8．3 用正多边形铺设地面
第1课时 用相同的正多边形
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌).
考点 用相同的正多边形铺设地面
【典例】(海南期末)下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是( C )
A．三角形 B．四边形
C．正五边形 D．正六边形
解析：A.三角形内角和为180°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意；B.四边形内角和为360°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意；C.正五边形每个内角的度数为180°－360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺，故此选项合题意；D.正六边形每个内角的度数为180°－360°÷6＝120°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意；故选C.
考查平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
【变式训练】
下列图形中，单独选用不能进行平面镶嵌的是( D )
A．正三角形 B．正方形
C．正六边形 D．正十边形
A.正三角形的一个内角度数为180°÷3＝60°，是360°的约数，能镶嵌成平面，不符合题意；B.正方形的一个内角度数为90°，是360°的约数，能镶嵌成平面，不符合题意；C.正六边形的一个内角度数为＝120°，是360°的约数，能镶嵌成平面，不符合题意；D.正十边形的一个内角度数为＝144°，不是360°的约数，不能镶嵌成平面，符合题意．故选D.
知识点 用相同的正多边形铺设地面
1．(海南儋州期末)下列正多边形地砖中，单独选用一种地砖不能铺满地面的是( D )
A．正三角形地砖 B．正方形地砖
C．正六边形地砖 D．正八边形地砖
2．如图，四种正多边形瓷砖中，不能铺满地面的图形是( C )
3．请写出能单独铺满地面的正多边形：__正三角形或正四边形或正六边形__．(至少两种)
4．小颖家刚买了一套新房，厨房只用一种正多边形密铺，某装饰市场有五种型号的地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．那么选购地砖的方法分别有哪几种：__①②④__(填序号).
正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，正五边形的内角为108°，正六边形的内角为120°，正八边形的内角为135°.①360°能被60°整除，适用；②360°能被90°整除，适用；③360°不能被108°整除，不适用；④360°能被120°整除，适用；⑤360°不能被135°整除，不适用．综上可得，①②④适用．
5．我们知道，正五边形不能进行平面镶嵌．如图，将三个全等的正五边形拼接在一起，则∠1度数是__36°__．
∵正五边形的每个内角＝(5－2)·180°÷5＝108°，
∴∠1＝360°－108°×3＝36°.
易错易混点 抽象能力不足致错
6．如图1是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案(如图2)，其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案(如图3)，其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案(如图4)，其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有( C )
A．100个 B．121个
C．181个 D．1 021个
圆的个数分别是①1，②22＋12＝5，③33＋22＝9＋4＝13，④42＋32＝16＋9＝25.
∴若这样铺成一个10×10的正方形图案，圆的个数为102＋92＝100＋81＝181.
7．黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第10个图案中有白色地砖( C )
A．40块 B．41块 C．42块 D．43块
结合图形，第一个图案有白色地砖6块，后边每多一个图案，则多4块白色地砖．根据这个规律，第n个图案中有白色地砖(4n＋2)块．故第10个图案中有白色地砖4×10＋2＝42(块).
8．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A，定义为第一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，用现有的2 021块瓷砖最多能完整地铺满__26__组，此时还剩余__70__块瓷砖．
观察可知：铺满第一组时，用瓷砖总数为1，
铺满第二组时，用瓷砖总数为1＋6×1，
铺满第三组时，用瓷砖总数为1＋6×1＋6×2，
……
铺满第n组时，用瓷砖总数为1＋6×1＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋3n(n－1).
当n＝26时，1＋3×26×(26－1)＝1 951＜2 021，
当n＝27时，1＋3×27×(27－1)＝2 107＞2 021.
∴最多能完整地铺满26组，此时还剩余2 021－1 951＝70(块)瓷砖．
9. 小红家购买了一套新房，准备用一种地板砖镶嵌新居地面，要求地板砖都是正多边形，且每块地板砖的各边长都相等，各个角也都相等．某家装饰材料市场有如下五种型号的地砖，它们每个角的度数分别为60°、90°、108°、120°、135°，你认为这些地板砖哪些适用？请说明你的理由．
∵360是60、90、120的整数倍，不是108、135的整数倍，
∴五种型号的地砖中内角为60°、90°、120°的地板砖适用．
10.(创新意识)正在改造的人行道工地上，有两种铺设路面材料：一种是长为a cm、宽为b cm的长方形板材(如图1)，另一种是边长为c cm的正方形地砖(如图2).
(1)用多少块如图2所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形(只要写出一个符合条件的答案即可)？并写出新正方形的面积；
(2)现用如图1所示的四块长方形板材铺成一个大长方形(如图3)或大正方形(如图4)，中间分别空出一个小长方形和一个小正方形．
①试比较中间的小长方形和中间的小正方形的面积哪个大？
②如图4，已知大正方形的边长比中间小正方形的边长多20 cm，面积大3 200 cm2.如果选用如图2所示的正方形地砖(边长为20 cm)铺设图4中间的小正方形部分，那么能否做到不用切割地砖就可直接密铺(缝隙忽略不计)呢？若能，请求出密铺所需地砖的块数；若不能，至少要切割几块如图2的地砖？
(1)用四个如图2所示的正方形地砖能拼成一个新正方形，其面积为4c2 cm2.
(2)①图3中的小长方形的面积为a(a－2b)＝a2－2ab，图4中的小长方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2，
∵a2－2ab＋b2＞a2－2ab，
∴图4中小正方形的面积＞图3中的小长方形的面积．
②图4中大正方形的边长比中间小正方形的边长多20 cm，故b＝20÷2＝10(cm);
由图4中大正方形的边长比中间小正方形的面积大3 200 cm2，得4ab＝3 200，
又∵b＝10 cm，∴a＝3 200÷(4×10)＝80 cm，则图4中中间小正方形的边长为80－10＝70(cm).
如下图，至少要切割4块如图2的地砖．
第2课时 用多种正多边形
1．正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个正多边形的内角之和能否为__360°__．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
2．形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成__平面__图形；形状、大小相同的任意四边形(凸四边形)能镶嵌成平面图形．
3．(1)用两种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正三角形与正十二边形；④正方形与正八边形．(2)用三种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形、正方形与正六边形；②正方形、正六边形与正十二边形；③正三角形、正十边形与正十五边形；④正方形、正五边形与正二十边形．
考点 用多种正多边形铺设
【典例】(河南洛阳偃师区期末)“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为( B )
A．6 B．8 C．10 D．12
解析：由题意，得正n边形的一个内角＝(360°－90°)÷2＝135°，∴135°n＝(n－2)·180°，解得n＝8.
故选B.
任意三角形、四边形(形状、大小相同)能镶嵌平面是因为：三角形内角和为180°，是360°的约数；四边形(凸四边形)的内角和是360°，也是360°的约数，所以大小、形状相同的任意三角形、四边形围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角( 360°)时，就能铺满地面．
【变式训练】
下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是( A )
A．正六边形和正三角形
B．正六边形和正方形
C．正八边形和正五边形
D．正十二边形和正五边形
A.正六边形和正三角形每个内角分别为120°、60°，60°×4＋120°＝360°或60°×2＋120°×2＝360°，能构成360°的周角，故能铺满，符合题意；B.正方形和正六边形每个内角分别为90°、120°，不能构成360°的周角，故不能铺满，不符合题意；C.正五边形和正八边形每个内角分别为108°、135°，不能构成360°的周角，故不能铺满，不符合题意；D.正十二边形和正五边形每个内角分别为150°、108°，不能构成360°的周角，故不能铺满，不符合题意；故选A.
知识点 用多种正多边形铺设地面
1．生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是( B )
A．正方形 B．正五边形
C．正六边形 D．正十二边形
2．用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有3个等边三角形和__2__个正方形．
3．一底角为60°的等腰梯形的腰长和一个正三角形的边长相等，同时使用这两种图形能否铺满平面？若能，请设计一个图案；若不能，请说明理由．
如图，
一底角为60°的等腰梯形的腰长和一个正三角形的边长相等，不能同时使用这两种图形铺满平面．∵只有梯形上底等于腰长，下底等于上底的2倍，才能同时使用这两种图形铺满平面．
4．用一个正方形、一个正五边形、一个正十二边形能否镶嵌成平面图案？说明理由．
用一个正方形、一个正五边形、一个正十二边形不能镶嵌成平面图案，理由如下：
∵正方形的内角是＝90°，正五边形的内角是＝108°，正十二边形的内角是＝150°，
∴正方形一个内角、正五边形一个内角、正十二边形的一个内角的和是90°＋108°＋150°＝348°＜360°，
∴一个正方形、一个正五边形、一个正十二边形镶嵌时有缝隙，即用一个正方形、一个正五边形、一个正十二边形不能镶嵌成平面图案．
5．(河南南阳内乡期末)用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m、n满足的关系式是( D )
A．2m＋3n＝12 B．m＋n＝8
C．2m＋n＝6 D．m＋2n＝6
正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为360°，而正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，根据题意可知60°×m＋120°×n＝360°，化简得到m＋2n＝6.
6．(海南海口秀英区月考)用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有m个正方形，n个正八边形，则m＋n＝__3__．
正方形的每个内角的度数为＝90°，正八边形的每个内角的度数为＝135°.
由题意，有135n＋90m＝360，∴m＝4－n.
∵m、n为整数，0∴n＝2，m＝1，∴m＋n＝3，故答案为3.
7．(海南儋州开学)如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是 __6__．
∵正三角形、正方形的每个内角分别为60°、90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－60°＝120°，
∴这块正多边形地砖的边数是：＝6.
故答案为6.
8．用正三角形、正四边形和正六边形按如下规律镶嵌平面图案，第一个图案中有正三角形6个，第二个图案中有正三角形10个，…，则第12个图案中正三角形的个数为__50__．
根据图形的特点判断出正三角形数量的变化规律：4＋2，4＋4＋2，4＋4＋4＋2，…，∴第12个图形中正三角形的个数为4×12＋2＝50.
9．小芳家进行装修，她在材料市场选中了一种漂亮的正八边形的地砖，可建材行的服务员告诉她，仅一种正八边形的地砖是不能密铺地面的，随又向她推荐各种尺寸、形状、花色的其他地砖，供小芳搭配选用的有：菱形的、正方形的、长方形的、正三角形的、平行四边形的、各种三角形的、等腰直角三角形的、正六边形的、正五边形的、五角星形状的等等，小芳顿时选花了眼，你能帮忙筛选一下吗？如果小芳不选正八边形的地砖，她还可以有哪些选择？(列举2种即可)
根据密铺的条件可知：从正方形和等腰直角三角形的地砖中选择；①正方形、正八边形内角分别为90°、135°，由于135°×2＋90°＝360°，故能密铺；②等腰直角三角形、正八边形内角分别为45°、135°，由于135°×2＋45°×2＝360°，故能密铺．
故可以选择正方形和等腰直角三角形的地砖，如果小芳不选正八边形的地砖，可以直接选择单种的正方形以及正三角形都可以密铺地面，也可以将正方形和正三角形组合或者利用正六边形和正三角形组合密铺地面．
10．我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺(镶嵌).我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：
如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°·x＋120°·y＝360°，化简得x＋2y＝6.因为x，y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图1、图2、图3.
(1)请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图4中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图(只要画出一种图形即可).
(2)如果用形状、大小相同的如图5方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．
(1)据题意可有60°·x＋90°·y＝360°，化简得2x＋3y＝12，
∴当x＝3，y＝2时上式才成立，如图．
(2)如图：
11.(应用意识)在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成
美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌).这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．
(1)请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …
正多边形每个内角的度数 …
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
(3)在正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
(1)由正n边形内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形，…，正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…，(n－2)·180°÷n；
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°，得正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；
(3)如正方形和正八边形(如图)，
设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m、n应是方程m·90°＋n·135°＝360°的正整数解，即2m＋3n＝8的正整数解，只有m＝1，n＝2一组，∴符合条件的图形只有一种．8．3 用正多边形铺设地面
第1课时 用相同的正多边形
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌).
考点 用相同的正多边形铺设地面
【典例】(海南期末)下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是( )
A．三角形 B．四边形
C．正五边形 D．正六边形
考查平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
【变式训练】
下列图形中，单独选用不能进行平面镶嵌的是( )
A．正三角形 B．正方形
C．正六边形 D．正十边形
知识点 用相同的正多边形铺设地面
1．(海南儋州期末)下列正多边形地砖中，单独选用一种地砖不能铺满地面的是( )
A．正三角形地砖 B．正方形地砖
C．正六边形地砖 D．正八边形地砖
2．如图，四种正多边形瓷砖中，不能铺满地面的图形是( )
A B C D
3．请写出能单独铺满地面的正多边形：__ __．(至少两种)
4．小颖家刚买了一套新房，厨房只用一种正多边形密铺，某装饰市场有五种型号的地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．那么选购地砖的方法分别有哪几种：__ __(填序号).
5．我们知道，正五边形不能进行平面镶嵌．如图，将三个全等的正五边形拼接在一起，则∠1度数是__ __．
易错易混点 抽象能力不足致错
6．如图1是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案(如图2)，其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案(如图3)，其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案(如图4)，其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有( )
A．100个 B．121个
C．181个 D．1 021个
7．黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第10个图案中有白色地砖( )
A．40块 B．41块 C．42块 D．43块
8．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A，定义为第一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，用现有的2 021块瓷砖最多能完整地铺满__ __组，此时还剩余__ __块瓷砖．
9. 小红家购买了一套新房，准备用一种地板砖镶嵌新居地面，要求地板砖都是正多边形，且每块地板砖的各边长都相等，各个角也都相等．某家装饰材料市场有如下五种型号的地砖，它们每个角的度数分别为60°、90°、108°、120°、135°，你认为这些地板砖哪些适用？请说明你的理由．
10.(创新意识)正在改造的人行道工地上，有两种铺设路面材料：一种是长为a cm、宽为b cm的长方形板材(如图1)，另一种是边长为c cm的正方形地砖(如图2).
(1)用多少块如图2所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形(只要写出一个符合条件的答案即可)？并写出新正方形的面积；
(2)现用如图1所示的四块长方形板材铺成一个大长方形(如图3)或大正方形(如图4)，中间分别空出一个小长方形和一个小正方形．
①试比较中间的小长方形和中间的小正方形的面积哪个大？
②如图4，已知大正方形的边长比中间小正方形的边长多20 cm，面积大3 200 cm2.如果选用如图2所示的正方形地砖(边长为20 cm)铺设图4中间的小正方形部分，那么能否做到不用切割地砖就可直接密铺(缝隙忽略不计)呢？若能，请求出密铺所需地砖的块数；若不能，至少要切割几块如图2的地砖？
第2课时 用多种正多边形
1．正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个正多边形的内角之和能否为__ __．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
2．形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成__ __图形；形状、大小相同的任意四边形(凸四边形)能镶嵌成平面图形．
3．(1)用两种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正三角形与正十二边形；④正方形与正八边形．(2)用三种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形、正方形与正六边形；②正方形、正六边形与正十二边形；③正三角形、正十边形与正十五边形；④正方形、正五边形与正二十边形．
考点 用多种正多边形铺设
【典例】(河南洛阳偃师区期末)“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
任意三角形、四边形(形状、大小相同)能镶嵌平面是因为：三角形内角和为180°，是360°的约数；四边形(凸四边形)的内角和是360°，也是360°的约数，所以大小、形状相同的任意三角形、四边形围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角( 360°)时，就能铺满地面．
【变式训练】
下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是( )
A．正六边形和正三角形
B．正六边形和正方形
C．正八边形和正五边形
D．正十二边形和正五边形
知识点 用多种正多边形铺设地面
1．生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是( )
A．正方形 B．正五边形
C．正六边形 D．正十二边形
2．用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有3个等边三角形和__ __个正方形．
3．一底角为60°的等腰梯形的腰长和一个正三角形的边长相等，同时使用这两种图形能否铺满平面？若能，请设计一个图案；若不能，请说明理由．
4．用一个正方形、一个正五边形、一个正十二边形能否镶嵌成平面图案？说明理由．
5．(河南南阳内乡期末)用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m、n满足的关系式是( )
A．2m＋3n＝12 B．m＋n＝8
C．2m＋n＝6 D．m＋2n＝6
6．(海南海口秀英区月考)用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有m个正方形，n个正八边形，则m＋n＝__ __．
7．(海南儋州开学)如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是 __ __．
8．用正三角形、正四边形和正六边形按如下规律镶嵌平面图案，第一个图案中有正三角形6个，第二个图案中有正三角形10个，…，则第12个图案中正三角形的个数为__ __．
9．小芳家进行装修，她在材料市场选中了一种漂亮的正八边形的地砖，可建材行的服务员告诉她，仅一种正八边形的地砖是不能密铺地面的，随又向她推荐各种尺寸、形状、花色的其他地砖，供小芳搭配选用的有：菱形的、正方形的、长方形的、正三角形的、平行四边形的、各种三角形的、等腰直角三角形的、正六边形的、正五边形的、五角星形状的等等，小芳顿时选花了眼，你能帮忙筛选一下吗？如果小芳不选正八边形的地砖，她还可以有哪些选择？(列举2种即可)
10．我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺(镶嵌).我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：
如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°·x＋120°·y＝360°，化简得x＋2y＝6.因为x，y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图1、图2、图3.
(1)请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图4中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图(只要画出一种图形即可).
(2)如果用形状、大小相同的如图5方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．
11.(应用意识)在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成
美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌).这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．
(1)请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …
正多边形每个内角的度数 …
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
(3)在正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图)；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
