8．2 多边形的内角和与外角和
1．在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连结所组成的__平面__图形叫做多边形．
2．画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是__凸多边形__，如果整个多边形不在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫做__凹多边形__.
3．n边形的内角和为__(n－2)·180°__(n≥3).多边形的外角和为__360°__．
考点1 多边形的有关概念
【典例1】下列图形中，( C )是五边形．
解析：A为圆形，不符合题意；B为六边形，不符合题意；C为五边形，符合题意；D为七边形，不符合题意；故选C.
多边形是在平面内不在同一直线上的线段首尾顺次连结而组成．
【变式训练】
1．如图所示，图中共有多边形( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点2 多边形的内角和
【典例2】若一个多边形的内角和等于1 800°，则这个多边形的边数是( D )
A．6 B．8 C．10 D．12
解析：设这个多边形是n边形，
根据题意，得(n－2)×180°＝1 800°，
解得n＝12，
∴这个多边形是12边形．
故选D.
内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数．
【变式训练】
2．(河北石家庄赵县月考)下列多边形中，内角和最小的是( A )
考点3 多边形的外角和
【典例3】如图，已知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°，那么∠5的度数为( B )
A.70° B．80°
C．90° D．100°
解析：由题意，得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，
∵∠1＋2＋∠3＋∠4＝280°，
∴∠5＝360°－280°＝80°，
故选B.
本题考查了多边形的外角和，熟练掌握任意多边形的外角和都等于360°是解题的关键．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关．
【变式训练】
3．一个正多边形的内角和比四边形的外角和多180°，则这个多边形的每个外角是( A )
A．72° B．90°
C．108° D．120°
设这个正多边形为n边形，则(n－2)×180°＝360°＋180°，整理，得n－2＝3，解得n＝5，
∴该多边形为正五边形．
∵＝72°，
∴这个多边形的每个外角是72°.
知识点1 多边形的有关概念
1．过多边形的一个顶点最多可以作出该多边形的6条对角线，则这个多边形的边数为( D )
A．3 B．6 C．8 D．9
2．如图，下列图形是多边形的有__③④__．
知识点2 多边形的内角和
3．(海南三亚崖州区期中)一个n边形的内角和为720°，则n等于( C )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．一个多边形的内角和为360°，则这个多边形是__四__边形．
5．有两个多边形，这两个多边形的边数比为3∶5，内角和的度数之比是1∶2，求它们各自的边数．
∵两个多边形的边数之比为3∶5，∴设多边形的边数为3n，则另一个为5n，∵内角和度数之比为1∶2，∴(3n－2)∶(5n－2)＝1∶2，解得n＝2，∴3n＝6，5n＝10.故它们各自的边数为6和10.
知识点3 多边形的外角和
6．(海南海口期末)一个多边形每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为( B )
A．12 B．10 C．8 D．6
7．八边形的外角和是__360°__．
8．一个多边形的内角和与外角和相加是1 800°，求这个多边形的边数．
设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180＋360＝1 800，解得n＝10，故这个多边形的边数是10.
易错易混点 忽略分类讨论导致漏解
9．如图，从五边形纸片ABCDE中剪去一个三角形，剩余部分是( D )
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．以上都有可能
如图1，剩余图形是四边形；如图2，剩余图形是五边形；如图3，剩余图形是六边形；
综上所述，剩余的部分是四边形或五边形或六边形．故选D.
10．(海南海口龙华区期末)由图中所表示的已知角的度数，可知∠α的度数为( D )
A．80° B．70°
C．60° D．50°
11．(海南临高县期末)一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为2∶1，则这个正多边形是( B )
A．正五边形 B．正六边形
C．正七边形 D．正八边形
∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为2∶1，
∴设这个正多边形的每个外角的度数是x，则每个内角的度数是2x.
根据题意，得x＋2x＝180°，解得x＝60°，
∴360°÷60°＝6，
∴这个多边形的正六边形，故选B.
12．如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝__95°__．
∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN,
∴∠BMN＝∠BMF＝×100°＝50°，
∠BNM＝∠BNF＝×70°＝35°，
在△BMN中，∠B＝180°－(∠BMN＋∠BNM)＝180°－(50°＋35°)＝180°－85°＝95°.
13．(1)观图填空：从五边形的内部一点出发，向各个顶点连线，它们可以将五边形分成__5__个三角形，所有三角形内角和等于__900°__，五边形的内角和等于__540°__．
(2)类比推理：按照上述思路，请推导n边形的内角和公式．
(1)从五边形的内部一点出发，向各个顶点连线，它们可以将五边形分成5个三角形，所有三角形内角和等于5×180°＝900°，五边形的内角和等于(5－2)×180°＝540°.
(2)从n边形的内部一点出发，向各个顶点连线，它们可以将n边形分成n个三角形，所有三角形内角和等于n×180°，n边形的内角和还要再减去这个点所在的一个周角，
∴n边形的内角和为(n－2)×180°.
14．如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝107°，∠B＝121°，求∠C的度数．
如图，连结AC，
∵AE∥CD，
∴∠EAC＋∠ACD＝180°，
∵∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠BAE＝∠BAC＋∠EAC，∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，
∴∠B＋∠BAE＋∠BCD＝360°，
∴∠BCD＝360°－∠B－∠BAE＝360°－121°－107°＝132°.
15．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数．
可以通过作辅助线，如图，转化成求六边形的内角和，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝(6－2)×180°＝720°.
16.(模型观念)阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
(1)“多边形内角和为2 020°”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)被错当成内角的那个外角为多少度？
(1)设多边形的边数为n，
180°(n－2)＝2 020°，解得n＝13.
∵n为正整数，
∴“多边形的内角和为2 020°”不可能．
(2)设应加的内角为x，多加的外角为y，
依题意可列方程：(n－2)180°＝2 020°－y＋x.
∵－180°∴2 020°－180°<180°(n－2)<2 020°＋180°，
解得12又∵n为正整数，∴n＝13或n＝14.
故明明求的是十三边形或十四边形的内角和.
(3)十三边形的内角和＝180°×(13－2)＝1 980°，
∴y－x＝2 020°－1 980°＝40°.
又x＋y＝180°，解得x＝70°，y＝110°；
十四边形的内角和＝180°×(14－2)＝2 160°，
∴y－x＝2 020°－2 160°＝－140°.
又x＋y＝180°，解得x＝160°，y＝20°；
∴被错当成内角的那个外角为110°或20°.8．2 多边形的内角和与外角和
1．在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连结所组成的__ __图形叫做多边形．
2．画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是__ __，如果整个多边形不在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫做__ __.
3．n边形的内角和为__ __(n≥3).多边形的外角和为__ __．
考点1 多边形的有关概念
【典例1】下列图形中，( )是五边形．
多边形是在平面内不在同一直线上的线段首尾顺次连结而组成．
【变式训练】
1．如图所示，图中共有多边形( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点2 多边形的内角和
【典例2】若一个多边形的内角和等于1 800°，则这个多边形的边数是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数．
【变式训练】
2．(河北石家庄赵县月考)下列多边形中，内角和最小的是( )
考点3 多边形的外角和
【典例3】如图，已知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°，那么∠5的度数为( )
A.70° B．80°
C．90° D．100°
本题考查了多边形的外角和，熟练掌握任意多边形的外角和都等于360°是解题的关键．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关．
【变式训练】
3．一个正多边形的内角和比四边形的外角和多180°，则这个多边形的每个外角是( )
A．72° B．90°
C．108° D．120°
知识点1 多边形的有关概念
1．过多边形的一个顶点最多可以作出该多边形的6条对角线，则这个多边形的边数为( )
A．3 B．6 C．8 D．9
2．如图，下列图形是多边形的有__ __．
知识点2 多边形的内角和
3．(海南三亚崖州区期中)一个n边形的内角和为720°，则n等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．一个多边形的内角和为360°，则这个多边形是__ __边形．
5．有两个多边形，这两个多边形的边数比为3∶5，内角和的度数之比是1∶2，求它们各自的边数．
知识点3 多边形的外角和
6．(海南海口期末)一个多边形每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为( )
A．12 B．10 C．8 D．6
7．八边形的外角和是__ __．
8．一个多边形的内角和与外角和相加是1 800°，求这个多边形的边数．
易错易混点 忽略分类讨论导致漏解
9．如图，从五边形纸片ABCDE中剪去一个三角形，剩余部分是( )
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．以上都有可能
10．(海南海口龙华区期末)由图中所表示的已知角的度数，可知∠α的度数为( )
A．80° B．70°
C．60° D．50°
11．(海南临高县期末)一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为2∶1，则这个正多边形是( )
A．正五边形 B．正六边形
C．正七边形 D．正八边形
12．如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝__ __．
13．(1)观图填空：从五边形的内部一点出发，向各个顶点连线，它们可以将五边形分成__ __个三角形，所有三角形内角和等于__ __，五边形的内角和等于__ __．
(2)类比推理：按照上述思路，请推导n边形的内角和公式．
14．如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝107°，∠B＝121°，求∠C的度数．
15．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数．
16.(模型观念)阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
(1)“多边形内角和为2 020°”，为什么不可能？
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)被错当成内角的那个外角为多少度？
