7．1 认识不等式
第1课时 不等式
1．一般地，用不等号“＜”“＞”或“≤”“≥”表示不等关系的式子，叫做__ __．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
2．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的__ __．
考点1 不等式的概念
【典例1】下列式子：①3x＋4＜0；②y＝3；③5x＋3＜y；④x＋2y，其中是不等式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＜、＞、≤、≥、≠.
【变式训练】
1．下列数学表达式中：①－2＜0，②2x＋3y≥0，③x＝2，④x2＋2xy＋y2，⑤m≠4，⑥a＋1＞3，不等式有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点2 不等式的解
【典例2】下列是不等式5x－3＜6的一个解的是( )
A．1 B． C．2 D．3
不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的，将数值代入不等式，若不等式依然成立，则该数值为不等式的解．
【变式训练】
2．3是下列哪个不等式的解( )
A．x＋3＞0 B．x＋3＜0
C．x－3＞0 D．x－5＞0
知识点1 不等式的概念
1．(海南海口龙华区月考)下列各式中，不是不等式的是( )
A．x≥3 B．x＜－5
C．x＝－1 D．x≠－3
2．(海南海口龙华区期中)据省气象台报道，明天的最低气温是31 ℃，最高气温是36 ℃，那么明天气温t(℃)的范围是( )
A．t＜31 B．31＜t＜36
C．31≤t≤36 D．t＞36
3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x(m)的范围可表示为( )
A．x≥4.5
B．x＞4.5
C．x≤4.5
D．0＜x≤4.5
4．用不等号填空：
(1)－2__ __6；
(2)－|－8|__ __|－9.8|；
(3)－4__ __－3.5；
(2)2×(－3)__ __10×(－3).
5．用不等式表示：
(1)x的5倍大于－3；
(2)x的与－5的和小于1；
(3)y的4倍与9的和不是正数．
知识点2 不等式的解
6．(海南模拟)在下列所表示的不等式的解集中，不包括－5的是( )
A．x≤－4 B．x≥－5
C．x≤－6 D．x≥－7
7．下列各数中，哪些是不等式2x－1＞1的解？哪些是不等式x＋13＜12的解？
－9、2、－0.4、6、0、－5、、5.1.
易错易混点 运算能力不足，导致比较大小关系出错
8．若x＝3是某个一元一次不等式的一个解，则这个一元一次不等式可能是( )
A．2x－1≤3
B．－3x＋1≥4
C．6x＋2＞11x－3
D．－x＋4＜1＋x
9．某日我市最高气温是25 ℃，最低气温是12 ℃，则当天气温t(℃)的变化范围是( )
A．t＜25 B．t≥12
C．12≤t≤25 D．12＜t＜25
10．下列说法错误的是( )
A．x＝0是不等式2x＜3的一个解
B．不等式x＜3的整数解有无数个
C．－4不是不等式－2x＜8的解
D．不等式x＜0的整数解是0
11．已知x≥5的最小值为a，x≤－7的最大值为b，则ab＝__ __．
12．某种药品的说明书上贴有如下的标签，若将一次服用该药品的剂量设为x mg，则x的取值范围是__ __.
用法用量：口服，每天30～120 mg，分3～4次服用
规格：□□□□
贮藏：□□□□
13．地摊经济成为近期的大众话题之一．张美丽紧跟潮流，下班后去摆地摊．她将在某App花200元秒杀的一件羊绒大衣加价50%后进行标价，如果按不低于5%的利润率进行打折销售，那么这件大衣最低可以打几折销售？设这件大衣打x折，则可列不等式为__ __．
14．用不等式表示下列实际问题中的数量关系.
(1)今年的总收益a万元不足5万元；
(2)小孟今天做了20道题，做对了x道，则x与20的关系；
(3)一个旅游团有x人，包了某宾馆的一层楼的住房，这层楼共20间房间，每间房间可住4人，结果未住满；
(4)小琪在2小时内赶到了目的地，设用时为x小时．
15．比较下面算式结果的大小(在横线上选填“＞”“＜”或“＝”)：
42＋32__ __2×4×3；
(－2)2＋12__ __2×(－2)×1；
62＋72__ __2×6×7；
22＋22__ __2×2×2.
通过观察、归纳，写出能反映这种规律的一般结论．
16.(应用意识)用两根长度均为a cm的绳子，分别围成一个正方形和一个圆．
(1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么a应满足怎样的关系式？
(2)如果要使圆的面积大于100 cm2，那么a应满足怎样的关系式？
(3)当a＝8时，正方形的面积和圆的面积哪个大？当a＝12时呢？
(4)通过(3)你能得到什么猜想？
第2课时 不等式的解集
1．对于一个含有未知数的不等式，它的所有__ __组成这个不等式的解集．
2．一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．
3．不等式的__ __可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
考点 不等式的解集在数轴上的表示
【典例】(重庆南岸区期中)若不等式的解集为x＞－1，则以下数轴表示中正确的是( )
用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左．
【变式训练】
数轴上表示的不等式的解集正确的是( )
A．x≥2 B．x＞2
C．x≤2 D．x＜2
知识点1 不等式的解集
1．在下列所表示的不等式的解集中，不包括－5的是( )
A．x≤－4 B．x≥－5
C．x≤－6 D．x≥－7
2．请写出一个解集为a＜－1的不等式__ __．
知识点2 用数轴表示不等式的解集
3．(海南海口秀英区期中)不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是( )
A．
B．
C．
D．
4．不等式x≥2在数轴上表示正确的是( )
5．不等式x＞0的解集在数轴上表示的是( )
A．一条线段
B．整个数轴
C．除原点外向右的一条射线
D．一条射线
6．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是__ __．
7．请用不等式表示如图所示的解集．
(1)
(2)
(3)
(4)
易错易混点 混淆“解”与“解集”的概念致错
8．下列说法中，正确的是( )
A．x＝1是不等式3x＞5的解
B．x＝2是不等式3x＞5的唯一解
C．x＝2是不等式3x＞5的解集
D．x＝2是不等式3x＞5的一个解
9．(海南三亚海棠区期末)如图，数轴上所表示的是哪一个不等式的解集( )
A．2x≥－2 B．2x≤－2
C．x＋1＞0 D．x＋1＜0
10．若一个不等式的正整数解为1、2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的( )
11．如图，用不等式表示公共部分x的范围为__ __.
12. 将下列不等式的解集在数轴上表示出来．
(1)x≤3；
(2)x＞2.5；
(3)大于－2且不超过3的数．
13. 两个不等式的解集分别是x＜4和x≥4，分别在数轴上表示出来，并指出它们的区别.
14.(应用意识)在数轴上画出下列解集：x≥1且x≠2.7．1 认识不等式
第1课时 不等式
1．一般地，用不等号“＜”“＞”或“≤”“≥”表示不等关系的式子，叫做__不等式__．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
2．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的__解__．
考点1 不等式的概念
【典例1】下列式子：①3x＋4＜0；②y＝3；③5x＋3＜y；④x＋2y，其中是不等式的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以：①3x＋4＜0，③5x＋3＜y为不等式，共有2个．故选B.
一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＜、＞、≤、≥、≠.
【变式训练】
1．下列数学表达式中：①－2＜0，②2x＋3y≥0，③x＝2，④x2＋2xy＋y2，⑤m≠4，⑥a＋1＞3，不等式有( A )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点2 不等式的解
【典例2】下列是不等式5x－3＜6的一个解的是( A )
A．1 B． C．2 D．3
解析：5x－3＜6，5x＜9，x＜，
∵1＜＜2＜3，
∴1是不等式5x－3＜6的一个解，故选A.
不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的，将数值代入不等式，若不等式依然成立，则该数值为不等式的解．
【变式训练】
2．3是下列哪个不等式的解( A )
A．x＋3＞0 B．x＋3＜0
C．x－3＞0 D．x－5＞0
知识点1 不等式的概念
1．(海南海口龙华区月考)下列各式中，不是不等式的是( C )
A．x≥3 B．x＜－5
C．x＝－1 D．x≠－3
2．(海南海口龙华区期中)据省气象台报道，明天的最低气温是31 ℃，最高气温是36 ℃，那么明天气温t(℃)的范围是( C )
A．t＜31 B．31＜t＜36
C．31≤t≤36 D．t＞36
3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x(m)的范围可表示为( D )
A．x≥4.5
B．x＞4.5
C．x≤4.5
D．0＜x≤4.5
4．用不等号填空：
(1)－2__＜__6；
(2)－|－8|__＜__|－9.8|；
(3)－4__＜__－3.5；
(2)2×(－3)__＞__10×(－3).
5．用不等式表示：
(1)x的5倍大于－3；
(2)x的与－5的和小于1；
(3)y的4倍与9的和不是正数．
(1)5x＞－3；(2)x－5＜1；(3)4y＋9≤0.
知识点2 不等式的解
6．(海南模拟)在下列所表示的不等式的解集中，不包括－5的是( C )
A．x≤－4 B．x≥－5
C．x≤－6 D．x≥－7
7．下列各数中，哪些是不等式2x－1＞1的解？哪些是不等式x＋13＜12的解？
－9、2、－0.4、6、0、－5、、5.1.
2，6，5.1是不等式2x－1＞1的解；－9，－5是不等式x＋13＜12的解．
易错易混点 运算能力不足，导致比较大小关系出错
8．若x＝3是某个一元一次不等式的一个解，则这个一元一次不等式可能是( D )
A．2x－1≤3
B．－3x＋1≥4
C．6x＋2＞11x－3
D．－x＋4＜1＋x
A.解不等式2x－1≤3，得x≤2，因为3＞2，所以x＝3不是该一元一次不等式的一个解，故A不符合题意；
B．解不等式－3x＋1≥4，得x≤－1，
因为3＞－1，所以x＝3不是该一元一次不等式的一个解，故B不符合题意；
C．解不等式6x＋2＞11x－3，得x＜1，因为3＞1，所以x＝3不是该一元一次不等式的一个解，故C不符合题意；
D．解不等式－x＋4＜1＋x，得x＞1，因为3＞1，所以x＝3是该一元一次不等式的一个解，故D符合题意．故选D.
9．某日我市最高气温是25 ℃，最低气温是12 ℃，则当天气温t(℃)的变化范围是( C )
A．t＜25 B．t≥12
C．12≤t≤25 D．12＜t＜25
10．下列说法错误的是( D )
A．x＝0是不等式2x＜3的一个解
B．不等式x＜3的整数解有无数个
C．－4不是不等式－2x＜8的解
D．不等式x＜0的整数解是0
11．已知x≥5的最小值为a，x≤－7的最大值为b，则ab＝__－35__．
x≥5的最小值是a，则a＝5；x≤－7的最大值是b，则b＝－7.则ab＝5×(－7)＝－35.
12．某种药品的说明书上贴有如下的标签，若将一次服用该药品的剂量设为x mg，则x的取值范围是__7.5≤x≤40__.
用法用量：口服，每天30～120 mg，分3～4次服用
规格：□□□□
贮藏：□□□□
若每天服用3次，则所需剂量为10～40 mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为7.5～30 mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为7.5～40 mg之间，所以7.5≤x≤40.
故答案为7.5≤x≤40.
13．地摊经济成为近期的大众话题之一．张美丽紧跟潮流，下班后去摆地摊．她将在某App花200元秒杀的一件羊绒大衣加价50%后进行标价，如果按不低于5%的利润率进行打折销售，那么这件大衣最低可以打几折销售？设这件大衣打x折，则可列不等式为__200(1＋50%)×－200≥200×5%__．
14．用不等式表示下列实际问题中的数量关系.
(1)今年的总收益a万元不足5万元；
(2)小孟今天做了20道题，做对了x道，则x与20的关系；
(3)一个旅游团有x人，包了某宾馆的一层楼的住房，这层楼共20间房间，每间房间可住4人，结果未住满；
(4)小琪在2小时内赶到了目的地，设用时为x小时．
(1)a＜5；(2)x≤20；(3)x＜80；(4)x＜2.
15．比较下面算式结果的大小(在横线上选填“＞”“＜”或“＝”)：
42＋32__>__2×4×3；
(－2)2＋12__>__2×(－2)×1；
62＋72__>__2×6×7；
22＋22__＝__2×2×2.
通过观察、归纳，写出能反映这种规律的一般结论．
因为42＋32－2×4×3＝(4－3)2＞0，
所以42＋32＞2×4×3；
因为(－2)2＋12－2×(－2)×1＝(－2－1)2＞0，
所以(－2)2＋12＞2×(－2)×1；
因为62＋72－2×6×7＝(7－6)2＞0，
所以62＋72＞2×6×7；
因为22＋22－2×2×2＝(2－2)2＝0，
所以22＋22＝2×2×2.
结论：a2＋b2≥2ab.
16.(应用意识)用两根长度均为a cm的绳子，分别围成一个正方形和一个圆．
(1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么a应满足怎样的关系式？
(2)如果要使圆的面积大于100 cm2，那么a应满足怎样的关系式？
(3)当a＝8时，正方形的面积和圆的面积哪个大？当a＝12时呢？
(4)通过(3)你能得到什么猜想？
(1)要使正方形的面积不大于25 cm2，
则有()2≤25，即≤25.
(2)要使圆的面积大于100 cm2，则有π·()2＞100，即＞100.
(3)当a＝8时，正方形的面积为＝4(cm2)，圆的面积为≈5.1(cm2)，4＜5.1，此时圆的面积大；当a＝12时，正方形的面积为＝9(cm2)，圆的面积为≈11.5(cm2)，9＜11.5，此时还是圆的面积大．
(4)周长相同的正方形和圆，圆的面积大于正方形的面积．
第2课时 不等式的解集
1．对于一个含有未知数的不等式，它的所有__解__组成这个不等式的解集．
2．一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．
3．不等式的__解集__可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
考点 不等式的解集在数轴上的表示
【典例】(重庆南岸区期中)若不等式的解集为x＞－1，则以下数轴表示中正确的是( D )
解析：在数轴上表示x＞－1如下：
故选D.
用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左．
【变式训练】
数轴上表示的不等式的解集正确的是( C )
A．x≥2 B．x＞2
C．x≤2 D．x＜2
知识点1 不等式的解集
1．在下列所表示的不等式的解集中，不包括－5的是( C )
A．x≤－4 B．x≥－5
C．x≤－6 D．x≥－7
2．请写出一个解集为a＜－1的不等式__a＋1＜0(答案不唯一)__．
知识点2 用数轴表示不等式的解集
3．(海南海口秀英区期中)不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是( D )
A．
B．
C．
D．
4．不等式x≥2在数轴上表示正确的是( D )
5．不等式x＞0的解集在数轴上表示的是( C )
A．一条线段
B．整个数轴
C．除原点外向右的一条射线
D．一条射线
x＞0在数轴上可表示为．
由此可知不等式在数轴上表示的是以0为起点但不包含0的射线．
6．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是__x≤2__．
7．请用不等式表示如图所示的解集．
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)由数轴表示的不等式的解集，得x＜－1；
(2)由数轴表示的不等式的解集，得x≥1；
(3)由数轴表示的不等式的解集，得x≤－1；
(4)由数轴表示的不等式的解集，得x＞3.
易错易混点 混淆“解”与“解集”的概念致错
8．下列说法中，正确的是( D )
A．x＝1是不等式3x＞5的解
B．x＝2是不等式3x＞5的唯一解
C．x＝2是不等式3x＞5的解集
D．x＝2是不等式3x＞5的一个解
不等式3x＞5的解集为x＞，A.x＝1不是不等式3x＞5的解，故本选项错误；B.x＝2是不等式3x＞5的解，不是唯一解，故本选项错误；C.不等式3x＞5的解集是x＞，故本选项错误；D.x＝2是不等式3x＞5的一个解，故本选项正确．故选D.
9．(海南三亚海棠区期末)如图，数轴上所表示的是哪一个不等式的解集( A )
A．2x≥－2 B．2x≤－2
C．x＋1＞0 D．x＋1＜0
10．若一个不等式的正整数解为1、2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的( D )
11．如图，用不等式表示公共部分x的范围为__－3≤x＜2__.
由图示可看出，从－3出发向右画出的折线且表示－3的点是实心圆，表示x≥－3；从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x＜2.所以这个不等式为－3≤x＜2.
12. 将下列不等式的解集在数轴上表示出来．
(1)x≤3；
(2)x＞2.5；
(3)大于－2且不超过3的数．
如图：
13. 两个不等式的解集分别是x＜4和x≥4，分别在数轴上表示出来，并指出它们的区别.
如图，x＜4是空心圆圈，向左；x≥4是实心圆点，向右．
14.(应用意识)在数轴上画出下列解集：x≥1且x≠2.
x≥1且x≠2在数轴上表示如图所示：
