6．2 二元一次方程组的解法
第1课时 代入法解二元一次方程组
1．消元思想：二元一次方程组中有两个__ __，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数．这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
2．通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为__ __来解的，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
考点1 代入法解简单的二元一次方程组中的初步变形
【典例1】把方程2x－y＝4改写成用含x的式子表示y的形式正确的是( )
A．y＝2x－4 B．x＝y＋2
C．y＝2x＋4 D．x＝y－2
了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y.
【变式训练】
1．把2x＋y－5＝0改写成用含有x的代数式表示y的形式，下列选项正确的是( )
A．y＝－2x＋5 B．y＝2x－5
C．x＝ D．x＝－2y＋10
考点2 代入法解二元一次方程组
【典例2】解方程组时，把①代入②，得( )
A．4(2x－1)－3y＝12
B．4x－(2x－1)＝12
C．4x－3×2x－1＝12
D．4x－3(2x－1)＝12
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或－1)的方程，则选择系数为1(或－1)的方程进行变形比较简便．
【变式训练】
2．若方程组用代入法消去x，所得关于y的一元一次方程为( )
A．3－2y－1－4y＝2 B．3(1－2y)－4y＝2
C．3(2y－1)－4y＝2 D．3－2y－4y＝2
知识点 代入法解二元一次方程组
1．(海南海口美兰区月考)把2x－3y＝1变形成用x表示y的形式为( )
A．y＝ B．y＝
C．x＝ D．x＝
2．(海南定安县期末)用代入法解方程组时，代入正确的是( )
A．x－2－x＝4 B．x－2－2x＝4
C．x－2＋2x＝4 D．x－2＋x＝4
3．用代入法解方程组下面四个选项中正确的是( )
A．由②得t＝，再代入①
B．由②得s＝，再代入①
C．由①得t＝1－2s，再代入②
D．由①得s＝，再代入②
4．关于x、y的方程组的解中y＝0，则a的取值为( )
A．a＝4 B．a>4
C．a＜4 D．a＝－6
5．用代入法解方程组较简便的步骤是：先把方程__ __变形为__ __，再代入方程__ __，求得__ __的值，然后再求__ __的值．
6．已知方程2x＋3y－4＝0，用含x的代数式表示y为__ __；用含y的代数式表示x为__ __．
7．用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
易错易混点 多项式参与运算时，变号出现失误
8．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是( )
A．2x－3x－6＝4 B．2x＋3x－2＝4
C．2x－3x＋6＝4 D．2x＋3x－6＝4
9．如果|x＋y－1|和2(2x＋y－3)2互为相反数，那么x，y的值为( )
A． B．
C． D．
10．(海南东方月考)已知y＝kx＋b，当x＝0时，y＝2；当x＝2时，y＝0，则k等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
11. 已知方程组则3(x＋y)－(3x－5y)的值是__ __．
12．已知方程组中未知数x、y的和等于2.求m的值．
13．方程组中，如果是它的一组解，求3(a－b)－a2的值．
14.(创新意识)先阅读，然后解方程组．
解方程组时，可由①得x－y＝1③，然后将③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1，从而进一步解得x＝0，这种方法被称为“整体代入法”．
请用这样的方法解下面的方程组：
第2课时 加减法解二元一次方程组
1．两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个__ __，这种方法叫做__ __，简称加减法．
2．解二元一次方程组的基本思想(一般思路)是消元，消元的方法有两种：__ __和__ __，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．
考点1 加减法解二元一次方程组
【典例1】解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为( )
A．①×2＋②×3 B．①×2－②×3
C．①×3－②×2 D．①×3＋②×2
如果两个方程中未知数的系数的绝对值不相等，但某一未知数的系数成整数倍，可将一个方程的系数进行变化，使这个未知数的系数的绝对值相等．
【变式训练】
1．用加减法解方程组下列解法正确的是( )
A．①×3＋②×2消去x
B．①×3－②×2消去y
C．①×2＋②×3消去y
D．①×2＋②×3消去x
考点2 选择合适的方法解二元一次方程组
【典例2】解方程组时，下列消元方法不正确的是( )
A．①×3－②×2，消去a
B．②×2－①，消去b
C．①＋②×2，消去b
D．由②，得b＝4－3a③，把③代入①中消去b
解方程组时，我们应根据方程组中未知数的系数的特点，通过将两个方程相加或相减，把原方程组转化为更简单的方程组来解，必要的时候观察方程特点可以再次运用代入法．
【变式训练】
2．以下解方程组的步骤正确的是( )
A．代入法消去m，由①得m＝2－n
B．代入法消去n，由②得n＝2m－5
C．加减法消去n，①＋②得3m＝－3
D．加减法消去m，①×2－②得－3n＝－1
知识点 加减法解二元一次方程组
1．(海南海口美兰区期末)方程组的解是( )
A． B．
C． D．
2．(海南海口期中)若则x＋y的值是( )
A．－5 B．5
C．－4 D．4
3．用加减消元法解方程组下列做法正确的是( )
A．要消去x，可以将①×5＋②×2
B．要消去y，可以将①×5－②×3
C．要消去x，可以将①×5－②×2
D．要消去y，可以将①×2－②×3
4．用加减消元法解方程组时，下列方法中无法消元的是( )
A．①×2－② B．②×(－3)－①
C．①×(－2)＋② D．①－②×3
5．方程组的解为__ __
6．方程组的解是__ __
7．用加减法解下列方程组：
(1)
(2)
易错易混点 运算能力、数学思想运用不熟练致错
8．已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当m＝1时，方程组的解也是x＋y＝2m＋1的解；
②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；
③x，y均为正整数的解只有1对；
④若2x＋y＝8，则m＝2.正确的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①③④
9．若|a＋b－5|＋(a－2b＋4)2＝0，则(a－b)2 021的值为( )
A．－1 B．1 C．－22 021 D．22 021
10．在等式y＝kx＋b中，当x＝2时，y＝－4；当x＝－2时，y＝8，则这个等式是( )
A．y＝3x＋2 B．y＝－3x＋2
C．y＝3x－2 D．y＝－3x－2
11．(海南文昌期末)若|x＋y－4|＋(2x－y＋7)2＝0，则x＝__ __，y＝__ __．
12．已知x，y满足方程组则x＋y的值为__ __．
13．(海南月考)对于有理数x、y，定义新运算x*y＝Ax＋By－3，其中A、B是已知数，已知1*2＝9，(－3)*3＝6，则3*(－4)的值为__ __．
14．解方程组：
(1)
(2)
15．如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…、方程组n.
(1)将方程组1的解填入图中；
(2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中；
(3)若方程组的解是求m的值，并判断该方程组是否符合(2)中的规律．
16.(创新意识)阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了—种“整体代换”的解法．
解：将②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5.③
将①代入③，得2×3＋y＝5，即y＝－1.
把y＝－1代入①，得x＝4.
所以方程组的解为
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组
(2)已知x、y满足方程组求xy的值．
第3课时 列二元一次方程组解应用题
1．列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的__ __关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的__ __要统一；③方程两边的数要__ __．
2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个__ __；
列：列出方程组(分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组)；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
3．常见的一些等量关系：
(1)和差倍分问题：增长量＝原有量×__ __，较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量．
(2)产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例．
(3)工程问题：工作量＝__ __×__ __，各部分劳动量之和＝总量．
(4)利润问题：商品利润＝__ __－__ __，利润率＝×100%.
考点1 形积问题
【典例1】如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，则大长方形的面积是( )
A．6 400 B．6 750 C．6 700 D．6 800
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
【变式训练】
1．如图所示，周长为34的长方形ABCD被分成7个大小完全一样的小长方形，则每个小长方形的面积为( )
A．30 B．20
C．10 D．14
考点2 配套问题
【典例2】某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( )
A．6 B．8 C．12 D．16
生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等．各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键．
【变式训练】
2．用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套？
知识点 列二元一次方程组解应用题
1．为响应“科教兴国”的战略号召，学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人，已知购买1架航拍无人机和1个编程机器人需要746元，1架航拍无人机价格的比1个编程机器人价格的3倍少75元．设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为( )
A． B．
C． D．
2．(海南海口龙华区期中)我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马价x两，牛价y两，可列方程组为( )
A． B．
C． D．
3．(海南澄迈县月考)买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支．若设买钢笔x支，铅笔y支，根据题意，可得方程组( )
A． B．
C． D．
4．如图，在长为20 m，宽为16 m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向修建三个相同的小长方形花圃，则每个小长方形的面积是( )
A．24 m2 B．32 m2
C．40 m2 D．48 m2
5．美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量比国画作品数量的2倍多7幅，则展出的油画作品有__ __幅．
6．被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342 km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36 km.求隧道累计长度与桥梁累计长度．
7．在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土．已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米，3辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土36立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米？
8．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重 16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为( )
A． B．
C． D．
9．五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客52人．则1艘大船与1艘小船一次满载游客的人数共为( )
A．32 B．30 C．28 D．26
10．(海南海口期末)利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是__ __cm.
11．如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD的面积是__ __cm2.
12．在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余12 000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年结余比去年多11 400元．
(1)今年结余__ _ __元；
(2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为__ __元，支出为__ __元；(以上两空用含x、y的代数式表示)
(3)列出关于x、y的方程组．
13．某种商品A的零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折优惠后，再让利40元销售，仍可获利10%.
(1)这种商品A的进价为多少元？
(2)现有另一种商品B进价为600元，每件商品B也可获利10%.对商品A和B共进货100件，要使这100件商品共获纯利6 670元，则需对商品A、B分别进货多少件？
14．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”，格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6.
(1)图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝__ __，N＝__ __，L＝__ __；
(2)经探究发现，任意格点多边形的面积S都可以表示为S＝aN＋bL－1，其中a、b为常数，结合图形试一试，求出a、b的值；
(3)当N＝5，L＝14时，直接写出S＝__ __．
15.(应用意识)某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4分钟内可以通过800名学生．
(1)问平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？
(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5分钟内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．6．2 二元一次方程组的解法
第1课时 代入法解二元一次方程组
1．消元思想：二元一次方程组中有两个__未知数__，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数．这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
2．通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为__一元一次方程__来解的，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
考点1 代入法解简单的二元一次方程组中的初步变形
【典例1】把方程2x－y＝4改写成用含x的式子表示y的形式正确的是( A )
A．y＝2x－4 B．x＝y＋2
C．y＝2x＋4 D．x＝y－2
解析：方程2x－y＝4，
移项，得－y＝－2x＋4，
解得y＝2x－4.故选A.
了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y.
【变式训练】
1．把2x＋y－5＝0改写成用含有x的代数式表示y的形式，下列选项正确的是( A )
A．y＝－2x＋5 B．y＝2x－5
C．x＝ D．x＝－2y＋10
考点2 代入法解二元一次方程组
【典例2】解方程组时，把①代入②，得( D )
A．4(2x－1)－3y＝12
B．4x－(2x－1)＝12
C．4x－3×2x－1＝12
D．4x－3(2x－1)＝12
解析：解方程组时，把①代入②，得4x－3(2x－1)＝12.故选D.
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或－1)的方程，则选择系数为1(或－1)的方程进行变形比较简便．
【变式训练】
2．若方程组用代入法消去x，所得关于y的一元一次方程为( C )
A．3－2y－1－4y＝2 B．3(1－2y)－4y＝2
C．3(2y－1)－4y＝2 D．3－2y－4y＝2
将②代入①，得3(2y－1)－4y＝2.故选C.
知识点 代入法解二元一次方程组
1．(海南海口美兰区月考)把2x－3y＝1变形成用x表示y的形式为( A )
A．y＝ B．y＝
C．x＝ D．x＝
2．(海南定安县期末)用代入法解方程组时，代入正确的是( C )
A．x－2－x＝4 B．x－2－2x＝4
C．x－2＋2x＝4 D．x－2＋x＝4
把①代入②，
得x－2(1－x)＝4，
去括号，得x－2＋2x＝4.故选C.
3．用代入法解方程组下面四个选项中正确的是( C )
A．由②得t＝，再代入①
B．由②得s＝，再代入①
C．由①得t＝1－2s，再代入②
D．由①得s＝，再代入②
4．关于x、y的方程组的解中y＝0，则a的取值为( A )
A．a＝4 B．a>4
C．a＜4 D．a＝－6
5．用代入法解方程组较简便的步骤是：先把方程__①__变形为__x＝10－3y__，再代入方程__②__，求得__y__的值，然后再求__x__的值．
6．已知方程2x＋3y－4＝0，用含x的代数式表示y为__y＝__；用含y的代数式表示x为__x＝__．
7．用代入法解下列方程组：
(1)
(2)
(3)
(1)把①代入②，得7x＋5(x＋3)＝9，解这个方程，得x＝－，把x＝－代入①，得y＝，
所以原方程组的解是
(2)由①得x＝5－y，③
把③代入②，得3(5－y)－2y＝－5，解得y＝4，
把y＝4代入③，得x＝5－4＝1，
所以原方程组的解是
(3)由①得x＝4－2y，代入②得3(4－2y)－4y＝2，
解得y＝1，把y＝1代入x＝4－2y，得x＝2，
所以原方程组的解是
易错易混点 多项式参与运算时，变号出现失误
8．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是( D )
A．2x－3x－6＝4 B．2x＋3x－2＝4
C．2x－3x＋6＝4 D．2x＋3x－6＝4
9．如果|x＋y－1|和2(2x＋y－3)2互为相反数，那么x，y的值为( C )
A． B．
C． D．
10．(海南东方月考)已知y＝kx＋b，当x＝0时，y＝2；当x＝2时，y＝0，则k等于( A )
A．－1 B．0 C．1 D．2
11. 已知方程组则3(x＋y)－(3x－5y)的值是__24__．
把x＋y＝7，3x－5y＝－3代入3(x＋y)－(3x－5y)，得3×7－(－3)＝21＋3＝24.
12．已知方程组中未知数x、y的和等于2.求m的值．
由题意，得解得
将x＝2，y＝0代入x＋2y＝m＋1，得m＋1＝2，解得m＝1.
13．方程组中，如果是它的一组解，求3(a－b)－a2的值．
把代入方程组
得解这个方程组，得所以原式＝－4.
14.(创新意识)先阅读，然后解方程组．
解方程组时，可由①得x－y＝1③，然后将③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1，从而进一步解得x＝0，这种方法被称为“整体代入法”．
请用这样的方法解下面的方程组：
由①得2x－3y＝2③，
把③代入②，得＋2y＝9，解得y＝4.把y＝4代入①，得2x－3×4－2＝0，解得x＝7.所以这个方程组的解为
第2课时 加减法解二元一次方程组
1．两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个__一元一次方程__，这种方法叫做__加减消元法__，简称加减法．
2．解二元一次方程组的基本思想(一般思路)是消元，消元的方法有两种：__代入消元__和__加减消元__，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．
考点1 加减法解二元一次方程组
【典例1】解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为( C )
A．①×2＋②×3 B．①×2－②×3
C．①×3－②×2 D．①×3＋②×2
解析：①×3，得6x＋9y＝24③，
②×2，得6x－4y＝－2④，
③－④，得(6x＋9y)－(6x－4y)＝24－(－2)，
即变形的思路是①×3－②×2，故选C.
如果两个方程中未知数的系数的绝对值不相等，但某一未知数的系数成整数倍，可将一个方程的系数进行变化，使这个未知数的系数的绝对值相等．
【变式训练】
1．用加减法解方程组下列解法正确的是( B )
A．①×3＋②×2消去x
B．①×3－②×2消去y
C．①×2＋②×3消去y
D．①×2＋②×3消去x
考点2 选择合适的方法解二元一次方程组
【典例2】解方程组时，下列消元方法不正确的是( C )
A．①×3－②×2，消去a
B．②×2－①，消去b
C．①＋②×2，消去b
D．由②，得b＝4－3a③，把③代入①中消去b
解析：A.①×3－②×2，使两个方程中含有a的项的系数相同，相减即可消去a，因此选项A不符合题意；B.②×2－①，使两个方程中含有b的项的系数相同，相减即可消去b，因此选项B不符合题意；C.①＋②×2，使两个方程中含有b的项的系数相同，相加不能消去b，因此选项C符合题意；D.由②，得b＝4－3a③，把③代入①中消去b，是利用的代入消元法，因此选项D不符合题意．故选C.
解方程组时，我们应根据方程组中未知数的系数的特点，通过将两个方程相加或相减，把原方程组转化为更简单的方程组来解，必要的时候观察方程特点可以再次运用代入法．
【变式训练】
2．以下解方程组的步骤正确的是( C )
A．代入法消去m，由①得m＝2－n
B．代入法消去n，由②得n＝2m－5
C．加减法消去n，①＋②得3m＝－3
D．加减法消去m，①×2－②得－3n＝－1
知识点 加减法解二元一次方程组
1．(海南海口美兰区期末)方程组的解是( C )
A． B．
C． D．
2．(海南海口期中)若则x＋y的值是( B )
A．－5 B．5
C．－4 D．4
3．用加减消元法解方程组下列做法正确的是( C )
A．要消去x，可以将①×5＋②×2
B．要消去y，可以将①×5－②×3
C．要消去x，可以将①×5－②×2
D．要消去y，可以将①×2－②×3
4．用加减消元法解方程组时，下列方法中无法消元的是( D )
A．①×2－② B．②×(－3)－①
C．①×(－2)＋② D．①－②×3
5．方程组的解为____
6．方程组的解是____
7．用加减法解下列方程组：
(1)
(2)
(1)①×2得6x－2y＝10③，②＋③得11x＝33，解得x＝3.把x＝3代入①，得y＝4.所以原方程组的解为
(2)①×6得3x－2y－2＝6，即3x－2y＝8③，②＋③得6x＝18，解得x＝3.②－③得4y＝2，解得y＝，所以原方程组的解为
易错易混点 运算能力、数学思想运用不熟练致错
8．已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当m＝1时，方程组的解也是x＋y＝2m＋1的解；
②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；
③x，y均为正整数的解只有1对；
④若2x＋y＝8，则m＝2.正确的是( C )
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①③④
①当m＝1时，关于x，y的方程组为解得
所以x＋y＝3，当m＝1时，x＋y＝2m＋1＝3，
所以当m＝1时，方程组的解也是x＋y＝2m＋1的解，正确；
②ⅰ－ⅱ，得3y＝6－6m，解得y＝2－2m，把y＝2－2m代入(ⅱ)，
得x＝2m＋1，
所以x＋y＝2m＋1＋2－2m＝3，
所以无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数，正确；
③由②得x＋y＝3，
所以原方程组的正整数解是共2对，错误；
④①＋②得，2x＋y＝4＋2m，因为2x＋y＝8，所以4＋2m＝8，解得m＝2，正确；所以正确的有①②④，故选C.
9．若|a＋b－5|＋(a－2b＋4)2＝0，则(a－b)2 021的值为( A )
A．－1 B．1 C．－22 021 D．22 021
因为|a＋b－5|＋(a－2b＋4)2＝0，
所以
①－②得3b＝9，解得b＝3，把b＝3代入①，解得a＝2，
所以原方程组的解是
所以(a－b)2 021＝(2－3)2 021＝－1.
10．在等式y＝kx＋b中，当x＝2时，y＝－4；当x＝－2时，y＝8，则这个等式是( B )
A．y＝3x＋2 B．y＝－3x＋2
C．y＝3x－2 D．y＝－3x－2
分别把当x＝2时，y＝－4，当x＝－2时，y＝8代入等式y＝kx＋b，得①－②，得4k＝－12，解得k＝－3，把k＝－3代入①，得－4＝－3×2＋b，解得b＝2，分别把k＝－3，b＝2代入等式y＝kx＋b，得y＝－3x＋2.
11．(海南文昌期末)若|x＋y－4|＋(2x－y＋7)2＝0，则x＝__－1__，y＝__5__．
因为|x＋y－4|＋(2x－y＋7)2＝0，
所以①＋②，得3x＋3＝0，
解得x＝－1，把x＝－1代入①，得y＝5，
所以方程组的解为故答案为－1；5.
12．已知x，y满足方程组则x＋y的值为____．
②－①，得3x＋3y＝1.所以x＋y＝.
故答案为.
13．(海南月考)对于有理数x、y，定义新运算x*y＝Ax＋By－3，其中A、B是已知数，已知1*2＝9，(－3)*3＝6，则3*(－4)的值为__－17__．
根据题中的新定义，得
即①＋②，得3B＝15，解得B＝5，
把B＝5代入②，得A＝2，则原式＝3×2－4×5－3＝6－20－3＝－17，故答案为－17.
14．解方程组：
(1)
(2)
(1)
①×3，得3x－3y＝9③，
③＋②，得5x＝10，
解得x＝2，把x＝2代入①，得2－y＝3，解得y＝－1，
所以原方程组的解为
(2)将原方程组化简整理，得
①－②，得3y＝15，解得y＝5，
把y＝5代入①，得x－5＝3，解得x＝8，
所以原方程组的解为
15．如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…、方程组n.
(1)将方程组1的解填入图中；
(2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中；
(3)若方程组的解是求m的值，并判断该方程组是否符合(2)中的规律．
(1)①＋②，得2x＝2，所以x＝1，把x＝1代入①，得y＝0，所以
(2)
(3)由题意得10＋9m＝16，解得m＝，该方程组为它不符合(2)中的规律．
16.(创新意识)阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了—种“整体代换”的解法．
解：将②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5.③
将①代入③，得2×3＋y＝5，即y＝－1.
把y＝－1代入①，得x＝4.
所以方程组的解为
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组
(2)已知x、y满足方程组求xy的值．
(1)
将②变形为6x＋10y＋y＝35，即2(3x＋5y)＋y＝35③，
将①代入③，得2×16＋y＝35，解得y＝3，
把y＝3代入①，得x＝，
故原方程组的解是
(2)原方程组可化为
将①代入②，得72＋7xy＝51，
解得xy＝－3.
第3课时 列二元一次方程组解应用题
1．列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的__等量__关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的__单位__要统一；③方程两边的数要__相等__．
2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个__未知数__；
列：列出方程组(分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组)；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
3．常见的一些等量关系：
(1)和差倍分问题：增长量＝原有量×__增长率__，较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量．
(2)产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例．
(3)工程问题：工作量＝__工作效率__×__工作时间__，各部分劳动量之和＝总量．
(4)利润问题：商品利润＝__商品售价__－__商品进价__，利润率＝×100%.
考点1 形积问题
【典例1】如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，则大长方形的面积是( B )
A．6 400 B．6 750 C．6 700 D．6 800
解析：设小长方形的长为x，宽为y，由图形知，
解得则大长方形的长为2x＝90，
所以大长方形的面积为90×75＝6 750，故选B.
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
【变式训练】
1．如图所示，周长为34的长方形ABCD被分成7个大小完全一样的小长方形，则每个小长方形的面积为( C )
A．30 B．20
C．10 D．14
设小长方形的长为x、宽为y，则解得
由xy＝10可知每个小长方形的面积为10.故选C.
考点2 配套问题
【典例2】某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( C )
A．6 B．8 C．12 D．16
解析：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，由题意，得解得
∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12.故选C.
生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等．各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键．
【变式训练】
2．用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒．问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套？
设用x张铁皮制盒身，则用(150－x)张铁皮制盒底，
根据题意，得解得
答：用90张铁皮制盒身，60张铁皮制盒底，使得制成的盒身和盒底恰好配套．
知识点 列二元一次方程组解应用题
1．为响应“科教兴国”的战略号召，学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人，已知购买1架航拍无人机和1个编程机器人需要746元，1架航拍无人机价格的比1个编程机器人价格的3倍少75元．设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为( A )
A． B．
C． D．
2．(海南海口龙华区期中)我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马价x两，牛价y两，可列方程组为( A )
A． B．
C． D．
3．(海南澄迈县月考)买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支．若设买钢笔x支，铅笔y支，根据题意，可得方程组( D )
A． B．
C． D．
4．如图，在长为20 m，宽为16 m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向修建三个相同的小长方形花圃，则每个小长方形的面积是( B )
A．24 m2 B．32 m2
C．40 m2 D．48 m2
5．美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量比国画作品数量的2倍多7幅，则展出的油画作品有__69__幅．
6．被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342 km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36 km.求隧道累计长度与桥梁累计长度．
设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km，
根据题意，得解得
答：隧道累计长度为126 km，桥梁累计长度为216 km.
7．在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土．已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米，3辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土36立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米？
设甲种车辆一次可运土x立方米，乙种车辆一次可运土y立方米，由题意，得解得
答：甲种车辆一次可运土8立方米，乙种车辆一次可运土12立方米．
8．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重 16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为( B )
A． B．
C． D．
9．五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客52人．则1艘大船与1艘小船一次满载游客的人数共为( C )
A．32 B．30 C．28 D．26
设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，
依题意，得解得
所以x＋y＝24＋4＝28，即1艘大船与1艘小船一次满载游客的人数共为28.
10．(海南海口期末)利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是__75__cm.
设桌子的高度是x cm，长方体木块截面的长比宽多y cm，依题意，得解得
所以桌子的高度是75 cm.故答案为75.
11．如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD的面积是__140__cm2.
设小长方形的长为x cm、宽为y cm，
依题意，得解得
所以大长方形ABCD的面积＝14×(6＋2y)＝14×(6＋2×2)＝14×(6＋4)＝14×10＝140(cm2).
12．在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余12 000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年结余比去年多11 400元．
(1)今年结余__23_400__元；
(2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为__1.2x__元，支出为__0.9y__元；(以上两空用含x、y的代数式表示)
(3)列出关于x、y的方程组．
(3)由题意，可得
13．某种商品A的零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折优惠后，再让利40元销售，仍可获利10%.
(1)这种商品A的进价为多少元？
(2)现有另一种商品B进价为600元，每件商品B也可获利10%.对商品A和B共进货100件，要使这100件商品共获纯利6 670元，则需对商品A、B分别进货多少件？
(1)设这种商品A的进价为每件a元，由题意，得(1＋10%)a＝900×90%－40，解得a＝700，
答：这种商品A的进价为700元．
(2)设需对商品A进货x件，需对商品B进货y件，
根据题意，得
解得
答：需对商品A进货67件，需对商品B进货33件．
14．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”，格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6.
(1)图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝__7__，N＝__3__，L＝__10__；
(2)经探究发现，任意格点多边形的面积S都可以表示为S＝aN＋bL－1，其中a、b为常数，结合图形试一试，求出a、b的值；
(3)当N＝5，L＝14时，直接写出S＝__11__．
(1)观察图形，可得S＝7，N＝3，L＝10；
故答案为7，3，10.
(2)根据题意，得解得
(3)因为S＝N＋L－1，
所以将N＝5，L＝14代入可得S＝5＋14×－1＝11.
故答案为11.
15.(应用意识)某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4分钟内可以通过800名学生．
(1)问平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？
(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5分钟内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．
(1)设一个正门平均每分钟通过x名学生，一个侧门平均每分钟通过y名学生，由题意，得
解得
答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生．
(2)由题意，得
共有学生45×10×4＝1 800(名)，
1 800名学生通过的时间为：
1 800÷[(120＋80)×0.8×2]＝(分钟).
因为5＜，所以该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．
