江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（下）数学第5周阶段性训练模拟练习（含解析）

高一数学下第一次月考真题打卡 （春季第5周）
一．选择题（共12小题）
1．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1） f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（　　）
A． B．0 C． D．
2．已知，则＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知tanα＝3，tan（α﹣β）＝5，则＝（　　）
A． B． C． D．5
4．＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知角α的终边经过点P（1，3），角β为钝角，且，则sinβ＝（　　）
A． B． C． D．
6．将函数y＝sin（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所对应的函数是（　　）
A．y＝sin（x） B．y＝sin（2x﹣）
C．y＝sin（） D．y＝sin（2x）
7．设函数，若f（x）的图象经过点（0，1），且f（x）在[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．函数y＝﹣cosxln|x|的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．若α∈（0，），3sin2αcosα+2sinαcos2α＝0，则tanα＝（　　）
A．4 B．2 C． D．
10．已知，则＝（　　）
A． B． C． D．
11．已知函数f（x）＝2cos2ωx+sin2ωx﹣1（ω＞0）的图象关于直线对称，且f（x）在上有最大值没有最小值，则ω的值为（　　）
A． B． C． D．
12．若，则＝（　　）
A．﹣ B． C． D．
二．多选题（共5小题）
（多选）13．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（　　）
A．
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）的图象可由函数y＝2sinx的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到
D．若f（x1）＝f（x2），则x1＝x2+kπ（k∈Z）
（多选）14．已知函数，则下列说法中正确的有（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的图象关于点对称
C．若f（x1）﹣f（x2）＝2，则|x1﹣x2|的最小值为
D．若f（x1）+f（x2）＝2（x1≠x2），则|x1+x2|的最小值为
（多选）15．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），则下列说法正确的有（　　）
A．若f（x）在[0，π]上的值域为[﹣1，1]，则ω的取值范围是
B．若f（x）在上恰有一条对称轴，则ω的取值范围是
C．若f（x）在上单调递增，则ω的取值范围是
D．若f（x）在上有且只有两个不同的零点，则ω的取值范围是（4，6]
（多选）16．用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是（　　）
x
ωx+φ 0 π 2π
Asin（ωx+φ） 0 2 0 ﹣2 0
A．A＝2
B．不等式f（x）≥1的解集为
C．函数f（x）的图象关于直线对称
D．函数f（x）在区间上单调递增
（多选）17．已知函数f（x）＝sin（sinx）﹣cos（cosx），则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是周期函数
C．f（x）关于直线对称
D．当x∈（0，π）时，﹣1＜f（x）＜0
三．解答题（共2小题）
18．如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过O作射线交MP的延长线于点Q，使得S△OQM＝2S△OPM，记∠MOP＝α，∠QOM＝β，且．
（1）若，求的值；
（2）已知函数f（α）＝1﹣2m﹣2msinα﹣2cos2α，，记f（α）的最小值为g（m）．若，求m的值及此时f（α）的最大值．
19．已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点（0，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当，方程有解，求实数m的取值范围；
（3）若方程f（x）﹣a＝0在区间上恰有三个实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求sin（x1+x2+x3）的取值范围．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A C D D D B D B B D
题号 12
答案 B
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：函数＝sin（x+θ） 的图象的一条对称轴为直线，
∴f（）＝+＝±，化简可得 （a﹣1）2＝0，∴a＝1．
∴f（x）＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣）．
∵f（x1） f（x2）＝﹣4，则f（x1）和f（x2）一个为﹣2，另一个为2，
不妨令 x1﹣＝2kπ﹣，x2﹣＝2kπ+，
即x1＝2k1π﹣，x2＝2k2π+，则|x1+x2|＝|2（k1+k2）π+|，k1.k2∈Z．
故当k1+k2＝0时，|x1+x2|取得最小值为．
故选：D．
2．【解答】解：设，
则，
，
则sinβ＝，
故＝sin（2β﹣﹣）＝﹣cos2β＝．
故选：A．
3．【解答】解：由于tanα＝3，tan（α﹣β）＝5，故，解得，
所以＝．
故选：C．
4．【解答】解：原式＝
＝
＝．
故选：D．
5．【解答】解：因为α的终边过点P（1，3），所以r＝|OP|＝＝，
所以sinα＝，cosα＝；
因为β为钝角，所以β∈（，π），
又因为α∈（2kπ，2kπ+），k∈Z，所以α+β∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z；
又因为cos（α+β）＝﹣，所以sin（α+β）＝±＝±；
当sin（α+β）＝时，cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝＞0，不合题意，舍去；
所以sin（α+β）＝﹣，sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝﹣×﹣（﹣）×＝．
故选：D．
6．【解答】解：将函数y＝sin（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
就是ω变为原来的2倍进行变换，
即得到函数的解析式为：y＝sin（2x）．
故选：D．
7．【解答】解：由题意f（0）＝1，可得，
又，
可得，
所以，
由x∈[0，π]，可得，
由题意f（x）在[0，π]上恰有2个零点，
可得，
解得，即实数ω的取值范围是．
故选：B．
8．【解答】解：函数y＝﹣cosxln|x|，满足f（﹣x）＝f（x）所以函数是偶函数，所以排除AC，当x∈（0，1）时，函数y＝﹣cosxln|x|＞0，排除B，
故选：D．
9．【解答】解：因为3sin2αcosα+2sinαcos2α
＝6sinαcos2α+2sinα（2cos2α﹣1）
＝10sinαcos2α﹣2sinα＝0，
又因为，所以sinα＞0，
所以5cos2α﹣1＝0，
所以，
所以tanα＝2．
故选：B．
10．【解答】解：因为＝﹣2cos（），
所以tan（）＝﹣2，
因为，所以tanα＝3，
所以，，
即＝（cos2α+sin2α）＝（）＝﹣．
故选：B．
11．【解答】解：f（x）＝2cos2ωx+sin2ωx﹣1＝2 +sin2ωx﹣1＝cos2ωx+sin2ωx＝sin（2ωx+），x∈（0，），
所以2ωx+∈（，+），
因为f（x）在（0，）有最大值没有最小值，所以＜+≤，解得＜ω≤，
又因为f（x）的图象关于直线x＝对称，所以+＝+kπ，k∈Z，
解得ω＝+，k∈Z，所以当k＝1时，ω＝符合要求．
故选：D．
12．【解答】解：∵，
∴＝cos[﹣（）]＝cos（﹣α）＝．
故选：B．
二．多选题（共5小题）
13．【解答】解：由f（x）的最大值为2，最小值为﹣2，可得A＝2．
因为f（x）的周期T＝＝π，所以，解得ω＝2，
根据x＝时，f（x）取得最大值为2，可得，k∈Z．
结合|φ|＜，取k＝0得φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．
对于A，由前面的分析可知φ＝，所以A项正确；
对于B，当x＝时，f（）＝2sin2π＝0，不是最大值或最小值，
所以f（x）的图象不关于直线x＝对称，故B项不正确；
对于C，函数y＝2sinx的图象向左平移个单位长度，可得到y＝2sin（x+）的图象，
然后将所得图象上点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
可得到y＝2sin（2x+）的图象，即y＝f（x）的图象，故C项正确；
对于D，若f（x1）＝f（x2），则2x1+＝2x2++2kπ或2x1+＝π﹣（2x2+）+2kπ，k∈Z．
可得x1＝x2+kπ或x1＝﹣x2+kπ，k∈Z，故D项不正确．
故选：AC．
14．【解答】解：因为f（）＝sin≠±1，即函数图象不关于直线对称，A错误；
因为f（）＝sinπ＝0，即函数的图象关于点对称，B正确；
若f（x1）﹣f（x2）＝2，则f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，|x1﹣x2|的最小值为＝，C正确；
若f（x1）+f（x2）＝2，则f（x1）＝1，f（x2）＝1，|x1+x2|的最小值为﹣＝，D错误．
故选：BC．
15．【解答】解：对于A，若f（x）在[0，π]上的值域为[﹣1，1]，则，
所以T，即，
解得ω，即ω的取值范围是[，+∞），故A正确；
对于B，若f（x）在上恰有一条对称轴，则，
所以，
解得，即ω的取值范围是（，]，故B错误；
对于C，若f（x）在上单调递增，则≥，
所以≥，
解得ω≤，即ω的取值范围是（0，]，故C正确；
对于D，若f（x）在上有且只有两个不同的零点，则T＜≤，
所以，
解得4＜ω≤6，即ω的取值范围是（4，6]，故D正确．
故选：ACD．
16．【解答】解：由题意得A＝2，A正确；
因为＝＝2π，
所以T＝4π，，f（x）＝2sin（φ），
又f（）＝2sin（φ﹣）＝2且|φ|＜π，
所以φ＝，f（x）＝2sin（），
令f（x）＝2sin（）≥1可得，k∈Z，
解得，，k∈Z，B错误；
f（﹣）＝2sin＝2为函数的最大值，即函数关于x＝﹣对称，C正确；
令≤，k∈Z，
解得﹣，k∈Z，
当k＝0时，一个单调递增区间为[﹣，﹣]，
k＝1时，一个单调递增区间为[，]，D错误．
故选：AC．
17．【解答】解：，
，
则，
所以f（x）不是偶函数，故选项A错误；
f（x+2π）＝sin（sin（x+2π））﹣cos（cos（x+2π））＝sin（sinx）﹣cos（cosx）＝f（x），
所以f（x）是以2π为周期的周期函数，故选项B正确；
f（π﹣x）＝sin（sin（π﹣x））﹣cos（cos（π﹣x））＝sin（sinx）﹣cos（cos（﹣x））＝f（x），
所以f（x）关于直线对称，故选项C正确：
对于选项D，由f（x）关于直线对称，只需看当时，﹣1＜f（x）＜0是否成立即可．
当时，0＜sinx≤1，0≤cosx＜1，0＜sin（sinx）≤sinl，cosl＜cos（cosx）≤1，
所以sin（sinx）﹣cos（cosx）＞﹣1，
又因为，
所以，
所以，
所以﹣1＜f（x）＜0，故选项D正确．
故选：BCD．
三．解答题（共2小题）
18．【解答】解：（1）因为sinα＝，α∈（0，），所以cosα＝＝，
由三角函数的定义可得P（cosα，sinα）＝（，），
又S△OQM＝2S△OPM，即|OM| |QM|＝2×|OM||PM|，得|QM|＝2|PM|，
所以Q（，），即|QM|＝，所以|OQ|＝＝＝，
所以sinβ＝＝，cosβ＝＝，
所以＝＝＝﹣5；
（2）f（α）＝1﹣2m﹣2msinα﹣2cos2α＝1﹣2m﹣2msinα﹣2（1﹣sin2α）＝2sin2α﹣2msinα﹣2m﹣1，
设t＝sinα，α∈[，]，则t∈[，]，
所以原函数化为y＝2t2﹣2mt﹣2m﹣1，对称轴为t＝，
当≤，即m≤1时，g（m）＝2×﹣m﹣2m﹣1＝﹣3m﹣；
当＜＜，即1＜m＜时，g（m）＝2×﹣2m ﹣2m﹣1＝﹣m2﹣2m﹣1；
当≥，即m≥时，g（m）＝2×﹣2m ﹣2m﹣1＝﹣m﹣2m+，
综上，g（m）＝，
因为g（m）＝，
所以，解得m＝﹣；
或，解得m＝﹣1（舍）或m＝﹣3（舍），
或，解得m＝0（舍），
所以m＝﹣，
此时y＝2t2+t﹣，t∈[，]，对称轴为t＝＝﹣，
所以当t＝时，ymax＝2×+×﹣＝，
即此时f（α）的最大值为．
19．【解答】解：（1）因为图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以＝，
所以T＝π，
即＝π，所以ω＝2，
所以，
又因为函数的图象过点（0，1），
所以2sinφ＝1，sinφ＝，
又因为|φ|＜，
解得φ＝，
所以f（x）＝2sin（2x+）；
（2）因为f（x﹣）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣）＝﹣2cos2x，
当时，
所以2x∈[，]，
所以cos2x∈[﹣1，]，
所以f（x）＝﹣2cos2x∈[﹣1，2]，
所以方程有解，
即m＝有解，
所以m∈[﹣1，2]；
（3）作出函数y＝f（x）在上的图象，如图所示：
因为方程f（x）﹣a＝0在区间上恰有三个实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
即直线y＝a与y＝f（x）的图象在上恰有三个不同交点，
所以1≤a＜2，
且x1与x2关于x＝对称，
x2与x3关于x＝对称，
所以x1+x2＝，x2+x3＝，
所以x1+x2+x3＝﹣x2，
因为1≤a＜2，
所以＜x2≤，
所以﹣x2∈[，），
所以sin（x1+x2+x3）＝sin（﹣x2）∈（﹣1，﹣]．