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第七章 实数
7.6 立方根
1.了解立方根的概念、表示及性质;
2.了解立方运算与开立方互为逆运算;
3.能借助有理数的立方运算估计无理数的不足近似值和过剩近似值.
活动:和同伴一起交流,完成下列问题.
任务一:了解立方根的概念、表示及性质.
问题提出:要制作一种容积为 27 m3 的正方体形状的包装箱,这种包装箱的棱长应该是多少?
因为33=27,所以这种包装箱的棱长应为 3 m.
这个实际问题所对应的数学问题是?
这个问题实质上是求立方为27的数.
一般地,如果一个数 x 的立方等于a,即 x3=a,那么这个数 x 就叫做
a 的立方根或三次方根.
数 a 的立方根记作 ,读作“三次根号a”.
根指数
被开方数
3不能省略.
活动小结
类似开平方运算,求一个数的立方根的运算叫做开立方.
27
-27
125
-125
3
-3
5
-5
立方
开立方
开立方与立方互为逆运算,可以利用开立方求一个数的立方根,也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.
任务二:了解立方根的性质、会用立方运算求立方根.
活动1:求下列各数的立方根.
(1) 27; (2)-27; (3) ; (4) -0.216.
(2)∵(-3)3=-27, ∴-27的立方根是-3,即 ;
(4)∵(-0.6)3=-0.216,∴-0.216的立方根是-0.6,即 .
(3)∵ ,∴ 的立方根是 ,即 ;
解:(1)27的立方根是3;
正数的立方根是正数还是负数?负数有立方根吗?符号怎样确定?
1.正数有一个正的立方根.
2. 0 的立方根是 0.
3.负数有一个负的立方根.
活动小结
立方根是它本身的数有1,-1,0.
一般地,
=
因为 = , = ,所以 ;
因为 = , = ,所以 .
-2
-2
=
-3
-3
=
问题:观察结果你发现了什么?
练一练
互为相反数的两个数,它们的立方根也互为相反数,即.利用“”,可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.
活动2:求下列各式的值.
解:(1)
(2)
(3)
(4)
活动:用有理数估计下列各数的立方根的范围(精确到0.1).
(1) 7; (2) -81 .
解:(1)∵13<7<23,1.93<7<2.03,∴1.9< <2.0 .
精确到0.1的不足近似值是1.9,过剩近似值是2.0 .
(2)∵43<81<53,4.33<81<4.43,∴4.3< <4.4 .
精确到0.1的不足近似值是4.3,过剩近似值是4.4 .
∴ 精确到0.1的不足近似值是-4.4,过剩近似值是-4.3 .
∴-4.4< <-4.3 .
任务三:用有理数估计无理数的不足近似值和过剩近似值.
1.下列说法正确的是( )
A.立方根是它本身的数只能是0和1
B.如果一个数有立方根,那么这个数也一定有平方根
C.16的平方根是4
D.-2是4的一个平方根
D
2.如果 ,那么a与b的关系是( )
A.a=b B.a=-b
C.a=±b D.不能确定
B
通过本节课的学习,我们已经学习了哪些内容?你掌握了哪些知识?
立方根
概念
0的立方根是它本身;
性质
负数有一个负的立方根.
正数有一个正的立方根;