7．4 解一元一次不等式组
1．一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了__ __．
2．一元一次不等式组中几个不等式的__ __的公共部分叫做这个一元一次不等式组的__ __．
3．列不等式组解应用题步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
考点1 一元一次不等式组的概念
【典例1】(河南期中)下列各项中，是一元一次不等式组的是( )
A． B．
C． D．
(1)不等式可以是两个、三个或三个以上．(2)几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
【变式训练】
1．下列不是一元一次不等式组的是( )
A． B．
C． D．
考点2 解一元一次不等式组
【典例2】不等式组的解集是( )
A．x＞－2 B．x＜3
C．－2＜x＜3 D．x＞－2或x＜3
为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
【变式训练】
2．如图，在数轴上A、B、C、D四个点所对应的数中是不等式组的解的是( )
A．点A对应的数 B．点B对应的数
C．点C对应的数 D．点D对应的数
考点3 一元一次不等式组的应用
【典例3】某市出租车起步价是8元(3 km及3 km以内为起步价)，以后每千米收费1.6元，不足1 km按1 km收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，则此出租车行驶的路程可能为( )
A．5.5 km B．6.9 km
C．7.5 km D．8.1 km
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景进行取舍．
【变式训练】
3．某种出租车的收费标准：起步价5元(即行驶距离不超过3千米都需付5元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元(不足1千米按1千米计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x千米，则x的范围是__ __.
知识点1 解一元一次不等式组
1．(海南一模)一元一次不等式组的解集为( )
A．1＜x＜4 B．x＜4
C．x＜1 D．无解
2．(海南琼海期末)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
3．(1)不等式组的解集是__ __.
(2)不等式组的解集是__ __．
4．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
知识点2 一元一次不等式组的应用
5．(海南海口秀英区月考)把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本(且至少有一本).这些图书有( )
A．23本 B．24本 C．25本 D．26本
6．登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶(不为0瓶).登山人数及矿泉水的瓶数分别是( )
A．5，13 B．3，5
C．5，15 D．无法确定
7．七年级某班部分同学参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后一名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个，则参加端午节包粽子活动的学生有__ __人．
8．某储运站现有甲种货物1 530吨、乙种货物1 150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来．
易错易混点 不等式组的整数解问题理解不透彻致错
9．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足( )
A．a＝10 B．10≤a＜12
C．10＜a≤12 D．10≤a≤12
10．(海南海口期中)某程序的操作框图如图所示，规定：程序运行从“开始”到“结果是否≥33”为一次操作．如果程序恰好操作了三次就停止，那么开始输入的x的取值情况是( )
A．x＝15 B．x＜15
C．5≤x＜9 D．x≥5
11. 在一次地震抢险时，某镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人．那么预定每组分配的人数是( )
A．10人 B．11人 C．12人 D．13人
12．(海南三亚期末)植树节期间，市团委组织部分中学的团员去东岸湿地公园植树．三亚市第二中学七(3)班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有__ __棵．
13．已知关于x的不等式组恰好有2个整数解，求实数a的取值范围．
14．某商场销售A、B两种品牌篮球，售出1个A品牌篮球和2个B品牌篮球所得利润为260元；售出2个A品牌篮球和3个B品牌篮球所得利润为440元．
(1)每个A品牌篮球和B品牌篮球售出后所得利润分别为多少元？
(2)由于需求量大，A、B两种品牌篮球很快售完，该商场决定再一次购进A、B两种品牌篮球共65个，且A品牌篮球不多于42个，如果将这65个篮球全部售完后所得利润不低于6 000元，那么该商场有几种进货方案？
15．江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
(2)大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5 400元，有几种方案？请指出总费用最低的一种方案，并求出相应的总费用．
16.(运算能力)(海南陵水县期中)某市部分地区遭受了罕见的旱灾，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共310件，其中饮用水比蔬菜多90件．
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
(3)在(2)的条件下，如果甲种货车每辆需付运费500元，乙种货车每辆需付运费450元，运输部门应选择哪种方案可使运费最少？运费最少是多少元？7．4 解一元一次不等式组
1．一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了__一元一次不等式组__．
2．一元一次不等式组中几个不等式的__解集__的公共部分叫做这个一元一次不等式组的__解集__．
3．列不等式组解应用题步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
考点1 一元一次不等式组的概念
【典例1】(河南期中)下列各项中，是一元一次不等式组的是( D )
A． B．
C． D．
解析：A.该不等式组中的第二个不等式的右边不是整式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；B.该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；C.该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；D.该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；故选D.
(1)不等式可以是两个、三个或三个以上．(2)几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
【变式训练】
1．下列不是一元一次不等式组的是( C )
A． B．
C． D．
考点2 解一元一次不等式组
【典例2】不等式组的解集是( C )
A．x＞－2 B．x＜3
C．－2＜x＜3 D．x＞－2或x＜3
解析：解不等式①，得x＞－2，
解不等式②，得x＜3，
∴不等式组的解集为－2＜x＜3，故选C.
为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
【变式训练】
2．如图，在数轴上A、B、C、D四个点所对应的数中是不等式组的解的是( B )
A．点A对应的数 B．点B对应的数
C．点C对应的数 D．点D对应的数
考点3 一元一次不等式组的应用
【典例3】某市出租车起步价是8元(3 km及3 km以内为起步价)，以后每千米收费1.6元，不足1 km按1 km收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，则此出租车行驶的路程可能为( B )
A．5.5 km B．6.9 km
C．7.5 km D．8.1 km
解析：设出租车行驶的路程为s km，由已知，得
解得6＜s≤7.故选B.
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景进行取舍．
【变式训练】
3．某种出租车的收费标准：起步价5元(即行驶距离不超过3千米都需付5元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元(不足1千米按1千米计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x千米，则x的范围是__11＜x≤12__.
知识点1 解一元一次不等式组
1．(海南一模)一元一次不等式组的解集为( C )
A．1＜x＜4 B．x＜4
C．x＜1 D．无解
2．(海南琼海期末)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( A )
3．(1)不等式组的解集是__x＞5__.
(2)不等式组的解集是__4＜x≤5__．
4．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
解不等式2x≥－9－x，得x≥－3，
解不等式5x－1＞3(x＋1)，得x＞2，
则不等式组的解集为x＞2，
所以不等式组的解集为x>2.
将解集表示在数轴上如图：
知识点2 一元一次不等式组的应用
5．(海南海口秀英区月考)把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本(且至少有一本).这些图书有( D )
A．23本 B．24本 C．25本 D．26本
设共有x名学生，则图书共有(3x＋8)本，由题意，得0＜3x＋8－5(x－1)＜3，
解得5＜x＜6.5.
因为x为非负整数，所以x＝6.
所以书的数量为3×6＋8＝26(本).故选D.
6．登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶(不为0瓶).登山人数及矿泉水的瓶数分别是( A )
A．5，13 B．3，5
C．5，15 D．无法确定
7．七年级某班部分同学参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后一名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个，则参加端午节包粽子活动的学生有__8或9__人．
设参加端午节包粽子活动的学生有x人，
由题意，得2≤(4x＋6)－5(x－1)＜4，
解得7＜x≤9，
因为x为正整数，所以x可取8或9，
所以参加端午节包粽子活动的学生有8或9人．
故答案为8或9.
8．某储运站现有甲种货物1 530吨、乙种货物1 150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来．
设用A型货厢x节，则用B型货厢(50－x)节，由题意，得
解得28≤x≤30.
因为x为整数，所以x只能取28、29、30，
相应地，50－x的值为22、21、20.
所以共有三种运输方案：
第一种运输方案：用A型货厢28节、B型货厢22节；
第二种运输方案：用A型货厢29节、B型货厢21节；
第三种运输方案：用A型货厢30节、B型货厢20节．
易错易混点 不等式组的整数解问题理解不透彻致错
9．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足( B )
A．a＝10 B．10≤a＜12
C．10＜a≤12 D．10≤a≤12
由6－3x＜0，得x＞2，由2x≤a，得x≤，
因为不等式组恰好有3个整数解，
所以不等式组的整数解为3、4、5，
所以5≤＜6，解得10≤a＜12，故选B.
10．(海南海口期中)某程序的操作框图如图所示，规定：程序运行从“开始”到“结果是否≥33”为一次操作．如果程序恰好操作了三次就停止，那么开始输入的x的取值情况是( C )
A．x＝15 B．x＜15
C．5≤x＜9 D．x≥5
11. 在一次地震抢险时，某镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人．那么预定每组分配的人数是( C )
A．10人 B．11人 C．12人 D．13人
设预定每组分配x人，根据题意，得解得11＜x＜12，因为x为整数，所以x＝12.
12．(海南三亚期末)植树节期间，市团委组织部分中学的团员去东岸湿地公园植树．三亚市第二中学七(3)班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有__121__棵．
设共有x人，则有(4x＋37)棵树，由题意，得，解得20＜x≤21，
所以x＝21，
所以4×21＋37＝121.
答：这批树苗共有121棵，故答案为121.
13．已知关于x的不等式组恰好有2个整数解，求实数a的取值范围．
由5x＋1＞3(x－1)得x＞－2，
由x≤8－x＋2a得x≤4＋a，
则不等式组的解集是－2＜x≤4＋a.
不等式组只有2个整数解，是－1和0，
根据题意，得0≤4＋a＜1，
解得－4≤a＜－3.
14．某商场销售A、B两种品牌篮球，售出1个A品牌篮球和2个B品牌篮球所得利润为260元；售出2个A品牌篮球和3个B品牌篮球所得利润为440元．
(1)每个A品牌篮球和B品牌篮球售出后所得利润分别为多少元？
(2)由于需求量大，A、B两种品牌篮球很快售完，该商场决定再一次购进A、B两种品牌篮球共65个，且A品牌篮球不多于42个，如果将这65个篮球全部售完后所得利润不低于6 000元，那么该商场有几种进货方案？
(1)设每个A品牌篮球售出后所得利润为x元，每个B品牌篮球售出后所得利润为y元，
根据题意，得解得
答：每个A品牌篮球售出后所得利润为100元，每个B品牌篮球售出后所得利润为80元．
(2)设该商场再次购进A品牌篮球m个，则购进B品牌篮球(65－m)个，根据题意，得
解得40≤m≤42.
又因为m为正整数，所以m可以为40、41、42，
所以该商场有3种进货方案．
答：该商场有3种进货方案．
15．江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
(2)大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5 400元，有几种方案？请指出总费用最低的一种方案，并求出相应的总费用．
(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得解得
答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．
(2)设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有(10－m)台，根据题意，得w＝300×2m＋200×2(10－m)＝200m＋4 000.因为2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5 400元，所以解得5≤m≤7，所以有三种不同方案．当m＝5时，总费用取最小值，最小值为5 000元．
答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低总费用为5 000元．
16.(运算能力)(海南陵水县期中)某市部分地区遭受了罕见的旱灾，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共310件，其中饮用水比蔬菜多90件．
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
(3)在(2)的条件下，如果甲种货车每辆需付运费500元，乙种货车每辆需付运费450元，运输部门应选择哪种方案可使运费最少？运费最少是多少元？
(1)设饮用水有x件，则蔬菜有(310－x)件，依题意，得x－(310－x)＝90，解得x＝200，
所以310－x＝110.
答：饮用水有200件，蔬菜有110件．
(2)设安排m辆甲种货车，则安排(8－m)辆乙种货车，
依题意，得
解得2≤m≤5.
又因为m为整数，所以m可以为2、3、4、5，所以共有4种安排方案，
方案1：安排2辆甲种货车、6辆乙种货车；
方案2：安排3辆甲种货车、5辆乙种货车；
方案3：安排4辆甲种货车、4辆乙种货车；
方案4：安排5辆甲种货车、3辆乙种货车．
(3)选择方案1所需运费为500×2＋450×6＝3 700(元)，
选择方案2所需运费为500×3＋450×5＝3 750(元)，
选择方案3所需运费为500×4＋450×4＝3 800(元)，
选择方案4所需运费为500×5＋450×3＝3 850(元).
因为3 700＜3 750＜3 800＜3 850，所以选择方案1可使运费最少，最少运费是3 700元．
