2.2探索直线平行的条件（第2课时）教学设计 北师大版（2024）数学七年级下册

第二章 相交线与平行线
2 探索直线平行的条件
第2课时
一、教学目标
1.了解内错角和同旁内角的意义，掌握“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”两种判定方法.
2.灵活运用两种判定方法，证明两直线平行，解决角度的计算和转换问题.
3.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间想象、推理能力和有条理的表达能力.
4.在积极参与探索、交流的数学活动中，体验数学与实际生活的密切联系，激发学生的求知欲，感受与他人合作的重要性.
二、教学重难点
重点：了解内错角和同旁内角的意义，掌握“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补两直线平行”两种判定方法.
难点：活运用两种判定方法，证明两直线平行，解决角度的计算和转换问题.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
教师活动：引导学生回忆前面学习过的内容，提问学生回答下面问题.
问题1：结合上节课的学习内容，说一说如何判断两条直线平行？
预设：
寻找同位角，证明同位角相等，根据定理“同位角相等，两直线平行”，证出两条直线平行.
问题2：平行线有哪些性质？
预设：1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
2.平行于同一条直线的两条直线平行.
教师活动：引导学生思考，不能用同位角的数量关系直接判断两直线是否平行时，我们该怎么办
设计意图：引导学生回顾之前学习过的两直线平行的判定方法，为新课的学习做准备.
【情境引入】
李老师有一块小画板，他想知道它的上、下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB(如图所示)
李老师利用量角器，通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎么做的吗？
预设：可以测量∠1与∠2，也可以测量∠1与∠3....
教师活动：进一步提出思考，这样做的理由呢？
设计意图：从画板的平行问题入手，在于引发认知冲突：不能用同位角的数量关系直接判断两直线是否平行时，我们该怎么办？
环节二 探究新知
【合作探究】
如何利用量角器，通过测量某些角的大小
就能知道这个画板的上、下边缘是否平行？
教师活动：演示测量过程，说明∠1=∠3，
由此李老师判断上下两个边缘是平行的.
∠1+∠2=180°，由此他也能判断上下两个边缘是平行的.
提出思考问题：你知道小明的判断依据吗
设计意图：通过测量标出各角，引导学生测量它们的度数，观察相互间的数量关系，探索同位角以外，还可以利用哪些角之间的数量关系判断两条直线是否平行.
【探究】
内错角与同旁内角的定义
如图，具有∠1与∠2这样的位置关系的角称为内错角.
具有∠1与∠3这样的位置关系的角称为同旁内角.
请找出图中其他的内错角与同旁内角.
预设：∠3与∠4是内错角；
∠2与∠4是同旁内角.
问题：你能说出内错角与同旁内角的特征吗
教师活动：引导学生观察内错角的位置特征，思考并说出内错角的特征.
预设：内错角指在两条被截直线的内部，在截线的两侧，位置是交错的两个角.
内错角是Z形状
教师活动：引导学生观察同旁内角的位置特征，思考并说出同旁内角的特征.
预设： 同旁内角指在两条被截直线的内部，在截线的同旁的两个角.
同旁内角是U形状
设计意图：自然引出内错角、同旁内角的描述性说明，从而使前面得到的具体的结论能够提升到利用内错角、同旁内角的数量关系判断直线平行的一般性结论.
【归纳】
“三线八角”小结
①位于两条被截直线同一方、且在截线同一侧的两个角，叫做同位角；如∠1与∠2.
同位角是 F 形状
② 位于两条被截直线的内部，且在截线的两侧的两个角，叫做内错角；如∠7与∠2.
内错角是Z形状
③ 位于两条被截直线内部，且在截线的同侧的两个角，叫做同旁内角 .如∠5与∠2.
同旁内角是U形状.
设计意图：通过上面的情况演示及对同位角、内错角、同旁内角的说明，归纳“三线八角”问题.
【思考交流】
内错角满足什么关系时，两直线平行 为什么
教师活动：引导学生梳理证明思路：
书写证明过程：
已知：∠1 = ∠2 . 求证： a∥b
证明：∵∠1 = ∠2 (已知)
∠1 = ∠3 (对顶角相等)
∴ ∠3 = ∠2 (等量代换)
∴ 直线 a∥b (同位角相等，两直线平行)
得出结论：内错角相等,两直线平行
(2)同旁内角满足什么关系时，两直线平行 为什么
教师活动：引导学生梳理证明思路：
书写证明过程：
已知：∠1+∠2=180°，求证：a∥b
∠1，∠2互补(已知)
∠1，∠3互补(邻补角定义)
∴ ∠3 =∠2 (同角的补角相等)
∴ 直线 a∥b (内错角相等，两直线平行)
教师活动：提示证明方法不唯一，证明过程中的∠3换成∠4就可以利用同位角相等，两直线平行来证明.
得出结论：同旁内角互补,两直线平行
【归纳】
平行线的判定方法：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简称为：内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
设计意图：在前面观察、归纳的基础上，通过独立思考和交流，学生会发现：当内错角相等(或同旁内角互补)时，两直线平行.教学中鼓励学生运用自己的语言说出这一发现.
【观察思考】
如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由.
教师活动：以举例的方式提示学生如何寻找.一位同学说：BC与AE是平行的，因为∠BCA与∠EAC是内错角，而且又相等.
提问你能看懂她的意思吗？
再找到另一组平行线，说说你的理由.
预设： BA与CE是平行的，因为∠ACE与∠BAC是内错角，而且又相等.
AC与ED是平行的，因为∠ACE与∠CED是内错角，而且又相等.
设计意图:目的在于引导学生直接应用直线平行的条件来寻找平行线，教师要鼓励学生尽可能找出图中的平行线，并运用自己的语言说明理由.
【思考交流】
如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢 与同伴进行交流.
预设答案：作用是通过观察和分析截线与这两条直线所形成的同位角、内错角或同旁内角的关系，来判断这两条直线是否平行.
【尝试思考】
如图，某公园现有两条直道AB和CD交于点O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路 CD上的点P再修建一条直道MN,并且使MN与AB平行.你能在图中画出直道 MN吗
(1)过点P的直线有多少条
(2)满足什么条件的直线才能与 AB平行
预设答案：
（1）无数条
（2）理由：同位角相等，两直线平行.
【操作】
如图，已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN，使MN经过点P，且MN//AB.
预设答案：
1.在直线 AB上任取一点 O，过点 O，P作直线 CD.
2.以点 P为顶点，以 PD为一边，在直线 CD 的右侧作∠DPN=∠DOB.
PN边所在的直线 MN就是要作的直线.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例 已知：如图，∠1+∠2=180°，请用不同的方法说明：AB∥CD.
分析：两条直线平行，可以利用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来证明.
观察可知∠1的对顶角∠EHB与∠2是同旁内角，结合已知可证；∠2的补角∠CGH与∠1是同位角，利用同角的补角相等可得同位角相等，从而证出两直线平行；同理可证∠1的补角∠AHG与∠2这对内错角相等，也可以证出结论.
解题过程：
证法1：
证明：∵∠1=∠EHB(对顶角相等)
∠1+∠2=180°(已知)
∴∠2+∠EHB=180°(等量代换)
∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)
证法2：
证明：∵∠2+∠CGH=180°(邻补角的定义)
∠1+∠2=180°(已知)
∴∠1=∠CGH(同角的补角相等)
∴ AB∥CD(同位角相等，两直线平行)
证法3：
证明：∵∠1+∠AHG=180°(邻补角的定义)
∠1+∠2=180°(已知)
∴∠2=∠AHG(同角的补角相等)
∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
设计意图：通过解决例题让学生理解并灵活运用直线平行的判定方法，教师注意引导学生阅读、理解题意.
环节四 课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.如图，下列推理错误的是(　　)
A.因为∠1=∠2，所以a∥b
B.因为∠1=∠3，所以a∥b
C.因为∠3=∠5，所以c∥d
D.因为∠2+∠4=180°，所以c∥d
2.下列条件能判断l1∥l2的是( )
A. ∠2=∠3 B. ∠1=∠3
C. ∠4+∠5=180° D. ∠2=∠4
3.观察图中所标记的五个角，完成题目：
　　(1)∠1 与 是同位角;
　　(2)∠5 与 是同旁内角;
　　(3)∠2 与 是内错角．
4.图中各角分别满足下列条件时，你能判断是哪两条直线平行吗？
①∠1＝∠4　　　　 　②∠2 ＝∠4
③∠1+∠3 ＝ 180°
　　答案：1.B ；
　　　2.B
　3.∠4；∠3；∠1
　4.①　a∥b；②　l∥m；③　l∥n.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 总结归纳
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.