8．1 与三角形有关的边和角
第1课时 认识三角形
1．由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做__三角形__．
2．按角分类：
三角形.
按边分类：
3．三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，列表如下：
线段 名称 三角形的高 三角形的 中线 三角形的 角平分线
文字 语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作__垂线__，顶点和垂足之间的线段 三角形中，连结一个顶点和它对边__中点__的线段 三角形一个内角的__平分线__与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
图形 语言
作图 语言 过点A作AD⊥BC于点D 取BC边的中点D，连结AD 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D
标示 图形
考点1 三角形的有关概念
【典例1】下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是( A )
解析：由题意，知有A选项中的图形是三角形，故选A.
三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【变式训练】
1．如图，用数字标注了3个三角形，其中△ABD表示的是( A )
A．① B．②
C．③ D．都不对
考点2 三角形的分类
【典例2】如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是( B )
A．①对，②不对 B．①不对，②对
C．①、②都不对 D．①、②都对
解析：∵等腰三角形包括等边三角形，
∴①分类方法不对．
∵三角形按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，∴②分类方法对，故选B.
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形；③等边三角形：三边都相等的三角形．
【变式训练】
2．三角形按边长关系，可分为( C )
A．等腰三角形、等边三角形
B．直角三角形、不等边三角形
C．等腰三角形、不等边三角形
D．直角三角形、等腰三角形
考点3 三角形中的重要线段
【典例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是( C )
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3
D．BC是△BDE的高
解析：A.由图，可知BE是△ABD的中线，正确，不符合题意；B.由图，可知BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意；C.∵BD是△BCE的角平分线，∴∠3＝∠2，无法得知∠1与∠2，∠3的关系，说法不正确，符合题意．
D．∵∠C＝90°，∴BC是△BDE的边DE上的高，正确，不符合题意；故选C.
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段 名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的 角平分线
用途 举例 1.线段垂直 2．角度相等 1.线段相等 2．面积相等 角度相等
注意 事项 1.与边的垂线不同 2．不一定在三角形内 — 与角的平分线不同
重要 特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点
【变式训练】
3．(重庆模拟)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是( C )
A．BF＝CF
B．∠C＋∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF
D．S△ABC＝2S△ABF
∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，∴∠ADC＝90°，
∴∠C＋∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，而∠BAF与∠CAF不一定相等，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；故选C.
知识点1 三角形的有关概念
1．(海南屯昌县期末)下列图形中，是三角形的是( C )
2．如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，分别连结AD、DE，则图中的三角形一共有( C )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
3．如图，点B、C、D、E共线，试问图中A、B、C、D、E五点可确定多少个三角形？说明理由．
可以确定6个三角形．理由：经过两点可以确定一条线段，而不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形，∴图中可以确定6个三角形．
知识点2 三角形的分类
4．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( D )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
5．有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点3 三角形中的三种重要线段
6．(海南三亚崖州区期中)下列各图中，正确画出AC边上的高的是( D )
7．(海南三亚崖州区期中)三角形一边上的中线把原三角形分成两个( B )
A．形状相同的三角形
B．面积相等的三角形
C．直角三角形
D．周长相等的三角形
8．任作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的三条高．
如图，锐角△ABC的三条高分别是AD、BE、CF，直角△ABC的三条高分别是AD、BA、CA，钝角△ABC的三条高分别是AD、BE、CF.
易错易混点 三角形与中线面积应用不熟练致错
9．如图，在△ABC中已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝M cm2，则S阴影的值为( C )
A．M cm2 B．M cm2
C．M cm2 D．M cm2
由D为BC的中点，得S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝.
∵E为AD的中点，
∴S△AEB＝S△ABD＝＝S△AEC，∴S△BEC＝.
∵F为CE的中点，∴S阴影＝S△BEC＝，故选C.
10．如图，AD、AE、AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，下列各式中错误的是( D )
A．BC＝2CD B．∠BAE＝∠BAC
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
∵AD、AE、AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，∴BC＝2BD＝2DC，∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠AFB＝∠AFC＝90°，故选项A、B、C正确，选项D错误．
11．如图，在△ABC中，如果过点B作PB⊥BC交边AC于点P，过点C作CQ⊥AB交AB的延长线于点Q，那么图中线段__CQ__是△ABC的一条高．
12．(海南海口秀英区月考)如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为__6__．
连结CD，如图所示．
∵点D是AG的中点，
∴S△ABD＝S△ABG，S△ACD＝S△AGC，
∴S△ABD＋S△ACD＝S△ABC＝24，
∴S△BCD＝S△ABC＝24.
∵点E是BD的中点，
∴S△CDE＝S△BCD＝12.
∵点F是CE的中点，
∴S△DEF＝S△CDE＝6.
13．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．
∵AD是△ABC的中线，
∴BC＝2BD＝2CD，
∵△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，
∴AB＋BC＋AC＝9，AB＋BD＋AD＝8，AC＋CD＋AD＝7，
∴(AB＋BD＋AD)＋(AC＋CD＋AD)－(AB＋BC＋AC)＝8＋7－9＝6，
∴2AD＝6，
∴AD＝3.
14．(1)如图，AD是△ABC的中线，△ACD与△ABD的面积有怎样的数量关系？为什么？
(2)你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形．
(1)∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ACD与△ABD等底等高，
∴△ACD与△ABD的面积相等．
(2)如图：
15．(创新意识)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm.若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2 cm，设运动的时间为t秒．
(1)S△ABC＝__24_cm2__；
(2)当t＝__6__秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；
(3)当t＝__6.5__秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
(4)当t为何值时，△BCP的面积为12 cm2
(1)∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，
∴S△ABC＝AC×BC＝×8×6＝24(cm2).
故答案为24 cm2.
(2)在△ABC中，
∵AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm，
∴△ABC的周长＝8＋6＋10＝24(cm)，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA＋AP＝BP＋BC＝12(cm)，
∴2t＝12，解得t＝6.
故答案为6.
(3)当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA＋AP＝8＋5＝13(cm)，
∴2t＝13，解得t＝6.5.
故答案为6.5.
(4)分两种情况：
①当点P在AC上时，
∵△BCP的面积＝12 cm2，
∴×6×CP＝12，
∴CP＝4，
∴2t＝4，t＝2；
②当点P在AB上时，
∵△BCP的面积＝12＝△ABC面积的一半，
∴点P为AB的中点，
∴2t＝13，t＝6.5.
故当t为2或6.5时，△BCP的面积为12 cm2.
第2课时 三角形的内角和与外角和
1．三角形内角和定理：三角形的内角和等于__180°__.
2．直角三角形的两个锐角__互余__．
3．三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角的和．(2)三角形的一个外角__大于__任何一个与它不相邻的内角．
4．三角形的外角和等于__360°__．
考点1 三角形的内角和
【典例1】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为( C )三角形．
A．锐角 B．钝角
C．直角 D．等腰
解析：∵∠A＝∠B＝∠C，
∴可以假设∠A＝x°，∠B＝(2x)°，∠C＝(3x)°.
由题意，得x＋2x＋3x＝180，
∴x＝30，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选C.
考查三角形的内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是( A )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
考点2 三角形外角的性质
【典例2】如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠A＝75°，∠ACD＝105°，则∠B＝( A )
A．30° B．35° C．40° D．45°
解析：∵∠A＝75°，∠ACD＝105°，
∴∠B＝∠ACD－∠A＝105°－75°＝30°.
故选A.
考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
【变式训练】
2．如图，在△ABC中，点D、E在射线BA上，则∠1、∠2、∠B之间的大小关系为( D )
A．∠1＜∠2＜∠B
B．∠B＜∠2＜∠1
C．∠1＜∠B＜∠2
D．∠B＜∠1＜∠2
∵∠2是△ADC的外角，
∴∠2＝∠1＋∠ACD，
∴∠2＞∠1.∵∠1是△BCD的外角，
∴∠1＝∠B＋∠BCD，∴∠1＞∠B，
∴∠B＜∠1＜∠2.故选D.
知识点1 三角形的内角和
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝( A )
A．75° B．105° C．55° D．65°
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，
求∠C的度数．
∵AD是BC边上的高，∠B＝42°，
∴∠BAD＝48°，
∵∠DAE＝18°，∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝30°，
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝60°，∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝78°.
知识点2 三角形外角的性质
3．(海南海口期末)如图，∠A＝65°，∠B＝45°，则∠ACD＝( D )
A．65° B．60°
C．45° D．110°
4．如图，直线AB∥CD，连结BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的度数为( B )
A．27° B．42° C．45° D．70°
5．如图△ABC，延长CB到D，延长BC到E，∠A＝80°，∠ACE＝140°，求∠1的度数．
∵∠ACE＝140°，
∴∠ACB＝40°，
∵∠A＝80°，
∴∠1＝40°＋80°＝120°.
知识点3 三角形的外角和
6．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为( C )
A．90° B．110°
C．100° D．120°
设三个外角的度数分别为2k、3k、4k，根据三角形外角和定理，可知2k＋3k＋4k＝360°，得k＝40°，∴最小的外角为2k＝80°，故最大的内角为180°－80°＝100°.
易错易混点 对三角形外角整合能力不足致错
7．如图，点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是( B )
A.180° B．360°
C．540° D．720°
如图，∵∠1是△ABG的外角，
∴∠1＝∠A＋∠B.
∵∠2是△EFH的外角，
∴∠2＝∠E＋∠F.
∵∠3是△CDI的外角，
∴∠3＝∠C＋∠D.
∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角，
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
故选B.
8．(海南海口期末)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( D )
A．65° B．75° C．95° D．105°
9．小明把一副含45°、30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于( B )
A．180° B．210° C．360° D．270°
∠α＝∠1＋∠D，∠β＝∠4＋∠F，∴∠α＋∠β＝∠1＋∠D＋∠4＋∠F＝∠2＋∠D＋∠3＋∠F＝∠2＋∠3＋30°＋90°＝210°.
10．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为__60°或18°__．
如图1，当∠BFD＝90°时，
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴在Rt△ADF中，∠ADF＝60°；
图1
图2
如图2，当∠BDF＝90°时，
同理可得∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，∴∠B＝42°，
∴∠BDA＝180°－∠B－∠BAD＝180°－42°－30°＝108°，
∴∠ADF＝∠BDA－∠BDF＝108°－90°＝18°.
综上所述，∠ADF的度数为60°或18°.
故答案为60°或18°.
11．(海南澄迈县期中)如图，∠1＝∠2＝25°，∠3＝∠4，∠A＝80°，则x和y的度数分别是 __130°__与 __105°__．
∵∠1＝∠2＝25°，∴∠ABC＝50°.
∵∠A＝80°，
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠A＝180°－50°－80°＝50°，
∴∠3＝∠4＝25°.
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴y＝25°＋80°＝105°.
∵∠BEC是△CED的外角，
∴x＝105°＋25°＝130°，
故答案为130°；105°.
12．如图，E为△ABC内一点，BE的延长线交AC于点D，∠1＝(4m－1)°，∠2＝(3m＋2)°，∠A＝(4m－5)°，求m的取值范围.
根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，得解得3＜m＜7.
13．如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东60°的方向上，同时一艘客船在B处看见巡逻艇M在其北偏东20°的方向上，试求此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠AMB的度数．
∵∠DAM＝60°，AD∥BE，
∴∠AFE＝∠BFM＝120°，
又∵∠FBM＝20°，
∴∠AMB＝180°－∠FBM－∠BFM＝180°－120°－20°＝40°.
14．(海南琼中县月考)如图，△ABC的内角∠ABC平分线与它的外角∠ACD平分线交于点P.
(1)若∠A＝60°，∠ABC＝48°，求∠P的度数；
(2)猜想∠P与∠A的数量关系，并予以证明．
(1)∵∠A＝60°，∠ABC＝48°，
∴∠ACD＝∠A＋∠ABC＝108°.
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，
∴∠CBP＝∠ABC＝24°，∠DCP＝∠ACD＝54°，
∴∠P＝∠DCP－∠CBP＝30°；
(2)∠A＝2∠P，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A＋∠ABC，
∴∠A＝∠ACD－∠ABC.
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，
∴∠CBP＝∠ABC，∠DCP＝∠ACD，
∴∠P＝∠DCP－∠CBP
＝∠ACD－∠ABC.
＝(∠ACD－∠ABC)
＝∠A，∴∠A＝2∠P.
15.(推理能力)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，所以∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．
(2)在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)
(1)不成立．结论是∠BPD＝∠B＋∠D.
如图，延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，
又∵∠BPD＝∠BED＋∠D,
∴∠BPD＝∠B＋∠D.
(2)结论：∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D.
第3课时 三角形的三边关系
1．三角形的三边关系：定理：三角形任意两边之和__大于__第三边．推论：三角形任意两边之差__小于__第三边．
2．三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的__稳定性__.
考点1 三角形的三边关系
【典例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( A )
A．3、4、5 B．2、5、8
C．5、5、10 D．1、6、7
解析：A.3＋4＞5，故能构成三角形，故此选项符合题意；B.2＋5＜8，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；C.5＋5＝10，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；D.1＋6＝7，故不能构成三角形，故此选项不符合题意．故选A.
判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
【变式训练】
1．把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是( D )
考点2 三角形的稳定性
【典例2】生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是( C )
解析：屋顶支撑架、自行车脚架、旧门钉木条都是利用了三角形的稳定性，伸缩门是利用了四边形的不稳定性，故选C.
考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
【变式训练】
2．如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的( B )
A．全等性 B．稳定性
C．不稳定性 D．美观性
知识点1 三角形的三边关系
1．(海南万宁月考)以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是( D )
A．2、4、7 B．3、3、6
C．5、8、2 D．4、5、6
2．(海南儋州月考)如果线段2、7、m能组成一个三角形，则m的值可能是( C )
A．4 B．5 C．8 D．12
3．若三角形的三边长分别为3、4、x－1，则x的取值范围是__2＜x＜8__．
4．在△ABC中，AB＝9，AC＝2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．
根据三角形的三边关系，得9－2＜BC＜9＋2，即7＜BC＜11，
∵BC为偶数，∴BC＝8或10，
∴△ABC的周长为9＋2＋8＝19或9＋2＋10＝21.
知识点2 三角形的稳定性
5．如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是( B )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有__稳定__性．
易错易混点 模型观念不强致错
7．平面内，将长分别为1、1、3、x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形(如图)，x可能是( B )
A．1 B．3 C．5 D．7
8．有长度分别是4 cm、5 cm、8 cm和9 cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
若选取长度分别是4 cm、5 cm、8 cm的小棒，4＋5＞8，故能围成三角形；若选取长度分别是4 cm、5 cm、9 cm的小棒，4＋5＝9，故不能围成三角形；若选取长度分别是5 cm、8 cm、9 cm的小棒，5＋8＞9，故能围成三角形；若选取长度分别是4 cm、8 cm、9 cm 的小棒，4＋8＞9，故能围成三角形．综上所述，可以围成3个不同形状的三角形．
9．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( B )
A．7 B．10
C．11 D．14
∵其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，
∴任意两颗螺丝的距离的最大值是4＋6＝10.
10．(海南保亭县期中)已知a、b、c是△ABC的三边长，满足|a－7|＋(b－2)2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 __16__．
∵|a－7|＋(b－2)2＝0，
∴a－7＝0，b－2＝0，
解得a＝7，b＝2.
由三角形三边关系定理，
得7－2＜c＜7＋2，
即5＜c＜9.
又∵c为奇数，∴c＝7，
∴△ABC的周长为7＋2＋7＝16.故答案为16.
11．一个三角形有两条边相等，周长为20 cm，三角形的一边长6 cm，求其他两边长．
分两种情况．(1)当6是腰时，底边＝20－6×2＝8(cm)，即其他两边是6 cm、8 cm，此时6＋6＝12>8，能构成三角形；(2)当6是底边时，腰长＝(20－6)÷2＝7(cm)，此时能构成三角形，
∴其他两边是7 cm、7 cm.
综上所述，其他两边长分别为6 cm、8 cm或 7 cm、7 cm.
12．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学原理．
如图：
图1 图2 图3
原理是三角形的稳定性．
13．如图，O是△ABC内任意一点，连结OB、OC.
(1)求证：∠BOC＞∠A；
(2)比较AB＋AC与OB＋OC的大小，并说明理由.
(1)延长BO交AC于点D，
∴∠BOC＞∠ODC，又∠ODC＞∠A，
∴∠BOC＞∠A；
(2)AB＋AC＞OB＋OC，
∵AB＋AD＞OB＋OD，OD＋CD＞OC，
∴AB＋AD＋CD＞OB＋OC，
即AB＋AC＞OB＋OC.
14．已知三角形的周长为60，求最长边c的取值范围．
在△ABC中，不妨设a≤b≤c，
∵a＋b＞c，∴a＋b＋c＞2c，
即60＞2c，∴c＜30，
∵c≥a且c≥b，∴2c≥a＋b，
∴3c≥a＋b＋c，即3c≥60，∴c≥20.
∴最长边c的取值范围为20≤c＜30.
15.(几何直观)在平面内，分别用3根、5根、6根同样的火柴棒首尾顺次连结，能搭成什么形状的三角形呢？
通过尝试，列表如下所示，问：
(1)4根火柴能搭成三角形吗？
(2)8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
火柴数 3 5 6
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形
(1)4根火柴不能搭成三角形；
(2)8根火柴能搭成一种三角形(3、3、2)；
示意图(等腰三角形)：
12根火柴能搭成3种不同形状的三角形(4、4、4；5、5、2；3、4、5).示意图：
第4课时 三角形习题课
一、选择题
1．三角形是( B )
A．连结任意三点组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形
C．由三条线段组成的图形
D．以上说法均不对
2．(海南琼海期末)若一个三角形两个外角之和为280°，那么这个三角形是( C )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
∵三角形的外角和为360°，两个外角之和为280°，
∴第三个外角的度数为360°－280°＝80°，
∴其相邻内角是180°－80°＝100°，
∴该三角形是钝角三角形．故选C.
3．已知某三角形的两边长分别为2和4，且第三边为偶数，则该三角形周长为( A )
A．10 B．11 C．12 D．13
4．(海南琼中县期中)如图，点E、D分别在AB、AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为( A )
A．85° B．80° C．75° D．70°
∵∠1＋∠2＋∠A＝180°，∠B＋∠C＋∠A＝180°，
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C.
∵∠B＝30°，∠C＝55°，
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C＝30°＋55°＝85°.故选A.
5．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( A )
A．30° B．40°
C．60° D．70°
如图，∵AB∥CD，∠A＝70°，
∴∠1＝∠A＝70°，
∵∠1＝∠C＋∠E，∠C＝40°，
∴∠E＝∠1－∠C＝70°－40°＝30°.
6．如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是( C )
A．∠ABE
B．∠BAD
C．∠DAC
D．∠C
在△BEC和△ADC中，∠C是公共角，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝∠DAC.故选C.
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB，AD于点F、G.则下列结论正确的是( D )
①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠EAD；③∠BAE＝∠BEA；④∠DAB＋2∠AEF＝90°.
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．①②③④
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACB＋∠CAD＝90°.
∵∠ACB＝∠BAD，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，故①正确，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAE.
∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE，∠ACB＝∠BAD，∴∠BAE＝∠ACB＋∠CAE＝∠BEA，故③正确，∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE.
∵∠CAD＝2∠CAE＝2∠EAD，
∴∠CAD＝2∠AEF，
∴∠AEF＝∠EAD，故②正确；
∵∠CAD＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF，
∴2∠AEF＋∠DAB＝90°，故④正确，
∴正确的有①②③④.
二、填空题
8．如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有__6__个．
∵AD⊥BC于点D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
9．已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x－5|＋|x－13|＝__8__．
10．(海南琼中县月考)如图，AD与CE交于点B，若∠C＝90°，∠A＝36°，则∠D＝∠E，则∠D＝__63__度．
11．(海南临高县期中)在△ABC中，AD是中线，若△ABC的面积是20，则△ABD的面积为 __10__．
如图，过A作AH⊥BC于H.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝BC.
∵△ABD的面积＝BD·AH，△ABC的面积＝BC·AH，
∴S△ABD＝S△ABC＝×20＝10.故答案为10.
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠ACP＝∠PBC，则∠BPC＝__110°__．
∵∠BAC＝40°，
∴∠ACB＋∠ABC＝180°－40°＝140°，
又∵∠ACB＝∠ABC，∠ACP＝∠CBP，∴∠PBA＝∠PCB，∴∠ACP＋∠ABP＝∠PCB＋∠PBC＝140°×＝70°，
∴∠BPC＝180°－70°＝110°.
13．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如下两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的.
(1)图1中∠ABC的度数为__75°__．
(2)图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为__75°__．
(1)∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，
∴∠ABF＝∠EAC－∠F＝45°－30°＝15°，
∵∠FBC＝90°，
∴∠ABC＝∠FBC－∠ABF＝90°－15°＝75°.
(2)∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，∴∠C＝30°，
∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠CAE＋∠E＝30°＋45°＝75°.
三、解答题
14．(海南三亚期中)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝68°，∠BCD＝31°.求∠B，∠ADC的度数．
∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝62°.
又∵∠A＝68°，
∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝50°，
∴∠ADC＝∠B＋∠BCD＝50°＋31°＝81°.
综上所述，∠B，∠ADC的度数分别是50°、81°.
15．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．
设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x.
∵∠BAC＝63°，∴∠2＋∠4＝117°，即x＋2x＝117°，∴x＝39°，
∴∠3＝∠4＝78°，
∴∠DAC＝180°－∠3－∠4＝24°.
16．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E.求：
(1)∠ACD的度数；
(2)∠AEC的度数．
(1)∵∠ACD＝∠B＋∠BAC，∠B＝25°，∠BAC＝31°，
∴∠ACD＝25°＋31°＝56°.
(2)∵AD⊥BD，∴∠D＝90°.
∵∠ACD＝56°，CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD＝28°，
∴∠AEC＝∠ECD＋∠D＝28°＋90°＝118°.
17．(海南澄迈县月考)(1)如图，已知A、B、C三点，画射线BA、线段AC、直线BC；
(2)已知△ABC的面积为6，AB＝3，求C点到射线AB的距离．
(1)画射线BA，线段AC.直线BC，如图．
(2)∵△ABC的面积为6，AB＝3，∴C点到射线AB的距离为6×2÷3＝4.
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，AB与AC的和为11 cm，求AC的长.
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，
∴CD＝BD.
∵△ADC的周长－△ABD的周长＝5 cm，
∴AC－AB＝5(cm).
又∵AB＋AC＝11(cm)，∴AC＝8 cm，即AC的长度是8 cm.
19．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
∵BE是AC上的高，∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°－60°－50°＝70°，
∴∠ABE＝180°－90°－70°＝20°.
∵CF是AB上的高，∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝180°－90°－70°＝20°，
∵∠ABE＝20°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－20°＝40°.
∵∠ACF＝20°，∠ACB＝50°，
∴∠BCH＝30°，
∴∠BHC＝180°－40°－30°＝110°.8．1 与三角形有关的边和角
第1课时 认识三角形
1．由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做__ __．
2．按角分类：
三角形.
按边分类：
3．三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，列表如下：
线段 名称 三角形的高 三角形的 中线 三角形的 角平分线
文字 语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作__ __，顶点和垂足之间的线段 三角形中，连结一个顶点和它对边__ __的线段 三角形一个内角的__ __与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
图形 语言
作图 语言 过点A作AD⊥BC于点D 取BC边的中点D，连结AD 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D
标示 图形
考点1 三角形的有关概念
【典例1】下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是( )
A B C D
三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【变式训练】
1．如图，用数字标注了3个三角形，其中△ABD表示的是( )
A．① B．②
C．③ D．都不对
考点2 三角形的分类
【典例2】如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是( )
A．①对，②不对 B．①不对，②对
C．①、②都不对 D．①、②都对
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形；③等边三角形：三边都相等的三角形．
【变式训练】
2．三角形按边长关系，可分为( )
A．等腰三角形、等边三角形
B．直角三角形、不等边三角形
C．等腰三角形、不等边三角形
D．直角三角形、等腰三角形
考点3 三角形中的重要线段
【典例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是( )
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3
D．BC是△BDE的高
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段 名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的 角平分线
用途 举例 1.线段垂直 2．角度相等 1.线段相等 2．面积相等 角度相等
注意 事项 1.与边的垂线不同 2．不一定在三角形内 — 与角的平分线不同
重要 特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点
【变式训练】
3．(重庆模拟)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是( )
A．BF＝CF
B．∠C＋∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF
D．S△ABC＝2S△ABF
知识点1 三角形的有关概念
1．(海南屯昌县期末)下列图形中，是三角形的是( )
2．如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，分别连结AD、DE，则图中的三角形一共有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
3．如图，点B、C、D、E共线，试问图中A、B、C、D、E五点可确定多少个三角形？说明理由．
知识点2 三角形的分类
4．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
5．有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点3 三角形中的三种重要线段
6．(海南三亚崖州区期中)下列各图中，正确画出AC边上的高的是( )
7．(海南三亚崖州区期中)三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A．形状相同的三角形
B．面积相等的三角形
C．直角三角形
D．周长相等的三角形
8．任作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的三条高．
易错易混点 三角形与中线面积应用不熟练致错
9．如图，在△ABC中已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝M cm2，则S阴影的值为( )
A．M cm2 B．M cm2
C．M cm2 D．M cm2
10．如图，AD、AE、AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，下列各式中错误的是( )
A．BC＝2CD B．∠BAE＝∠BAC
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
11．如图，在△ABC中，如果过点B作PB⊥BC交边AC于点P，过点C作CQ⊥AB交AB的延长线于点Q，那么图中线段__ __是△ABC的一条高．
12．(海南海口秀英区月考)如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为__ __．
13．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．
14．(1)如图，AD是△ABC的中线，△ACD与△ABD的面积有怎样的数量关系？为什么？
(2)你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形．
15．(创新意识)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm.若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2 cm，设运动的时间为t秒．
(1)S△ABC＝__ _ __；
(2)当t＝__ __秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；
(3)当t＝__ __秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
(4)当t为何值时，△BCP的面积为12 cm2
第2课时 三角形的内角和与外角和
1．三角形内角和定理：三角形的内角和等于__ __.
2．直角三角形的两个锐角__ __．
3．三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角__ __与它不相邻的两个内角的和．(2)三角形的一个外角__ __任何一个与它不相邻的内角．
4．三角形的外角和等于__ __．
考点1 三角形的内角和
【典例1】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为( )三角形．
A．锐角 B．钝角
C．直角 D．等腰
考查三角形的内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
考点2 三角形外角的性质
【典例2】如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠A＝75°，∠ACD＝105°，则∠B＝( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
【变式训练】
2．如图，在△ABC中，点D、E在射线BA上，则∠1、∠2、∠B之间的大小关系为( )
A．∠1＜∠2＜∠B
B．∠B＜∠2＜∠1
C．∠1＜∠B＜∠2
D．∠B＜∠1＜∠2
知识点1 三角形的内角和
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝( )
A．75° B．105° C．55° D．65°
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°，
求∠C的度数．
知识点2 三角形外角的性质
3．(海南海口期末)如图，∠A＝65°，∠B＝45°，则∠ACD＝( )
A．65° B．60°
C．45° D．110°
4．如图，直线AB∥CD，连结BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的度数为( )
A．27° B．42° C．45° D．70°
5．如图△ABC，延长CB到D，延长BC到E，∠A＝80°，∠ACE＝140°，求∠1的度数．
知识点3 三角形的外角和
6．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为( )
A．90° B．110°
C．100° D．120°
易错易混点 对三角形外角整合能力不足致错
7．如图，点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是( )
A.180° B．360°
C．540° D．720°
8．(海南海口期末)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( )
A．65° B．75° C．95° D．105°
9．小明把一副含45°、30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于( )
A．180° B．210° C．360° D．270°
10．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为__ __．
11．(海南澄迈县期中)如图，∠1＝∠2＝25°，∠3＝∠4，∠A＝80°，则x和y的度数分别是 __ __与 __ __．
12．如图，E为△ABC内一点，BE的延长线交AC于点D，∠1＝(4m－1)°，∠2＝(3m＋2)°，∠A＝(4m－5)°，求m的取值范围.
13．如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东60°的方向上，同时一艘客船在B处看见巡逻艇M在其北偏东20°的方向上，试求此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠AMB的度数．
14．(海南琼中县月考)如图，△ABC的内角∠ABC平分线与它的外角∠ACD平分线交于点P.
(1)若∠A＝60°，∠ABC＝48°，求∠P的度数；
(2)猜想∠P与∠A的数量关系，并予以证明．
15.(推理能力)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，所以∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．
(2)在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)
第3课时 三角形的三边关系
1．三角形的三边关系：定理：三角形任意两边之和__ __第三边．推论：三角形任意两边之差__ __第三边．
2．三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的__ __.
考点1 三角形的三边关系
【典例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．3、4、5 B．2、5、8
C．5、5、10 D．1、6、7
判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
【变式训练】
1．把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是( )
A BC D
考点2 三角形的稳定性
【典例2】生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是( )
考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
【变式训练】
2．如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的( )
A．全等性 B．稳定性
C．不稳定性 D．美观性
知识点1 三角形的三边关系
1．(海南万宁月考)以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是( )
A．2、4、7 B．3、3、6
C．5、8、2 D．4、5、6
2．(海南儋州月考)如果线段2、7、m能组成一个三角形，则m的值可能是( )
A．4 B．5 C．8 D．12
3．若三角形的三边长分别为3、4、x－1，则x的取值范围是__ __．
4．在△ABC中，AB＝9，AC＝2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．
知识点2 三角形的稳定性
5．如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有__ __性．
易错易混点 模型观念不强致错
7．平面内，将长分别为1、1、3、x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形(如图)，x可能是( )
A．1 B．3 C．5 D．7
8．有长度分别是4 cm、5 cm、8 cm和9 cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( )
A．7 B．10
C．11 D．14
10．(海南保亭县期中)已知a、b、c是△ABC的三边长，满足|a－7|＋(b－2)2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 __ __．
11．一个三角形有两条边相等，周长为20 cm，三角形的一边长6 cm，求其他两边长．
12．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学原理．
13．如图，O是△ABC内任意一点，连结OB、OC.
(1)求证：∠BOC＞∠A；
(2)比较AB＋AC与OB＋OC的大小，并说明理由.
14．已知三角形的周长为60，求最长边c的取值范围．
15.(几何直观)在平面内，分别用3根、5根、6根同样的火柴棒首尾顺次连结，能搭成什么形状的三角形呢？
通过尝试，列表如下所示，问：
(1)4根火柴能搭成三角形吗？
(2)8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
火柴数 3 5 6
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形
第4课时 三角形习题课
一、选择题
1．三角形是( )
A．连结任意三点组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形
C．由三条线段组成的图形
D．以上说法均不对
2．(海南琼海期末)若一个三角形两个外角之和为280°，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
3．已知某三角形的两边长分别为2和4，且第三边为偶数，则该三角形周长为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
4．(海南琼中县期中)如图，点E、D分别在AB、AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为( )
A．85° B．80° C．75° D．70°
5．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( )
A．30° B．40°
C．60° D．70°
6．如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是( )
A．∠ABE
B．∠BAD
C．∠DAC
D．∠C
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB，AD于点F、G.则下列结论正确的是( )
①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠EAD；③∠BAE＝∠BEA；④∠DAB＋2∠AEF＝90°.
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．①②③④
二、填空题
8．如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有__ __个．
9．已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x－5|＋|x－13|＝__ __．
10．(海南琼中县月考)如图，AD与CE交于点B，若∠C＝90°，∠A＝36°，则∠D＝∠E，则∠D＝__ __度．
11．(海南临高县期中)在△ABC中，AD是中线，若△ABC的面积是20，则△ABD的面积为 __ __．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠ACP＝∠PBC，则∠BPC＝__ __．
13．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如下两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的.
(1)图1中∠ABC的度数为__ __．
(2)图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为__ __．
三、解答题
14．(海南三亚期中)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝68°，∠BCD＝31°.求∠B，∠ADC的度数．
15．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．
16．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E.求：
(1)∠ACD的度数；
(2)∠AEC的度数．
17．(海南澄迈县月考)(1)如图，已知A、B、C三点，画射线BA、线段AC、直线BC；
(2)已知△ABC的面积为6，AB＝3，求C点到射线AB的距离．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，AB与AC的和为11 cm，求AC的长.
19．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
