6．1 二元一次方程组和它的解
1．有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是__ __的方程，叫做二元一次方程．
2．一般地，使二元一次方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
3．把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个__ __．
4．一般地，使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都__ __的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的__ __．
考点1 二元一次方程
【典例1】(重庆沙坪坝区期中)下列方程是二元一次方程的是( )
A．x2＋2y＝8 B．x－1＝3
C．3x－y＝0 D．x－＝6
二元一次方程满足的三个条件：
(1)在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数．
(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1.
(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式．
【变式训练】
1．下列四个方程中是二元一次方程的是( )
A．x＋＝2 B．2x－3y＝1
C． D．xy＝8
考点2 二元一次方程的解
【典例2】下列各对数值中是方程x＋2y＝5的解的是( )
A． B．
C． D．
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
【变式训练】
2．二元一次方程x－2y＝1有无数多组解，下列四组值中是该方程的解的是( )
A． B．
C． D．
考点3 二元一次方程组
【典例3】下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A． B．
C． D．
组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如也是二元一次方程组．
【变式训练】
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A． B．
C． D．
考点4 二元一次方程组的解
【典例4】解为的方程组可以是( )
A． B．
C． D．
(1)二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解．
【变式训练】
4．下列方程组中，解为的方程组是( )
A． B．
C． D．
知识点1 二元一次方程和它的解
1．(海南海口秀英区月考)下列各式中是二元一次方程的有( )
A．2x－3y＝5 B．xy－y＝1
C．2x＋3y D．＋＝
2．(海南东方期中)若(m－3)x＋2y|m-2|＋8＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝( )
A．±1 B．3
C．3或1 D．1
3．下列各组数中，是二元一次方程4x－3y＝5的解的是( )
A． B．
C． D．
知识点2 二元一次方程组和它的解
4．解为的方程组是( )
A． B．
C． D．
5．已知关于x，y的方程组的解是则2m＋n的值为( )
A．－8 B．－6
C．－4 D．0
6．已知下列三组值：
(1)哪几组数值是方程x－y＝6的解？
(2)哪几组数值是方程组的解？
易错易混点 代数推理能力不足导致错误
7．下列判断中，正确的是( )
A．方程x＝y不是二元一次方程
B．任何一个二元一次方程都只有一个解
C．方程x－2y＝5有无数个解，任何一对x，y都是该方程的解
D．既是方程x－2y＝4的解，也是方程2x＋3y＝1的解
8．我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银．”(1斤等于10两)其大意是听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问：共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为( )
A． B．
C． D．
9．小亮解方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★＝__ __．
10．我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何．”其大意是今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱．现用30钱，买2斗酒．问：醇酒、行酒各能买多少？设买醇酒x斗，买行酒y斗，根据题意可列方程组为__ __．
11．若是二元一次方程4x－3y＝10的一组解，求m的值．
12．若是方程ax＋y＝9的一组解，求出此方程的所有正整数解．
13．小明给小刚出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组中第1个方程y的系数遮住，第2个方程x的系数遮住，并且告诉你是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”
14.(应用意识)某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内计划插播长度为15秒和30秒的两种广告.15秒的广告每播一次收费0.6万元，30秒的广告每播一次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，则：
(1)两种广告播放的次数有几种安排方式？
(2)电视台选择哪种方式播放收益最大？6．1 二元一次方程组和它的解
1．有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是__1__的方程，叫做二元一次方程．
2．一般地，使二元一次方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
3．把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个__二元一次方程组__．
4．一般地，使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都__相等__的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的__解__．
考点1 二元一次方程
【典例1】(重庆沙坪坝区期中)下列方程是二元一次方程的是( C )
A．x2＋2y＝8 B．x－1＝3
C．3x－y＝0 D．x－＝6
解析：A.x2＋2y＝8含有未知数的项的最高次数为2，不符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意；B.x－1＝3只含有1个未知数，不符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意；C.3x－y＝0符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意；D.x－＝6不是整式方程，所以不是二元一次方程，故此选项不符合题意．故选C.
二元一次方程满足的三个条件：
(1)在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数．
(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1.
(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式．
【变式训练】
1．下列四个方程中是二元一次方程的是( B )
A．x＋＝2 B．2x－3y＝1
C． D．xy＝8
考点2 二元一次方程的解
【典例2】下列各对数值中是方程x＋2y＝5的解的是( A )
A． B．
C． D．
解析：A.把代入方程x＋2y＝5的左边，左边＝1＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以是方程x＋2y＝5的解，故此选项符合题意；B.把代入方程x＋2y＝5的左边，左边＝2＋2＝4，右边＝5，左边≠右边，所以不是方程x＋2y＝5的解，故此选项不符合题意；C.把代入方程x＋2y＝5的左边，左边＝－3－2＝－5，右边＝5，左边≠右边，所以不是方程x＋2y＝5的解，故此选项不符合题意；D.把代入方程x＋2y＝5的左边，左边＝5＋2＝7，右边＝5，左边≠右边，所以不是方程x＋2y＝5的解，故此选项不符合题意；故选A.
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
【变式训练】
2．二元一次方程x－2y＝1有无数多组解，下列四组值中是该方程的解的是( B )
A． B．
C． D．
把代入x－2y＝1，可得x－2y＝1－2＝－1，故A不符合题意；把代入x－2y＝1，可得x－2y＝1－0＝1，故B符合题意；把代入x－2y＝1，可得x－2y＝－1－0＝－1，故C不符合题意；把代入x－2y＝1，可得x－2y＝0＋4＝4，故D不符合题意；故选B.
考点3 二元一次方程组
【典例3】下列方程组中，是二元一次方程组的是( A )
A． B．
C． D．
解析：选项A中，有两个未知数，且都是一次方程，故正确；选项B中，有三个未知数，故错误；选项C、D中，方程的次数为二次，故错误．故选A.
组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如也是二元一次方程组．
【变式训练】
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是( D )
A． B．
C． D．
考点4 二元一次方程组的解
【典例4】解为的方程组可以是( C )
A． B．
C． D．
解析：A.将代入可知x－y＝2，2x－y＝1≠5，不符合题意；B.将代入可知x＋y＝－4≠－2，2x＋y＝－5≠5，不符合题意；C.将代入可知x－y＝2，2x－y＝1，符合题意；D.将代入可知x＋y＝－4≠－2，2x－y＝1≠5，不符合题意；故选C.
(1)二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解．
【变式训练】
4．下列方程组中，解为的方程组是( B )
A． B．
C． D．
知识点1 二元一次方程和它的解
1．(海南海口秀英区月考)下列各式中是二元一次方程的有( A )
A．2x－3y＝5 B．xy－y＝1
C．2x＋3y D．＋＝
2．(海南东方期中)若(m－3)x＋2y|m-2|＋8＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝( D )
A．±1 B．3
C．3或1 D．1
3．下列各组数中，是二元一次方程4x－3y＝5的解的是( C )
A． B．
C． D．
知识点2 二元一次方程组和它的解
4．解为的方程组是( D )
A． B．
C． D．
5．已知关于x，y的方程组的解是则2m＋n的值为( A )
A．－8 B．－6
C．－4 D．0
6．已知下列三组值：
(1)哪几组数值是方程x－y＝6的解？
(2)哪几组数值是方程组的解？
(1)将代入方程，得左边＝－3－(－9)＝－3＋9＝6＝右边，是方程的解；
将代入方程，得左边＝5－(－6)＝5＋6＝11≠6＝右边，不是方程的解；
将代入方程，得左边＝5－(－1)＝5＋1＝6＝右边，是方程的解．
(2)既是方程x－y＝6的解，又是方程2x＋5y＝15的解，所以是方程组的解．
易错易混点 代数推理能力不足导致错误
7．下列判断中，正确的是( D )
A．方程x＝y不是二元一次方程
B．任何一个二元一次方程都只有一个解
C．方程x－2y＝5有无数个解，任何一对x，y都是该方程的解
D．既是方程x－2y＝4的解，也是方程2x＋3y＝1的解
A.方程x＝y是二元一次方程，原说法错误，故此选项不符合题意；B.任何一个二元一次方程都有无数个解，原说法错误，故此选项不符合题意；C.方程x－2y＝5有无数个解，但并不是任何一对x，y都是该方程的解，原说法错误，故此选项不符合题意；D.既是方程x－2y＝4的解，也是方程2x＋3y＝1的解，故此选项符合题意；故选D.
8．我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银．”(1斤等于10两)其大意是听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问：共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为( D )
A． B．
C． D．
9．小亮解方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★＝__－2__．
10．我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何．”其大意是今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱．现用30钱，买2斗酒．问：醇酒、行酒各能买多少？设买醇酒x斗，买行酒y斗，根据题意可列方程组为____．
11．若是二元一次方程4x－3y＝10的一组解，求m的值．
把代入4x－3y＝10，
得4(3m＋1)－3(2m－2)＝10，
解得m＝0.
12．若是方程ax＋y＝9的一组解，求出此方程的所有正整数解．
把代入方程ax＋y＝9，得3a＋0＝9，所以a＝3，所以3x＋y＝9，移项得y＝9－3x，将x＝1，2分别代入y＝9－3x中，得y＝6，3.
当x＝3时，y＝9－3×3＝0，不合题意，所以原方程的正整数解是
13．小明给小刚出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组中第1个方程y的系数遮住，第2个方程x的系数遮住，并且告诉你是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”
把代入①，得2×2＋□×1＝3，解得y的系数为－1，把代入②，得□×2＋1＝3，解得x的系数为1，
所以原方程组为
14.(应用意识)某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内计划插播长度为15秒和30秒的两种广告.15秒的广告每播一次收费0.6万元，30秒的广告每播一次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，则：
(1)两种广告播放的次数有几种安排方式？
(2)电视台选择哪种方式播放收益最大？
(1)设15秒的广告播放x次、30秒的广告播放y次，根据题意得15x＋30y＝120，即x＋2y＝8.因为x、y均为不小于2的正整数，所以或即有两种安排方式．
(2)当x＝4，y＝2时，收益是0.6×4＋1×2＝4.4(万元).
当x＝2，y＝3时，收益是0.6×2＋1×3＝4.2(万元).所以选择播放15秒的广告四次，30秒的广告两次的方式收益最大．
