5．2 解一元一次方程
第1课时 等式的性质与方程的简单变形
1．等式的性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个__ __或同一个__ __，所得的结果仍是__ __．
2．等式的性质2：等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为__ __)，所得结果仍是__ __．
3．方程两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，方程的解不变．方程两边都乘以(或都除以)同一个不等于__ __的数，方程的解不变．
考点1 等式的性质
【典例1】下列运用等式性质进行的变形，正确的是( )
A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c
B．如果a2＝3a，那么a＝3
C．如果a＝b，那么＝
D．如果＝，那么a＝b
(1)根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2)等式的性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立；(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【变式训练】
1．下列等式变形，正确的是( )
A．由1－2x＝6，得2x＝6－1
B．由－x＝8，得x＝4
C．由x－2＝y－2，得x＝y
D．由ax＝ay，得x＝y
考点2 方程的变形规则
【典例2】下列根据等式的性质变形正确的是( )
A．由＝2，得x＝1
B．由3(x－2)＝6，得x－2＝2
C．由x－2＝6，得x－2＋2＝6
D．由2x＋3＝x－1，得2x＋x＝－1－3
考查了等式的性质，性质1：等式两边加或减同一个数(或整式)结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【变式训练】
2．下列变形正确的是( )
A．4x－5＝3x＋2变形得4x－3x＝－2＋5
B．x－1＝x＋3变形得4x－1＝3x＋18
C．3(x－1)＝2(x＋3)变形得3x－1＝2x＋6
D．3x＝2变形得x＝
知识点1 等式的基本性质
1．(海南临高县期末)根据等式的性质，下列变形错误的是( )
A．若a＝b，则a－1＝b－1
B．若＝，则a＝b
C．若a＝b，则－3a＝－3b
D．若ac＝bc，则a＝b
2．若等式x＝y可以变形为＝，则有( )
A．a＞0 B．a＜0
C．a≠0 D．a为任意有理数
3．下列关于等式基本性质的表述中错误的是( )
A．若a＝b，则a＋m＝b＋m
B．若a＝b，则a－m＝b－m
C.若a＝b，则－3a＝－3b
D．若a＝b，则＝
4．(海南乐东县期末)下列是根据等式的性质进行变形，正确的是( )
A．若x＝y，则x＋5＝y－5
B．若 a－x＝b＋x，则a＝b
C．若ax＝ay，则x＝y
D．若＝，则x＝y
5．用适当的数或式子填空．
(1)若2x＋5＝8，则2x＝8－__ __；
(2)若5x＝－2x＋7，则5x＋__ __＝7；
(3)若5x－1＝2x＋8，则5x－__ __＝8＋__ __．
知识点2 方程的变形规则
6．由方程5x＝4x－2得x＝__ __，依据是方程的变形规则__ __，它是将方程两边__ __．
7．用适当的数或整数填空，使变形后方程的解不变．
(1)4x－3＝5，则4x＝5__ __．
(2)3x＝2＋2x，则3x__ __＝2.
8．在方程x＝3的两边__ __，得到x＝9，依据是方程的变形规则__ __，也可以根据方程的变形规则__ __，在方程的两边同时乘以__ __，得到x＝9.
易错易混点 等式的基本性质隐含条件挖掘不透彻致错
9．已知ax＝ay，下列等式变形不一定成立的是( )
A．b＋ax＝b＋ay B．x＝y
C．x－ax＝x－ay D．＝
10．(海南海口期中)下列变形正确的是( )
A．由3x＋3＝13，得x＝13＋3
B．由4x＝2x－7，得4x－2x＝7
C．由8x＝－3，得x＝－
D．由＝0，得x＝0
11．用适当的数或字母填空，使所得结果仍是等式，并在后面的括号内填上变形的根据．
(1)3x－2＝x，则2x＝__ __(__ __)；
(2)x＝9，则x＝__ __(__ __)；
(3)2πR＝2πr，则R＝__ __(__ __).
12．(海南琼中县月考)如图，，，分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放__ __个．
13．已知x－3y＝2，则代数式－x＋3y＋5＝__ __．
14．已知m－1＝n，试用等式的性质比较m与n的大小．
15.(推理能力)某同学在对一等式变形时得到了1＝－1的错误结果，可他又找不出原因，聪明的同学，你能帮他“诊断”吗？他的变形过程如下：
4x＝－6y，
等式两边都减去2x－3y，得4x－(2x－3y)＝－6y－(2x－3y)，
所以2x＋3y＝－3y－2x，
两边都除以(2x＋3y)，得＝，整理得1＝－1.
第2课时 解简单的方程
1．移项：在解方程的过程中，等号的两边加上(或减去)方程中某一项的变形过程，相当于将这一项改变符号后，从方程的一边移到另一边．这种变形过程叫做__ __．
2．移项与解一元一次方程的步骤
解一元一次 方程的步骤 注意事项
移项 移项要改变__ __．(注意移项与加法交换律的区别)
合并同类项 应用合并同类项法则，注意系数的符号
系数化为1 __ __前面的系数化为1作分母
考点1 移项
【典例1】解方程5x－3＝2x＋2，移项正确的是( )
A．5x－2x＝2＋3 B．5x＋2x＝2＋3
C．5x－2x＝2－3 D．5x＋2x＝2－3
移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，但无论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号，然后再进行移项．
【变式训练】
1．(广东惠州龙门县期末)解方程x－3＝2x，正确的移项是__ __．
考点2 利用移项解简单的方程
【典例2】当x取何值时，代数式3x＋1与x－3的值互为相反数？
掌握互为相反数的两数之和为0是解决本题的关键．
【变式训练】
2．(山东聊城临清市月考)解方程：5－x＝4.
知识点1 移项
1．(海南东方月考)方程5＋x＝0的解是( )
A．x＝5 B．x＝－5
C．x＝0 D．无解
2．下列方程变形中移项正确的是( )
A．从5x＝x－3得5x－x＝－3
B．从7＋x＝3得x＝3＋7
C．从2x＋3－x＝7得2x＋x＝7－3
D．从2x－3＝x＋6得2x＋x＝6＋3
知识点2 系数化为1
3．下列变形正确的是( )
A．由＝3，得x＝3 B．由＝6，得x＝1
C．由2y＝3，得y＝ D．由x－4＝－1，得x＝5
知识点3 用移项和系数化为1法解方程
4．(海南模拟)若代数式2x＋2的值为－2，则x等于( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
5．已知关于x的方程2x＋3a－10＝0的解是x＝2，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．方程2x＋6＝2＋3x的解为__ __．
7．解下列方程：
(1)1－8＋2x＝－3；
(2)5x＝3x－12；
(3)2x＋3＝11－6x；
(4)4x＋5＝3x＋3－2x；
(5)x－2＝3－x.
易错易混点 移项变号失误导致错误
8．解方程：2x＋2－3x＋6＝4＋x.
9．(海南海口期末)已知y＝kx＋3，当x＝－4时，y＝1，则k的值为( )
A．－1 B．1
C．－ D．
10．(海南临高县期末)如果方程2x＝4与方程3x＋k＝－1的解相同，则k的值为( )
A．－7 B．－3 C．3 D．7
11．我们定义一种运算：a?b＝ab＋2a－b，若3?x＝12，则x＝__ __．
12．已知ax+1b4与9a2x-1b4是同类项，求x的值.
13．如果5x－4是x的3倍与18的和，求12x－36－(7x＋12)的值．
14．规定一种运算“?”，若a?b＝a－b，求方程x?2＝1?x的解.
15．如果4m－5的值与3m－9的值互为相反数，求m的值．
16．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝2a＋b，则称该方程为“合并式方程”．例如：2x＝－8的解为x＝－4，又－4＝2×2＋(－8)，所以2x＝－8是合并式方程．
(1)请判断x＝1是不是合并式方程并说明理由；
(2)若关于x的一元一次方程3x＝m＋1是合并式方程，求m的值．
17.(创新意识)如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x－3＝0是方程x－2＝0的后移方程．
(1)请判断方程2x＋3＝0是否为方程 2x＋5＝0的后移方程__ __．(填“是”或“否”)；
(2)若关于x的方程3x＋m＋n＝0是关于x的方程3x＋m＝0的后移方程，求n的值.
第3课时 解一元一次方程——去括号、去分母
1．一元一次方程的有关概念：只含有一个__ __、左右两边都是__ __，并且含未知数的项的次数都是__ __的方程叫做一元一次方程．
2．解一元一次方程的一般步骤
变形 名称 具体做法 注意事项
去分母 在方程两边都乘以各分母的__ __ (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要__ __) (1)移项要变号 (2)不要丢项
合并同 类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变
系数 化为1 在方程两边都除以__ __的系数a，得到方程的解x＝ 不要把分子、分母写颠倒
3.含绝对值的一元一次方程：解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
考点1 一元一次方程的概念
【典例1】下列方程为一元一次方程的是( )
A．3x＞9 B．x2＋3＝x＋2
C．－x－3＝4 D．2y－3x＝2
(1)“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①是一个方程．②必须只含有一个未知数．③含有未知数的项的最高次数是1.④分母中不含有未知数．
(2)一元一次方程的标准形式是：ax＋b＝0(其中a≠0，a、b是常数) .
(3)一元一次方程的最简形式是： ax＝b(其中a≠0，a、b是常数).
【变式训练】
1．已知(m－3)x|m|-2＝18是关于x的一元一次方程，则( )
A．m＝2 B．m＝－3
C．m＝±3 D．m＝1
考点2 解一元一次方程的一般步骤
【典例2】将方程－＝1去分母得到2(2x－1)－3(x＋1)＝1，错误的原因是( )
A．分母的最小公倍数不是6
B．去分母时等号右边的1漏乘6
C．去分母时符号写错了
D．去分母时不该添加小括号
(1)解方程时有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行．
(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
【变式训练】
2．(海南琼中县校级月考)下列解方程的变形过程正确的是( )
A．由3x＝2x－1移项，得3x＋2x＝－1
B．由4＋3x＝2x－1移项，得3x－2x＝1－4
C．由＝1＋去分母，得3(3x－1)＝1＋2(2x＋1)
D．由4－2(3x－1)＝1去括号，得4－6x＋2＝1
考点3 解含绝对值的一元一次方程
【典例3】方程|x－1|＝2 023的解是( )
A．x＝2 024
B．x＝－2 020
C．x＝－2 024或x＝2 022
D．x＝2 024或x＝－2 022
此类问题一般先把方程化为|ax＋b|＝c的形式，然后再分类讨论：(1)当c<0时，无解；(2)当c＝0时，原方程化为：ax＋b＝0；(3)当c>0时，原方程可化为：ax＋b＝c或ax＋b＝－c.
【变式训练】
3．方程|2x－1|＝7的解为( )
A．x＝－3 B．x＝4
C．x＝4或x＝－3 D．x＝－4或x＝3
知识点1 一元一次方程
1．(海南儋州月考)下列方程中，属于一元一次方程的是( )
A．x＝0 B．＝2
C．2x2－3x＝4 D．x－4y＝3
2．当a__ __时，方程(a＋1)x＋＝0是关于x的一元一次方程．
知识点2 去括号解一元一次方程
3．方程3x－2(x－3)＝5去括号变形正确的是( )
A．3x－2x－3＝5 B．3x－2x－6＝5
C．3x－2x＋3＝5 D．3x－2x＋6＝5
4．当x＝__ __时，代数式3(x－2)与 2(2＋x)的值相等．
5．解下列方程：
(1)4x－3＝2(x－1)；
(2)7x＋2(3x－3)＝20；
(3)(x＋1)－2(x－1)＝1－3x；
(4)2x－(x＋3)＝－x＋3.
知识点3 去分母解一元一次方程
6．(海南海口秀英区期中)一元一次方程－＝1，去分母后变形正确的是( )
A．4x－2－5x＋2＝1 B．4x－2－5x－2＝1
C．4x－2－5x＋2＝6 D．4x－2－5x－2＝6
7．若和3－2x互为相反数，则x的值为( )
A．－3 B．3 C．1 D．－1
8．解下列方程：
(1)x－1＝x＋x＋x；
(2)＝－1；
(3)－6x＝－x＋1；
(4)－＝1.
易错易混点 含绝对值符号的方程没有分类讨论导致漏解
9．方程|x－3|＝1的解为__ __．
10．解方程＋＝0.1时，把分母化为整数，得( )
A．＋＝10
B．＋＝0.1
C．＋＝0.1
D．＋＝10
11．已知(2－k)x|k-1|－17＝5是关于x的一元一次方程，则k＝__ __．
12．(海南三亚月考)当x＝__ __时，代数式与1－的值相等．
13．我们称使＋＝成立的一对数a、b为“相伴数对”，记为(a，b)，如：当a＝b＝0时，等式成立，记为(0，0).若(a，3)是“相伴数对”，则a的值为__ __．
14. (1)当x等于什么数时，代数式－与－3的值相等？
(2)当x等于什么数时，代数式的值比的值大2
15．用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小凯错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务，
－＝
解：2×2x－(4－3x)＝2(5x＋8)第一步
4x－4＋3x＝10x＋16第二步
4x＋3x－10x＝16－4第三步
－3x＝12第四步
x＝－4第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第一步是依据__ __进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是__ __；
②第三步开始出错，这一步错误的原因是__ __；
③请直接写出该方程的正确解：__ __；
任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议．
16.(推理能力)(1)如下表，方程1，方程2，方程3，…是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处；
序号 方程 方程的解
1 －(x－2)＝1 x＝__ __
2 －(x－3)＝1 x＝
3 －(x－4)＝1 x＝
… … …
(2)方程－(x－a)＝1的解是x＝，求a的值．该方程是不是(1)中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？
第4课时 列一元一次方程解应用题
1．用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
2．用一元一次方程解决和差倍分问题：基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，降低量＝原有理×降低率，现有量＝原有量＋增长量，现有量＝原有量－降低量．
考点 用一元一次方程解决实际问题的步骤
【典例】(陕西汉中期末)七年级进行法律知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分，小红同学参加了竞赛，成绩是96分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？
(1)“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量；
(2)“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
(3)“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，单位要统一；
(4)“解”就是解方程，求出未知数的值；
(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
(6)“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
【变式训练】
(海南期末)有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住，如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子．求原有多少个鸽笼？
知识点 列一元一次方程解应用题
1．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱.问人数是多少？若设人数为x，则下列方程正确的是( )
A．8x＋3＝7x－4 B．8x－3＝7x＋4
C．8(x－3)＝7(x＋4) D．8x＋4＝7x－3
2．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为( )
A．54 B．27 C．72 D．45
3．(海南琼中县月考)某次篮球比赛计分规则为：胜一场积2分，负一场积1分，没有平场，八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分，那么八一队胜了多少场( )
A．6 B．7 C．8 D．9
4．古埃及“纸草书”上有一个方程：有一个未知数，它的、、和它本身的和是37.根据该句可列方程为__ __．
5．小明想从某网店购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多12元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A、B两种型号计算器的单价分别是多少元？
6．我区期末考试一次数学阅卷中，阅B卷第28题(简称B28)的教师人数是阅A卷第18题(简称A18)教师人数的3倍，在阅卷过程中，由于情况变化，需要从阅B28题中调12人到A18阅卷，调动后阅B28剩下的人数比原先阅A18的人数的一半还多3人，问阅B28和阅A18原有教师人数各多少人？
易错易混点 类比迁移能力不足致错
7．阅读下列材料：将0.转化为分数：设x＝0.＝0.333…①，则10x＝3.333…②，由②－①，得9x＝3，即x＝.所以0.＝0.333…＝.
阅读以上材料， 写出把0.化成分数的过程．
8．(海南琼中县月考)现有若干本书分给班上的同学，若每人分5本，则还缺20本；若每人分4本，则多25本．设班上共有x名同学，根据题意列方程为__ __．
9．(海南临高县期末)有一列数，按一定的规律排列：－1，2，－4，8，－16，32，－64，128，…其中某三个相邻数之和为1 536，则这三个数中最小的数是__ _ __．
10．某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过60立方米，按每立方米2.6元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米3.5元收费．已知某用户6月份煤气费平均每立方米3元，那么6月份这位用户应交煤气费多少元？
11．《义务教育体育与健康课程标准(2022年版)》发布后引起热议，新课标明确了体育依旧为第三主科．学校可根据实际情况设计课程内容．某中学依据本地特色开设滑冰课程，需要购买12套队服和x(x＞12)套护具，现从甲、乙两商场了解到同一品牌的队服报价每套均为200元，护具报价每套均为50元.甲、乙两商场的优惠方案如下表：
商场 甲 乙
优惠方案 购买一套队服 赠送一套护具 队服和护具均按 报价打八五折
(1)用含x的式子表示分别在甲、乙两商场购买队服和护具所需要的费用；
(2)当购买多少套护具时，在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同？
(3)如要购买30套护具，请设计出最省钱的购买方案．
12.(应用意识)小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说：“我们一家外出旅行了一个星期，这7天的日期数之和是84天，你知道我们几号出去的吗？”小王说“我暑假去舅舅家住了7天，日历数再加月份数也是84，你能猜出我是几月几号回的家吗？”试试看列出方程解决小赵、小王的问题．(提示：7月1日～9月1日是暑假)5．2 解一元一次方程
第1课时 等式的性质与方程的简单变形
1．等式的性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个__数__或同一个__整式__，所得的结果仍是__等式__．
2．等式的性质2：等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为__0__)，所得结果仍是__等式__．
3．方程两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，方程的解不变．方程两边都乘以(或都除以)同一个不等于__0__的数，方程的解不变．
考点1 等式的性质
【典例1】下列运用等式性质进行的变形，正确的是( D )
A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c
B．如果a2＝3a，那么a＝3
C．如果a＝b，那么＝
D．如果＝，那么a＝b
解析：A.当a＝b时，a＋c＝b＋c，故A错误；B.当a＝0时，此时a≠3，故B错误；C.当c＝0时，此时与无意义，故C错误；故选D.
(1)根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2)等式的性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立；(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【变式训练】
1．下列等式变形，正确的是( C )
A．由1－2x＝6，得2x＝6－1
B．由－x＝8，得x＝4
C．由x－2＝y－2，得x＝y
D．由ax＝ay，得x＝y
考点2 方程的变形规则
【典例2】下列根据等式的性质变形正确的是( B )
A．由＝2，得x＝1
B．由3(x－2)＝6，得x－2＝2
C．由x－2＝6，得x－2＋2＝6
D．由2x＋3＝x－1，得2x＋x＝－1－3
解析：A.由＝2，得x＝4，所以A选项不符合题意；B.由3(x－2)＝6，得x－2＝2，所以B选项符合题意；C.由x－2＝6，得x－2＋2＝6＋2，所以C选项不符合题意；D.由2x＋3＝x－1，得2x－x＝－1－3，所以D选项不符合题意；故选B.
考查了等式的性质，性质1：等式两边加或减同一个数(或整式)结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【变式训练】
2．下列变形正确的是( D )
A．4x－5＝3x＋2变形得4x－3x＝－2＋5
B．x－1＝x＋3变形得4x－1＝3x＋18
C．3(x－1)＝2(x＋3)变形得3x－1＝2x＋6
D．3x＝2变形得x＝
知识点1 等式的基本性质
1．(海南临高县期末)根据等式的性质，下列变形错误的是( D )
A．若a＝b，则a－1＝b－1
B．若＝，则a＝b
C．若a＝b，则－3a＝－3b
D．若ac＝bc，则a＝b
2．若等式x＝y可以变形为＝，则有( C )
A．a＞0 B．a＜0
C．a≠0 D．a为任意有理数
由等式的性质2，在等式x＝y的两边同时除以a，当a≠0时，可得＝.
3．下列关于等式基本性质的表述中错误的是( D )
A．若a＝b，则a＋m＝b＋m
B．若a＝b，则a－m＝b－m
C.若a＝b，则－3a＝－3b
D．若a＝b，则＝
4．(海南乐东县期末)下列是根据等式的性质进行变形，正确的是( D )
A．若x＝y，则x＋5＝y－5
B．若 a－x＝b＋x，则a＝b
C．若ax＝ay，则x＝y
D．若＝，则x＝y
5．用适当的数或式子填空．
(1)若2x＋5＝8，则2x＝8－__5__；
(2)若5x＝－2x＋7，则5x＋__2x__＝7；
(3)若5x－1＝2x＋8，则5x－__2x__＝8＋__1__．
知识点2 方程的变形规则
6．由方程5x＝4x－2得x＝__－2__，依据是方程的变形规则__1__，它是将方程两边__同时减去4x__．
7．用适当的数或整数填空，使变形后方程的解不变．
(1)4x－3＝5，则4x＝5__＋3__．
(2)3x＝2＋2x，则3x__－2x__＝2.
8．在方程x＝3的两边__同时除以__，得到x＝9，依据是方程的变形规则__2__，也可以根据方程的变形规则__2__，在方程的两边同时乘以__3__，得到x＝9.
易错易混点 等式的基本性质隐含条件挖掘不透彻致错
9．已知ax＝ay，下列等式变形不一定成立的是( B )
A．b＋ax＝b＋ay B．x＝y
C．x－ax＝x－ay D．＝
A.两边都加b，结果不变，故A不符合题意；B.a＝0时两边都除以a，无意义，故B符合题意；C.两边都乘以－1，再都加x，结果不变，故C不符合题意；D.两边都除以同一个不为零的整式，结果不变，故D不符合题意；故选B.
10．(海南海口期中)下列变形正确的是( D )
A．由3x＋3＝13，得x＝13＋3
B．由4x＝2x－7，得4x－2x＝7
C．由8x＝－3，得x＝－
D．由＝0，得x＝0
11．用适当的数或字母填空，使所得结果仍是等式，并在后面的括号内填上变形的根据．
(1)3x－2＝x，则2x＝__2__(__等式的性质1__)；
(2)x＝9，则x＝__45__(__等式的性质2__)；
(3)2πR＝2πr，则R＝__r__(__等式的性质2__).
12．(海南琼中县月考)如图，，，分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放__5__个．
由题意知，在第二个天平两边都加入一个，对比第一个天平即可得出＝，把第二个天平中的换成，则＝，所以＝，故答案为5.
13．已知x－3y＝2，则代数式－x＋3y＋5＝__3__．
因为－x＋3y＋5＝－(x－3y)＋5，
所以当x－3y＝2时，原式＝－2＋5＝3.
14．已知m－1＝n，试用等式的性质比较m与n的大小．
根据等式性质2，在等式两边都乘以4，得3m－4＝3n，再根据等式性质1，在等式两边都减去3n，同时加上4，得3m－3n＝4，整理得3(m－n)＝4，在等式两边都除以3，得m－n＝，所以m－n＞0，则m＞n.
15.(推理能力)某同学在对一等式变形时得到了1＝－1的错误结果，可他又找不出原因，聪明的同学，你能帮他“诊断”吗？他的变形过程如下：
4x＝－6y，
等式两边都减去2x－3y，得4x－(2x－3y)＝－6y－(2x－3y)，
所以2x＋3y＝－3y－2x，
两边都除以(2x＋3y)，得＝，整理得1＝－1.
在变形的过程中，同时除以(2x＋3y)时，没有考虑其值是否为0，因此得到了1＝－1的错误结果．
第2课时 解简单的方程
1．移项：在解方程的过程中，等号的两边加上(或减去)方程中某一项的变形过程，相当于将这一项改变符号后，从方程的一边移到另一边．这种变形过程叫做__移项__．
2．移项与解一元一次方程的步骤
解一元一次 方程的步骤 注意事项
移项 移项要改变__符号__．(注意移项与加法交换律的区别)
合并同类项 应用合并同类项法则，注意系数的符号
系数化为1 __未知数__前面的系数化为1作分母
考点1 移项
【典例1】解方程5x－3＝2x＋2，移项正确的是( A )
A．5x－2x＝2＋3 B．5x＋2x＝2＋3
C．5x－2x＝2－3 D．5x＋2x＝2－3
解析：移项，得5x－2x＝2＋3，故选A.
移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，但无论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号，然后再进行移项．
【变式训练】
1．(广东惠州龙门县期末)解方程x－3＝2x，正确的移项是__x－2x＝3__．
考点2 利用移项解简单的方程
【典例2】当x取何值时，代数式3x＋1与x－3的值互为相反数？
解：∵代数式3x＋1与x－3的值互为相反数，
∴3x＋1＋x－3＝0，
∴3x＋x＝－1＋3，∴4x＝2，∴x＝.
掌握互为相反数的两数之和为0是解决本题的关键．
【变式训练】
2．(山东聊城临清市月考)解方程：5－x＝4.
移项，得－x＝4－5，
合并同类项，得－x＝－1，系数化为1，得x＝4.
知识点1 移项
1．(海南东方月考)方程5＋x＝0的解是( B )
A．x＝5 B．x＝－5
C．x＝0 D．无解
2．下列方程变形中移项正确的是( A )
A．从5x＝x－3得5x－x＝－3
B．从7＋x＝3得x＝3＋7
C．从2x＋3－x＝7得2x＋x＝7－3
D．从2x－3＝x＋6得2x＋x＝6＋3
知识点2 系数化为1
3．下列变形正确的是( C )
A．由＝3，得x＝3 B．由＝6，得x＝1
C．由2y＝3，得y＝ D．由x－4＝－1，得x＝5
知识点3 用移项和系数化为1法解方程
4．(海南模拟)若代数式2x＋2的值为－2，则x等于( D )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
5．已知关于x的方程2x＋3a－10＝0的解是x＝2，则a的值为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．方程2x＋6＝2＋3x的解为__x＝4__．
7．解下列方程：
(1)1－8＋2x＝－3；
(2)5x＝3x－12；
(3)2x＋3＝11－6x；
(4)4x＋5＝3x＋3－2x；
(5)x－2＝3－x.
(1)移项，得2x＝－3－1＋8，合并同类项，得2x＝4，两边都除以2，得x＝2.
(2)移项，得5x－3x＝－12，合并同类项，得2x＝－12，两边都除以2，得x＝－6.
(3)移项，得2x＋6x＝11－3，合并同类项，得8x＝8，两边都除以8，得x＝1.
(4) 移项，得 4x－3x＋2x＝3－5，合并同类项，得 3x＝－2，两边都除以3，得x＝－.
(5)移项，得x＋x＝3＋2，合并同类项，得x＝5.
易错易混点 移项变号失误导致错误
8．解方程：2x＋2－3x＋6＝4＋x.
移项，得2x－3x－x＝4－2－6，
合并同类项，得－2x＝－4，
系数化为1，得x＝2.
9．(海南海口期末)已知y＝kx＋3，当x＝－4时，y＝1，则k的值为( D )
A．－1 B．1
C．－ D．
把x＝－4，y＝1代入y＝kx＋3中，得1＝－4k＋3，
4k＝3－1，4k＝2，k＝，故选D.
10．(海南临高县期末)如果方程2x＝4与方程3x＋k＝－1的解相同，则k的值为( A )
A．－7 B．－3 C．3 D．7
2x＝4，解得x＝2，
把x＝2代入方程3x＋k＝－1中，得3×2＋k＝－1，
6＋k＝－1，
k＝－1－6，
k＝－7，故选A.
11．我们定义一种运算：a?b＝ab＋2a－b，若3?x＝12，则x＝__3__．
12．已知ax+1b4与9a2x-1b4是同类项，求x的值.
因为ax+1b4与9a2x-1b4是同类项，所以x＋1＝2x－1，解这个方程，得x＝2.
13．如果5x－4是x的3倍与18的和，求12x－36－(7x＋12)的值．
根据题意，得5x－4＝3x＋18，解得x＝11.
12x－36－(7x＋12)＝12x－36－7x－12＝5x－48，将x＝11代入，得原式＝5×11－48＝55－48＝7.
14．规定一种运算“?”，若a?b＝a－b，求方程x?2＝1?x的解.
x?2＝1?x，
x－×2＝×1－x，
x－＝－x，
x＋x＝＋，
x＝，
x＝，
即方程x?2＝1?x的解是x＝.
15．如果4m－5的值与3m－9的值互为相反数，求m的值．
根据题意，得4m－5＋3m－9＝0，移项、合并同类项，得7m＝14，解得m＝2.
16．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝2a＋b，则称该方程为“合并式方程”．例如：2x＝－8的解为x＝－4，又－4＝2×2＋(－8)，所以2x＝－8是合并式方程．
(1)请判断x＝1是不是合并式方程并说明理由；
(2)若关于x的一元一次方程3x＝m＋1是合并式方程，求m的值．
(1)x＝1是“合并式方程”．理由如下：由x＝1，得x＝2.
因为2＝×2＋1，所以x＝1是“合并式方程”．
(2)解3x＝m＋1，得x＝.
因为关于x的一元一次方程3x＝m＋1是合并式方程，所以＝2×3＋m＋1.所以m＝－10.
17.(创新意识)如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x－3＝0是方程x－2＝0的后移方程．
(1)请判断方程2x＋3＝0是否为方程 2x＋5＝0的后移方程__是__．(填“是”或“否”)；
(2)若关于x的方程3x＋m＋n＝0是关于x的方程3x＋m＝0的后移方程，求n的值.
(1)解方程2x＋3＝0得x＝－，解方程 2x＋5＝0得x＝－，
因为－－(－)＝－＋＝1，所以方程2x＋3＝0是方程2x＋5＝0的后移方程．
故答案为是．
(2)解方程3x＋m＋n＝0得x＝，解方程3x＋m＝0得x＝－，
因为关于x的方程3x＋m＋n＝0是关于x的方程3x＋m＝0的后移方程，所以－(－)＝1，
所以－＝1，所以n＝－3.
第3课时 解一元一次方程——去括号、去分母
1．一元一次方程的有关概念：只含有一个__未知数__、左右两边都是__整式__，并且含未知数的项的次数都是__1__的方程叫做一元一次方程．
2．解一元一次方程的一般步骤
变形 名称 具体做法 注意事项
去分母 在方程两边都乘以各分母的__最小公倍数__ (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要__变号__) (1)移项要变号 (2)不要丢项
合并同 类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变
系数 化为1 在方程两边都除以__未知数__的系数a，得到方程的解x＝ 不要把分子、分母写颠倒
3.含绝对值的一元一次方程：解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
考点1 一元一次方程的概念
【典例1】下列方程为一元一次方程的是( C )
A．3x＞9 B．x2＋3＝x＋2
C．－x－3＝4 D．2y－3x＝2
解析：A.3x＞9不是一元一次方程，故不符合题意；B.x2＋3＝x＋2不是一元一次方程，故不符合题意；C.－x－3＝4是一元一次方程，故符合题意；D.2y－3x＝2不是一元一次方程，故不符合题意．故选C.
(1)“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①是一个方程．②必须只含有一个未知数．③含有未知数的项的最高次数是1.④分母中不含有未知数．
(2)一元一次方程的标准形式是：ax＋b＝0(其中a≠0，a、b是常数) .
(3)一元一次方程的最简形式是： ax＝b(其中a≠0，a、b是常数).
【变式训练】
1．已知(m－3)x|m|-2＝18是关于x的一元一次方程，则( B )
A．m＝2 B．m＝－3
C．m＝±3 D．m＝1
已知(m－3)x|m|-2＝18是关于x的一元一次方程，则|m|－2＝1，解得m＝±3.又因为系数不为0，所以m≠3，则m＝－3.故选B.
考点2 解一元一次方程的一般步骤
【典例2】将方程－＝1去分母得到2(2x－1)－3(x＋1)＝1，错误的原因是( B )
A．分母的最小公倍数不是6
B．去分母时等号右边的1漏乘6
C．去分母时符号写错了
D．去分母时不该添加小括号
解析：－＝1，去分母，得2(2x－1)－3(x＋1)＝6，∴错误的原因是去分母时等号右边的1漏乘6.故选B.
(1)解方程时有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行．
(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
【变式训练】
2．(海南琼中县校级月考)下列解方程的变形过程正确的是( D )
A．由3x＝2x－1移项，得3x＋2x＝－1
B．由4＋3x＝2x－1移项，得3x－2x＝1－4
C．由＝1＋去分母，得3(3x－1)＝1＋2(2x＋1)
D．由4－2(3x－1)＝1去括号，得4－6x＋2＝1
考点3 解含绝对值的一元一次方程
【典例3】方程|x－1|＝2 023的解是( D )
A．x＝2 024
B．x＝－2 020
C．x＝－2 024或x＝2 022
D．x＝2 024或x＝－2 022
解析：∵|x－1|＝2 023，
∴x－1＝2 023或x－1＝－2 023，
∴x＝2 024或x＝－2 022，故选D.
此类问题一般先把方程化为|ax＋b|＝c的形式，然后再分类讨论：(1)当c<0时，无解；(2)当c＝0时，原方程化为：ax＋b＝0；(3)当c>0时，原方程可化为：ax＋b＝c或ax＋b＝－c.
【变式训练】
3．方程|2x－1|＝7的解为( C )
A．x＝－3 B．x＝4
C．x＝4或x＝－3 D．x＝－4或x＝3
因为|2x－1|＝7，所以2x－1＝7或2x－1＝－7，
当2x－1＝7时，x＝4，当2x－1＝－7时，x＝－3，故选C.
知识点1 一元一次方程
1．(海南儋州月考)下列方程中，属于一元一次方程的是( A )
A．x＝0 B．＝2
C．2x2－3x＝4 D．x－4y＝3
2．当a__≠－1__时，方程(a＋1)x＋＝0是关于x的一元一次方程．
知识点2 去括号解一元一次方程
3．方程3x－2(x－3)＝5去括号变形正确的是( D )
A．3x－2x－3＝5 B．3x－2x－6＝5
C．3x－2x＋3＝5 D．3x－2x＋6＝5
4．当x＝__10__时，代数式3(x－2)与 2(2＋x)的值相等．
5．解下列方程：
(1)4x－3＝2(x－1)；
(2)7x＋2(3x－3)＝20；
(3)(x＋1)－2(x－1)＝1－3x；
(4)2x－(x＋3)＝－x＋3.
(1)去括号，得 4x－3＝2x－2，移项，得4x－2x＝－2＋3，合并同类项，得2x＝1，两边都除以2，得x＝.
(2)去括号，得7x＋6x－6＝20，移项、合并同类项，得13x＝26，两边都除以13，得x＝2.
(3)去括号，得x＋1－2x＋2＝1－3x，移项、合并同类项，得2x＝－2，两边都除以2得，x＝－1.
(4)去括号，得2x－x－2＝－x＋3 ，移项、合并同类项，得x＝5，两边都除以，得x＝.
知识点3 去分母解一元一次方程
6．(海南海口秀英区期中)一元一次方程－＝1，去分母后变形正确的是( D )
A．4x－2－5x＋2＝1 B．4x－2－5x－2＝1
C．4x－2－5x＋2＝6 D．4x－2－5x－2＝6
－＝1，去分母，得2(2x－1)－(5x＋2)＝6，去括号，得4x－2－5x－2＝6，故选D.
7．若和3－2x互为相反数，则x的值为( B )
A．－3 B．3 C．1 D．－1
根据相反数定义，可得＋(3－2x)＝0，
去分母，得x＋3＋2(3－2x)＝0，
去括号，得x＋3＋6－4x＝0，
移项，得x－4x＝－3－6，
合并同类项，得－3x＝－9，
两边都除以－3，得x＝3.
8．解下列方程：
(1)x－1＝x＋x＋x；
(2)＝－1；
(3)－6x＝－x＋1；
(4)－＝1.
(1)x＝8；(2)x＝－；(3)x＝；(4)m＝5.
易错易混点 含绝对值符号的方程没有分类讨论导致漏解
9．方程|x－3|＝1的解为__4或2__．
原方程可化为x－3＝1①，x－3＝－1 ②.
解①，得x＝4，解②，得x＝2.故填4或2.
10．解方程＋＝0.1时，把分母化为整数，得( B )
A．＋＝10
B．＋＝0.1
C．＋＝0.1
D．＋＝10
11．已知(2－k)x|k-1|－17＝5是关于x的一元一次方程，则k＝__0__．
因为(2－k)x|k-1|－17＝5是关于x的一元一次方程，所以|k－1|＝1且2－k≠0.
由|k－1|＝1，得k－1＝1或k－1＝－1，解得k＝2或k＝0.由2－k≠0，得k≠2.综上，k＝0.
12．(海南三亚月考)当x＝__－1__时，代数式与1－的值相等．
根据题意，得＝1－，
去分母，得3(1－x)＝6－2(x＋1)，
去括号，得3－3x＝6－2x－2，
移项、合并同类项，得－x＝1，
系数化为1，得x＝－1.
故答案为－1.
13．我们称使＋＝成立的一对数a、b为“相伴数对”，记为(a，b)，如：当a＝b＝0时，等式成立，记为(0，0).若(a，3)是“相伴数对”，则a的值为__－__．
因为(a，3)是“相伴数对”，所以＋1＝，解得a＝－.
14. (1)当x等于什么数时，代数式－与－3的值相等？
(2)当x等于什么数时，代数式的值比的值大2
(1)根据题意，得－＝－3，解这个方程得x＝7，即当x＝7时，代数式－与－3的值相等．
(2)根据题意，得－＝2，解得x＝5，所以当x＝5时，代数式的值比的值大2.
15．用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小凯错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务，
－＝
解：2×2x－(4－3x)＝2(5x＋8)第一步
4x－4＋3x＝10x＋16第二步
4x＋3x－10x＝16－4第三步
－3x＝12第四步
x＝－4第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第一步是依据__等式的基本性质__进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是__乘法分配律__；
②第三步开始出错，这一步错误的原因是__移项没有变号__；
③请直接写出该方程的正确解：__x＝－__；
任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议．
任务一：
①以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律；
②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项没有变号；
③该方程的正确解是x＝－；
故答案为①等式的基本性质，乘法分配律；②移项没有变号；③x＝－
任务二：
答案不唯一，如：去分母时要防止漏乘；或括号前面是“－”号，去掉括号时括号里面各项都要变号等.
16.(推理能力)(1)如下表，方程1，方程2，方程3，…是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处；
序号 方程 方程的解
1 －(x－2)＝1 x＝____
2 －(x－3)＝1 x＝
3 －(x－4)＝1 x＝
… … …
(2)方程－(x－a)＝1的解是x＝，求a的值．该方程是不是(1)中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？
(1)解方程1：去分母，得x－4(x－2)＝4，去括号，得x－4x＋8＝4，移项、合并同类项，得－3x＝－4，两边都除以－3，得x＝.所以表中横线处应填.
(2)把x＝代入方程－(x－a)＝1，
得－(－a)＝1，解得a＝8，故a的值为8.
此时，方程即为－(x－8)＝1.观察可知，它是(1)中所给出的一列方程中的一个方程，它是第7个方程．
第4课时 列一元一次方程解应用题
1．用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
2．用一元一次方程解决和差倍分问题：基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，降低量＝原有理×降低率，现有量＝原有量＋增长量，现有量＝原有量－降低量．
考点 用一元一次方程解决实际问题的步骤
【典例】(陕西汉中期末)七年级进行法律知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分，小红同学参加了竞赛，成绩是96分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？
解：设小红在竞赛中答对了x道题，
依题意，4x－2(30－x)＝96，解得x＝26.
所以小红在竞赛中答对了26道题．
(1)“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量；
(2)“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
(3)“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，单位要统一；
(4)“解”就是解方程，求出未知数的值；
(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
(6)“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
【变式训练】
(海南期末)有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住，如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子．求原有多少个鸽笼？
设原有x个鸽笼，则原有鸽子(6x＋3)只，
根据题意，得8x＝6x＋3＋5，解得x＝4.
答：原有4个鸽笼．
知识点 列一元一次方程解应用题
1．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱.问人数是多少？若设人数为x，则下列方程正确的是( B )
A．8x＋3＝7x－4 B．8x－3＝7x＋4
C．8(x－3)＝7(x＋4) D．8x＋4＝7x－3
2．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为( D )
A．54 B．27 C．72 D．45
设原数的个位数字是x，则十位数字是9－x.
根据题意，得10x＋(9－x)＝10(9－x)＋x＋9，
解得x＝5，9－x＝4，
则原来的两位数为45.故选D.
3．(海南琼中县月考)某次篮球比赛计分规则为：胜一场积2分，负一场积1分，没有平场，八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分，那么八一队胜了多少场( D )
A．6 B．7 C．8 D．9
设八一队胜了x场，根据题意，得2x＋(14－x)＝23，解得x＝9，
答：八一队胜了9场；故选D.
4．古埃及“纸草书”上有一个方程：有一个未知数，它的、、和它本身的和是37.根据该句可列方程为__x＋x＋x＋x＝37__．
5．小明想从某网店购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多12元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A、B两种型号计算器的单价分别是多少元？
设某品牌A型号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价为(x－12)元，依题意得5x＝7(x－12)，解得x＝42，所以x－12＝30，
答：A、B两种型号计算器的单价分别是42元、30元．
6．我区期末考试一次数学阅卷中，阅B卷第28题(简称B28)的教师人数是阅A卷第18题(简称A18)教师人数的3倍，在阅卷过程中，由于情况变化，需要从阅B28题中调12人到A18阅卷，调动后阅B28剩下的人数比原先阅A18的人数的一半还多3人，问阅B28和阅A18原有教师人数各多少人？
设阅A18原有教师x人，则阅B28原有教师3x人，依题意，得3x－12＝x＋3，解得x＝6，所以3x＝18.
答：阅A18原有教师6人，阅B28原有教师18人．
易错易混点 类比迁移能力不足致错
7．阅读下列材料：将0.转化为分数：设x＝0.＝0.333…①，则10x＝3.333…②，由②－①，得9x＝3，即x＝.所以0.＝0.333…＝.
阅读以上材料， 写出把0.化成分数的过程．
设x＝0.＝0.3232…①，
则100x＝32.3232…②，
由②－①，得99x＝32，即x＝，
所以0.＝.
8．(海南琼中县月考)现有若干本书分给班上的同学，若每人分5本，则还缺20本；若每人分4本，则多25本．设班上共有x名同学，根据题意列方程为__5x－20＝4x＋25__．
9．(海南临高县期末)有一列数，按一定的规律排列：－1，2，－4，8，－16，32，－64，128，…其中某三个相邻数之和为1 536，则这三个数中最小的数是__－1_024__．
设中间的数为x，则前面的数是－x，后面的数是－2x，依题意，得－x＋x＋(－2x)＝1 536，解得x＝－1 024，
则前面的那个数是512，后面的那个数是2 048，故这三个数中最小的数是－1 024.故答案为－1 024.
10．某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过60立方米，按每立方米2.6元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米3.5元收费．已知某用户6月份煤气费平均每立方米3元，那么6月份这位用户应交煤气费多少元？
设6月份这位用户使用煤气x立方米，根据题意，得60×2.6＋3.5(x－60)＝3x，
解得x＝108，所以3x＝3×108＝324.
答：6月份这位用户应交煤气费324元．
11．《义务教育体育与健康课程标准(2022年版)》发布后引起热议，新课标明确了体育依旧为第三主科．学校可根据实际情况设计课程内容．某中学依据本地特色开设滑冰课程，需要购买12套队服和x(x＞12)套护具，现从甲、乙两商场了解到同一品牌的队服报价每套均为200元，护具报价每套均为50元.甲、乙两商场的优惠方案如下表：
商场 甲 乙
优惠方案 购买一套队服 赠送一套护具 队服和护具均按 报价打八五折
(1)用含x的式子表示分别在甲、乙两商场购买队服和护具所需要的费用；
(2)当购买多少套护具时，在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同？
(3)如要购买30套护具，请设计出最省钱的购买方案．
(1)在甲商场购买队服和护具所需要的费用为200×12＋(x－12)×50＝(50x＋1 800)元，在乙商场购买队服和护具所需要的费用为(200×12＋50x)×0.85＝(42.5x＋2 040)元．
(2)根据题意，得42.5x＋2 040＝50x＋1 800，解得x＝32，
答：当购买32套护具时，在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同．
(3)当12套队服和30套护具都在甲商场购买时，所需费用为50×30＋1 800＝3 300(元)；
当12套队服和30套护具都在乙商场购买时，所需费用为42.5×30＋2 040＝3 315(元)；
一部分在甲商场购买，一部分在乙商场购买时，若在乙商场购买18套护具，其余在甲商场购买最省钱，所需费用为12×200＋18×50×0.85＝3 165(元)，
因为3 165＜3 300＜3 315，
所以最省钱的购买方案为在乙商场购买18套护具，其余在甲商场购买．
12.(应用意识)小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说：“我们一家外出旅行了一个星期，这7天的日期数之和是84天，你知道我们几号出去的吗？”小王说“我暑假去舅舅家住了7天，日历数再加月份数也是84，你能猜出我是几月几号回的家吗？”试试看列出方程解决小赵、小王的问题．(提示：7月1日～9月1日是暑假)
设小赵是x号出去的，列方程，
得x＋(x＋1)＋(x＋2)＋(x＋3)＋(x＋4)＋(x＋5)＋(x＋6)＝84，
化简得7x＋21＝84，解得x＝9.
所以小赵是9号出去的．
设小王外出一周的中间一天是y号，
根据题意，得7y＋7＝84，解得y＝11，
回来的日期是11＋3＝14(号).
或7y＋8＝84，解得 y＝10，不合题意，舍去．
答：小赵是9号出去的，小王是7月14号回来的．
