，图5－3－1第1课时 等腰三角形的性质(1)如果AB＝AC，且∠1＝∠2，那么∠B＝____，且BD＝____．
(2)如果AB＝AC，且BD＝DC，那么____＝∠C，且____⊥____．
(3)如果AB＝AC，且AD⊥BC，那么∠B＝_____，且∠1＝____．∠CDC∠BADBC∠C∠2第1课时 等腰三角形的性质2．通过活动2的学习，你能得到等腰三角形的哪些性质？◆知识链接——[新知梳理]知识点二新 知 梳 理第1课时 等腰三角形的性质? 知识点一 等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线．第1课时 等腰三角形的性质? 知识点二 等腰三角形的性质1．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．
2．等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)．第1课时 等腰三角形的性质? 知识点三 等边三角形 三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形．
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴．
等边三角形的性质定理：等边三角形的每个角都相等，并且都等于60°.
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的所有性质，如：“三线合一”，但等腰三角形不一定具有等边三角形的性质．重难互动探究第1课时 等腰三角形的性质探究问题一 等腰三角形的性质及应用 例1 [高频考题] 等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个角的度数为________________． [答案] 50°，80°或65°，65°第1课时 等腰三角形的性质[解析] 本题可根据三角形的内角和定理求解．由于50°角可能是顶角，也可能是底角，因此要分类讨论．当50°是底角时，顶角为180°－50°×2＝80°，则其余两个角的度数为50°，80°；当50°是顶角时，底角为(180°－50°)÷2＝65°，则其余两个角的度数为65°，65°.第1课时 等腰三角形的性质[归纳总结] (1)已知的边没确定为底边或腰时，要分情况讨论求解，并注意三角形的三边关系这一隐含条件．
(2)等腰三角形是一种特殊的三角形，它的两个底角相等．因此，知道它的任何一个内角的度数都可以求出另外两个角的度数．若已知的角是锐角，则有两种情况；若已知的角是钝角，则只有一种情况，其根据是三角形内角和为180°.第1课时 等腰三角形的性质例2 [高频考题] 如图5－3－2所示，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F是CD的中点，AF与CD有什么位置关系？请说明理由． 图5－3－2第1课时 等腰三角形的性质图5－3－3 [解析] 连接AC，AD，易得△ABC≌△AED，所以AC＝AD.再由等腰三角形三线合一的性质可得AF⊥CD.第1课时 等腰三角形的性质第1课时 等腰三角形的性质[归纳总结] 等腰(边)三角形是一种特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰(边)三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰(边)三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论．常用的辅助线有：(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线；(2)在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题 第1课时 等腰三角形的性质探究问题二 用轴对称破解最短路径问题例3 [高频考题] 如图5－3－4，已知牧马营地在点M处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水．
(1)试画出河边饮水的最短路线；
(2)如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线图．第1课时 等腰三角形的性质 图5－3－4 图5－3－5第1课时 等腰三角形的性质[解析] 这是一道实际问题，从中抽象出数学问题是解题的首要．(1)可抽象为点M到直线a的最短距离．(2)可抽象得到这样的数学模型：直线a，b间有一点M，试分别在a，b上求出两点，使M点与这两点构成的三角形的周长最短．要求周长最短，即要求三条线段的和最小，结合题意，可利用轴对称的性质转化为两点之间线段最短的问题．第1课时 等腰三角形的性质解：(1)如图5－3－5①，过点M作MP⊥a于点P，MP即为最短路线．
(2)如图②，分别作点M关于a，b的对称点A，B，连接AB分别交a，b于点C，D，则最短的牧马路线为M→C→D→M.[归纳总结]大家知道“两点之间线段最短”是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，我们常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，要解决这类问题，可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段和转化为两点之间的距离问题． 课件11张PPT。第五章 生活中的轴对称3 简单的轴对称图形第2课时 线段的垂直平分线探 究 新 知第2课时 线段的垂直平分线? 活动1 知识准备 1．C是线段AB的中点，则AC＝____．
2．在同一平面内，过点P有且只有____条直线与直线AB垂直．BC一第2课时 线段的垂直平分线? 活动2 教材导学 探究垂直平分线的性质
在纸上画一条线段，并对折线段，思考如下问题：
(1)线段____(填“是”或“不是”)轴对称图形；
(2)折痕与线段_______(填“垂直”或“不垂直”)；
(3)在折痕上任找一点，沿着这点和线段的两个端点所在直线分别对折，折痕上这一点到线段两端点的距离_______(填“相等”或“不相等”)．
根据以上操作，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等吗？_______．是垂直相等相等新 知 梳 理第2课时 线段的垂直平分线? 知识点 线段垂直平分线的对称性 1．线段是轴对称图形，它的一条对称轴是__这条线段的垂直平分线__，另一条对称轴是线段所在的直线．
2．线段垂直平分线上的点到这条线段__两个端点的距离相等__(线段垂直平分线的性质定理)．新 知 梳 理第2课时 线段的垂直平分线? 知识点 线段垂直平分线的对称性 1．线段是轴对称图形，它的一条对称轴是_______________________，另一条对称轴是线段所在的直线．
2．线段垂直平分线上的点到这条线段______________________________(线段垂直平分线的性质定理)．这条线段的垂直平分线 两个端点的距离相等重难互动探究第2课时 线段的垂直平分线探究问题一 线段垂直平分线的性质的运用 例1如图5－3－17所示，已知△ABC是等腰三角形，AB，AC都是腰，DE是AB的垂直平分线，BE＋CE＝12，BC＝8，求△ABC的周长． 图5－3－17[解析] 本题依据线段垂直平分线的性质可以得到．第2课时 线段的垂直平分线解： 因为DE是AB的垂直平分线，
所以AE＝BE，
所以AE＋CE＝12＝AC.
因为△ABC是等腰三角形，
所以AB＝AC＝12，
所以△ABC的周长是AB＋AC＋BC＝12＋12＋8＝32.第2课时 线段的垂直平分线[归纳总结] 应用线段垂直平分线的性质要注意两点：(1)点一定在垂直平分线上；(2)距离指的是点到线段两个端点的距离． 第2课时 线段的垂直平分线探究问题二 线段垂直平分线性质的实际应用 例3 如图5－3－18是某城区的三所小学A，B，C的分布示意图，现准备修建一座儿童游乐中心P.若要使三所学校到儿童游乐中心的距离相等，则儿童游乐中心应修在何处？ 图5－3－18 图5－3－19第2课时 线段的垂直平分线[解析] 要修一点P，使它到A，B，C三点的距离相等，即PA＝PB＝PC，可先找出到A，B两点距离相等的点，就是作线段AB的垂直平分线EF；再找出到B，C两点距离相等的点，就是作线段BC的垂直平分线MN.直线EF，MN的交点即儿童游乐中心P的所建地． 第2课时 线段的垂直平分线解：如图5－3－19所示，分别作线段AB，BC的垂直平分线EF，MN，EF与MN相交于点P，点P即为所求．[归纳总结] 解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，体现了数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务．课件15张PPT。第五章 生活中的轴对称3 简单的轴对称图形第3课时 角平分线探 究 新 知第3课时 角平分线? 活动1 知识准备 1．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离______．
2．如图5－3－28所示，OP平分∠AOB，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，若PM＝4 cm，则PN＝____ cm.相等4第3课时 角平分线图5－3－28第3课时 角平分线? 活动2 教材导学 探究角平分线的性质
1．如图5－3－29①所示，将∠AOB对折，再折出一个直角；展开后，如图②，∠AOB的平分线是____且点P在____上；PD____OA，PE____OB，PD____PE.图5－3－29OCOC⊥⊥＝第3课时 角平分线2．通过活动2，你认为角平分线有什么性质？◆知识链接——[新知梳理]知识点二[答案] 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．新 知 梳 理第3课时 角平分线? 知识点一 角的轴对称性 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．第3课时 角平分线? 知识点二 角平分线的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离________．相等重难互动探究第3课时 角平分线探究问题一 角平分线的性质的运用 例1 如图5－3－30所示，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点．
(1)∠A＝70°，求∠BOC.
(2)如果OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，OD与OE是否相等？为什么？第3课时 角平分线[解析] (1)利用三角形内角和定理解题．
(2)利用角平分线的性质解题，过点O作OF⊥BC，垂足为F.图5－3－30第3课时 角平分线第3课时 角平分线第3课时 角平分线[归纳总结]遇见角平分线，取平分线上的点向角的两边作垂线段是常见的作辅助线的方法．第3课时 角平分线探究问题二 角平分线性质在实际生活中的应用 例2 [2013?兰州] 如图5－3－31，两条公路OA和OB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)图5－3－31第3课时 角平分线[解析] 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，作∠AOB的平分线与CD的垂直平分线，交点就是货站的位置．解：如图5－3－32，作∠AOB的平分线OH，CD的垂直平分线EF，
OH与EF的交点P就是货站的位置．
所以点P就是所要求作的点．
图5－3－32第3课时 角平分线[归纳总结]本题主要考查线段的垂直平分线、角平分线的画法和性质，借助其画法可知垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等，有关垂直平分线、角平分线的题，关键是要把握它的性质及与它有关的基本作图步骤、技巧． 课件14张PPT。第五章 生活中的轴对称4 利用轴对称进行设计探 究 新 知4 利用轴对称进行设计? 活动1 知识准备 1．如图5－4－1所示，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE＝____°.图5－4－1154 利用轴对称进行设计2.已知Rt△ABC中，斜边AB＝2BC，以直线AC为对称轴，点B的对称点是B′，如图5－4－2所示，则与线段BC相等的线段是______，与线段AB相等的线段是_______和_______．与∠B相等的角是________和________，因此，∠B＝______°.B′C BB′AB′∠BAB′∠B′604 利用轴对称进行设计? 活动2 教材导学 利用轴对称设计图案
1．如图5－4－3所示，已画出了一个三角形，请画出与这个三角形全等的三角形，使这两个三角形组成一个轴对称图形，你有几种画法(所画三角形与原三角形可以有重叠部分)．图5－4－34 利用轴对称进行设计[答案] 解决本题的关键是先确定它的对称轴，再根据轴对称的性质画出另一个三角形．下面给出四种画法：图5－4－44 利用轴对称进行设计2．如图5－4－5，剪纸在生活中经常见到，你知道它是利用图形的轴对称性进行设计的吗？如何利用图形的轴对称性进行设计？图5－4－54 利用轴对称进行设计[答案] 剪纸是与轴对称紧密相连的，只要有对折，无论怎样剪，都会出现轴对称．利用轴对称性就可以设计出许多美丽的图案．◆知识链接——[新知梳理]知识点一、二新 知 梳 理4 利用轴对称进行设计? 知识点一 画出关于直线对称的对称图形 作一个对称点的方法：从这个点向直线作垂线并延长，在延长线上截取和这点到直线的距离一样长的线段，这样得到的点就是这个点的对称点．
作一个图形的对称图形的方法：作出这个图形中的关键点的对称点，然后顺次连接对称点，我们就得到这个图形的对称图形．4 利用轴对称进行设计[点拨] 一条线段的关键点是线段的两个端点；一个规则的多边形的关键点就是这个图形的顶点；圆的关键点是圆心和半径，我们确定了圆心和半径，圆就画出来了．只要作出了关键点的对称点，然后连接关键点，也就作出来了．4 利用轴对称进行设计? 知识点二 利用轴对称设计图案 图案的设计常常利用对称、倒置、旋转、重复等手段和形式，由于对称现象在现实生活中普遍存在，并有广泛的应用和丰富的文化价值．因此，利用轴对称设计图案是常用的和重要的方法．
常利用轴对称的性质“如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线”为依据来设计图案．
正确找出对应点是利用轴对称设计图案的关键．重难互动探究4 利用轴对称进行设计探究问题 按要求设计轴对称图案 例1用四块如图5－4－6①所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案是轴对称图形，请你在图②③④中各画出一种拼法(要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示)． 重难互动探究4 利用轴对称进行设计探究问题 按要求设计轴对称图案 例1用四块如图5－4－6①所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案是轴对称图形，请你在图②③④中各画出一种拼法(要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示)． 图5－4－64 利用轴对称进行设计[解析] 题中只要求形成的图案为轴对称图形，并未要求有几条对称轴，也未明确以哪条直线为对称轴，故不同拼法很多．解： 拼法如图5－4－7所示．图5－4－74 利用轴对称进行设计[归纳总结]利用轴对称设计图案要注意以下几点：
(1)要有比较清晰的设计意图；
(2)设计的图案要符合要求；
(3)能清楚地表达自己的设计意图和制作过程．
