第11章 图形的平移与旋转 综合与实践 哪条路径最短 课件(共13张PPT)2024-2025学年青岛版八年级数学下册

(共13张PPT)
综合与实践
哪条路径最短
1.学会利用轴对称及平移等图形变换解决最短路径问题.
活动1：小组合作讨论，完成下列问题.
任务一：解决最短路径问题.
问题1：在七(上)，我们曾遇到这样一个实际问题：如图，l表示一条河流，A，B是两个村庄，现准备在河上建一座桥.在哪里建桥可使A，B两村之间的路径最短呢？
B
l
A
C
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
问题2：前面的问题1属于河流很窄，宽度可以忽略不计的情况.如果河流较宽，河的两岸互相平行，要在河上修建一座与河岸垂直的桥梁CD，在哪里建桥可使A，B两村之间的路径A-C-D-B最短？
A
B
小亮的方案如下：连接AB，交l1与点C，过点C作CD⊥l2，垂足为D.连接BD，则在点C处所见的垂直于河岸的桥梁CD是最佳的建桥方案.
你同意他的说法吗？
C
D
l1
l2
小莹认为小亮的方案并非最佳方案，她发现：如果将DB沿DC的方向平移，平移距离为DC，使D与C重合，点B平移到B′处.于是 ，此时A-C-D-B的长=AC+CD+DB=AC+CB′+CD.其中CD的长一定，但AC+CB′并不是A，B′两点间的最短距离.
A
B
C
D
l1
l2
B′
问题3：你同意小莹的分析吗？你能在小莹分析的基础上，设计出一条符合问题要求的最短路径吗？说明你的理由，并与同学交流.
A
B
过点B作l2的垂线，在垂线上取点B′，使BB′等于河宽.连接AB′，交l1与点C，过点C作CD⊥l2，垂足为D，则CD为所求的建桥位置.
C
D
设C′D′是另一座桥，连接AC′，D′B，C′B′，
则AC′+C′D′+D′B=AC′+BB′+C′B
=AC′+C′B′+CD＞AC+CB′+CD.
B′
∴CD为所求的桥.
l1
l2
C′
D′
关键：将固定线段“桥”平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四形的问题.
问题3：你同意小莹的分析吗？你能在小莹分析的基础上，设计出一条符合问题要求的最短路径吗？说明你的理由，并与同学交流
活动2：和同伴一起交流，完成下列问题.
B
l
A
C
A
B
l
数学问题
抽象成
实际问题
问题1：你还记得八(上)的将军饮马的故事吗？将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？
将这则故事转化为数学问题，就是在 l 上确定一点 C，使路径A—C—B最短
B′
A
B
l
C
作法：利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
问题1：你还记得八(上)的将军饮马的故事吗？将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？
问题2：如图，在河岸的同侧新建两个居民小区，现计划沿河岸修建一条长为s的绿化带CD(宽度不计)，供小区的居民散步使用，当CD选在何处时，路径AC与BD的和最小？
B
·
A
l
·
D
A′
A1
s
C
s
B′
B1
将点A向右平移长度s，得点A1.
设B1为B关于l的轴对称点，连A1B1，交l与点D，在l上点D的左侧取点C，使CD=s，则CD为所求.
为了证明CD符合要求，可在l上任取C′，D′，使 C′D′=s，证明AC′+BD′＞AC+BD.
活动小结
点在直线同侧
两点一线型
点在直线异侧
B
l
A
C
最短路径问题：
B′
A
B
l
C
活动3：阅读课本P197中的问题（4）-问题（6），完成下列问题.
问题：由（5）（6）的结果你有什么发现？设 AB = a，点 A，B 到直线 l 的距离分别是 n，m（0 < n < m），根据 a 与 m，n 三个数据之间的关系，你能分情况算出他们二人设计的方案中，哪个更节省吗？
设d1，d2分别代表小亮、小莹方案中铺设的管道长度.
①当a＜2m- 时，d1＞d2；②当a=2m- 时，d1=d2；③当a＞2m- 时，d1＜d2.
1.如图，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．
针对本课关键词“哪条路径最短”，说说你学到了哪些知识.