7．2 不等式的基本性质
1．基本性质1：不等式两边都加上(或都减去)同一个数，不等号的方向__不变__．
2．基本性质2：不等式两边都乘以(或都除以)同一个正数，不等号的方向__不变__．
3．基本性质3：不等式两边都乘以(或都除以)同一个负数，不等号的方向__改变__．
考点1 不等式的性质
【典例1】已知a＞b，下列不等式成立的是( C )
A．a＋2＞b＋3 B．－4a＞－4b
C．m－a＜m－b D．am＞bm
解析：A.∵a＞b，∴a＋2＞b＋2，不一定有a＋2＞b＋3，不符合题意；B.
∵a＞b，
∴－4a＜－4b，不符合题意；C.
∵a＞b，∴－a＜－b，
∴m－a＜m－b，符合题意；
D．∵a＞b，当m＝0时，am＝bm，
∴不符合题意，故选C.
“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
【变式训练】
1．已知a＞b，下列各式中，正确的是( C )
A．－2 024a＞－2 024b B．2 024a＜2 024b
C．a－2 024＞b－2 024 D．2 024－a＞2 024－b
考点2 利用不等式的性质解简单的不等式
【典例2】将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式．
(1)－x＞60；(2)－2x＋3＜3x＋2.
解：(1)－x＞60，不等式两边同时乘－，解得x＜－40.
(2)－2x＋3＜3x＋2，不等式两边同时减3x，得－5x＋3＜2，不等式两边同时减3，得－5x＜－1，不等式两边同时除以－5，得x＞.
利用不等式的性质进行简单变形，将其转化为“x＞a”或者“x＜a”的形式．
【变式训练】
2．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．(1)x－3＜－1；(2)－＞8.
(1)不等式两边同时加上3，得x＜－1＋3，即x＜2.(2)不等式两边都乘2，得－x＞8×2，不等式两边同时乘－1，得x＜－16.
知识点1 不等式的性质
1．(海南海口龙华区期中)若m＞n，则下列不等式中正确的是( B )
A．m－2＜n－2 B．1－2m＜1－2n
C．－m＞－n D．n－m＞0
2．(海南儋州开学)下列说法不正确的是( B )
A．若a＜b，则(m2＋1)a＜(m2＋1)b
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＜b，则3－2a＞3－2b
D．若ac2＜bc2，则a＜b
3．用不等号填空：若a__－；__>__；2a－1__<__2b－1.
因为a－b；
根据不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即不等式－a>－b两边同时除以5，不等号方向不变，所以－>－，>；
再根据不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变和不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变可得2a－1<2b－1.
知识点2 利用不等式的性质解简单的不等式
4．不等式1－2x＜3的解集为( C )
A．x＜－1 B．x＜1 C．x＞－1 D．x＞－2
5．不等式2x－4≤0的解集是__x≤2__．
6．利用不等式的性质解下列不等式．
(1)x－7＞26； (2)x＞50； (3)－4x＞3.
(1)根据不等式的性质1，两边都加上7，得x－7＋7＞26＋7，整理得x＞33.(2)根据不等式的性质2，两边都乘以(或除以)，得×x＞×50，整理得x＞75.(3)根据不等式的性质3，两边都乘以－，得－4×(－)x＜3×(－)，整理得x＜－.
7．(海南儋州月考)如果a－b＜0，那么下列不等式成立的是( B )
A．＞1 B．a－2＜b－2
C．a＞b D．2b＜2a
因为a－b＜0，所以a＜b，当a＝2，b＝4时，＝＜1，所以选项A中的不等式不成立，不符合题意；
因为a＜b，所以a－2＜b－2，
所以选项B中的不等式一定成立，符合题意；
因为a＜b，所以a＜b，
所以选项C中的不等式不成立，不符合题意；
因为a＜b，所以2a＜2b，即2b＞2a，所以选项D中的不等式不成立，不符合题意．故选B.
8．已知a，b，c均为实数，且a＞b，c≠0，则下列结论不一定正确的是( D )
A．a＋c＞b＋c B．c－a＜c－b
C．＞ D．a2＞ab＞b2
因为a＞b，且c≠0，根据不等式的性质1，两边同时加上c，可得a＋c＞b＋c；根据不等式的性质3，两边同时乘以－1，得－a＜－b，根据不等式的性质1，两边同时加上c，得c－a＜c－b；根据不等式的性质2，两边同时除以c2，得＞.所以A，B，C正确．
9．定义运算：a*b，当a＞b时，有a*b＝a，当a＜b时，有a*b＝b，如果(x＋3)*2x＝x＋3，那么x的取值范围是( A )
A．x＜3 B．x＞3
C．x＜1 D．1＜x＜3
10．(海南儋州月考)如果关于x的不等式(1＋m)x＞3的解集为x＜，则m的取值范围是__m＜－1__．
11．已知不等式5x－2＜6x＋1的最小正整数解是方程3x－ax＝6的解，求a的值．
由5x－2＜6x＋1，得x＞－3，所以最小正整数解为x＝1，把x＝1代入方程3x－ax＝6，得3×1－×1×a＝6，所以a＝－2.
12．已知二元一次方程组的解满足不等式ax＋2y＜5，求a的取值范围．
解方程组得把代入不等式ax＋2y＜5，得2a＋2×1＜5，即2a＋2＜5，利用不等式的性质1，两边都减去2，得2a＜3，利用不等式的性质2，两边都除以2，得a＜，所以a的取值范围是a＜.
13．一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调，则得到的两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大？请写出一个这样的两位数．
设原来的两位数是10b＋a，对调后的两位数是10a＋b，由题意可知，10a＋b＞10b＋a，
由不等式的基本性质，可得9a＞9b，即a＞b.如12，23，35，….
14.(应用意识)(河南南阳镇平月考)阅读下列材料，并完成问题解答：
已知“x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围”．有如下解法：
解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2.又∵x＞1，∴y＋2＞1，∴y＞－1.又∵y＜0，∴－1＜y＜0①.同理，1＜x＜2②，
由①＋②得－1＋1＜x＋y＜0＋2，∴x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2.
(1)【启发应用】请按照上述方法，回答下列问题：
已知x－y＝3，且x＞3，y＜2，则x＋y的取值范围是__3＜x＋y＜7__；
(2)【拓展推广】请仿照上述方法，深入思考后回答下列问题：
已知x＋y＝3，且x＞2，y＞－3，试确定x－y的取值范围．
(1)因为x－y＝3，所以x＝y＋3.
因为x＞3，所以y＋3＞3，所以y＞0.
因为y＜2，所以0＜y＜2①.
同理，3＜x＜5②.
由①＋②，得0＋3＜x＋y＜2＋5，
所以x＋y的取值范围是3＜x＋y＜7，
故答案为3＜x＋y＜7.
(2)因为x＋y＝3，所以x＝－y＋3.
因为x＞2，所以－y＋3＞2，所以y＜1.
因为y＞－3，所以－3＜y＜1，所以－1＜－y＜3①.
同理，可得2＜x＜6②.
由①＋②，得－1＋2＜x－y＜3＋6，
所以x－y的取值范围是1＜x－y＜9.7．2 不等式的基本性质
1．基本性质1：不等式两边都加上(或都减去)同一个数，不等号的方向__ __．
2．基本性质2：不等式两边都乘以(或都除以)同一个正数，不等号的方向__ __．
3．基本性质3：不等式两边都乘以(或都除以)同一个负数，不等号的方向__ __．
考点1 不等式的性质
【典例1】已知a＞b，下列不等式成立的是( )
A．a＋2＞b＋3 B．－4a＞－4b
C．m－a＜m－b D．am＞bm
“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
【变式训练】
1．已知a＞b，下列各式中，正确的是( )
A．－2 024a＞－2 024b B．2 024a＜2 024b
C．a－2 024＞b－2 024 D．2 024－a＞2 024－b
考点2 利用不等式的性质解简单的不等式
【典例2】将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式．
(1)－x＞60；(2)－2x＋3＜3x＋2.
利用不等式的性质进行简单变形，将其转化为“x＞a”或者“x＜a”的形式．
【变式训练】
2．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．(1)x－3＜－1；(2)－＞8.
知识点1 不等式的性质
1．(海南海口龙华区期中)若m＞n，则下列不等式中正确的是( )
A．m－2＜n－2 B．1－2m＜1－2n
C．－m＞－n D．n－m＞0
2．(海南儋州开学)下列说法不正确的是( )
A．若a＜b，则(m2＋1)a＜(m2＋1)b
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＜b，则3－2a＞3－2b
D．若ac2＜bc2，则a＜b
3．用不等号填空：若a再根据不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变和不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变可得2a－1<2b－1.
知识点2 利用不等式的性质解简单的不等式
4．不等式1－2x＜3的解集为( )
A．x＜－1 B．x＜1 C．x＞－1 D．x＞－2
5．不等式2x－4≤0的解集是__ __．
6．利用不等式的性质解下列不等式．
(1)x－7＞26； (2)x＞50； (3)－4x＞3.
7．(海南儋州月考)如果a－b＜0，那么下列不等式成立的是( )
A．＞1 B．a－2＜b－2
C．a＞b D．2b＜2a
8．已知a，b，c均为实数，且a＞b，c≠0，则下列结论不一定正确的是( )
A．a＋c＞b＋c B．c－a＜c－b
C．＞ D．a2＞ab＞b2
9．定义运算：a*b，当a＞b时，有a*b＝a，当a＜b时，有a*b＝b，如果(x＋3)*2x＝x＋3，那么x的取值范围是( )
A．x＜3 B．x＞3
C．x＜1 D．1＜x＜3
10．(海南儋州月考)如果关于x的不等式(1＋m)x＞3的解集为x＜，则m的取值范围是__ __．
11．已知不等式5x－2＜6x＋1的最小正整数解是方程3x－ax＝6的解，求a的值．
12．已知二元一次方程组的解满足不等式ax＋2y＜5，求a的取值范围．
13．一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调，则得到的两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大？请写出一个这样的两位数．
14.(应用意识)(河南南阳镇平月考)阅读下列材料，并完成问题解答：
已知“x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围”．有如下解法：
解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2.又∵x＞1，∴y＋2＞1，∴y＞－1.又∵y＜0，∴－1＜y＜0①.同理，1＜x＜2②，
由①＋②得－1＋1＜x＋y＜0＋2，∴x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2.
(1)【启发应用】请按照上述方法，回答下列问题：
已知x－y＝3，且x＞3，y＜2，则x＋y的取值范围是__ __；
(2)【拓展推广】请仿照上述方法，深入思考后回答下列问题：
已知x＋y＝3，且x＞2，y＞－3，试确定x－y的取值范围．
