9．3 旋转
1．旋转的定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做__旋转中心__，转动的角叫做__旋转角__，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点．旋转的三个要素：__旋转中心__、__旋转角度__和__旋转方向__．
2．旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离__相等__； (2)对应线段__相等__，对应角相等；(3)旋转前、后的图形的形状和大小__不变__．
3．旋转的作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连结对应的部分，形成相应的图形．
考点1 生活中的旋转现象
【典例1】(浙江杭州临平区月考)下列运动形式属于旋转的是( A )
A．荡秋千
B．飞驰的火车
C．传送带移动
D．运动员掷出的标枪
解析：根据题意可知，A.荡秋千属于旋转，符合题意；B.飞驰的火车属于平移，不符合题意；C.传送带移动属于平移，不符合题意；D.运动员掷出的标枪属于抛物线，不符合题意．故选A.
考查了旋转的定义，掌握旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合．
【变式训练】
1．下列运动中不属于旋转的是( C )
A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动
C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动
考点2 旋转的性质
【典例2】在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′(所有顶点都是网格线交点)，在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是( A )
A．点M B．点N C．点P D．点Q
解析：如图，连结AA′、BB′、CC′，作AA′的垂直平分线，作BB′的垂直平分线，作CC′的垂直平分线，由交点在M处，可知旋转中心是点M.故选A.
注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离相等且任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都等于旋转角，旋转中心在连结对应点线段的垂直平分线上．
【变式训练】
2．(河北石家庄裕华区期末)如图，△ABC绕点P逆时针旋转一个角度得到△DEF，则下面选项中不能表示旋转角的是( A )
A．∠CPD B．∠APD
C．∠BPE D．∠CPF
考点3 旋转对称图形
【典例3】(海南儋州月考)如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是( B )
A．30° B．60°
C．80° D．90°
解析：∵题图是由一个弯月绕旋转中心旋转6次而生成的，∴每次旋转的度数可以为360°÷6＝60°，故选B.
旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【变式训练】
3．把如图所示的五角星图案绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为( D )
A．30° B．45°
C．60° D．72°
知识点1 图形的旋转
1．(海南临高县期末)下列事件中，属于旋转运动的是( B )
A．小明向北走了4米
B．小明在荡秋千
C．电梯从1楼到12楼
D．一物体从高空坠下
2．将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是( A )
A B C D
3．我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置A运动到位置A′.
(1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？
(2)运动有何共同点？
(1)上述几种运动是做曲线运动；
(2)运动共同点是属于旋转．
知识点2 旋转的特征
4．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转45°后得到△A′B′C.若∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是( B )
A．30° B．70°
C．80° D．110°
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转45°后得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝45°，∠B＝∠B′＝110°，
∵∠A＝45°，
∴∠ACB＝25°，
∴∠BCA′＝∠ACB＋∠ACA′＝70°.
5．(海南屯昌县一模)如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转36°，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上．则∠C＝( D )
A．54° B．62°
C．68° D．72°
∵把△ABC绕着点A顺时针方向旋转36°，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上，
∴∠CAC′＝36°，AC＝AC′，∠ACB＝∠C′
∴∠ACC′＝∠C′＝×(180°－36°)＝72°，
∴∠ACB＝72°.
故选D.
6．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上任意一点，延长BA到F，使得AF＝AE，连结DF.
(1)旋转△ADF可得到哪个三角形？
(2)旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
(1)旋转△ADF可得△ABE.
(2)由旋转的定义可知，旋转中心为A.
∵AD＝AB，
∴AD和AB之间的夹角为旋转角，即90°.
知识点3 旋转对称图形
7．(海南儋州期末)如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( B )
A.72° B．108°
C．144° D．216°
8．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB＝120°，若每个叶片的面积为4 cm2，则图中阴影部分的面积为__4__cm2.
∵每个叶片的面积为4 cm2,
∴整个图形的面积是12 cm2，
∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，且∠AOB＝120°，
∴阴影部分的面积是整个图形面积的，
∴阴影部分的面积是4 cm2.
易错易混点 旋转的基本性质不熟练致错
9．如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为点D、E，且点E在BC的延长线上，连结BD，则下列结论一定正确的是( C )
A．∠ACE＝∠ADE B．AB＝AE
C．∠CAE＝∠BAD D．CE＝BD
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE.
又∵∠ACE>∠ABC，∴∠ACE>∠ADE.
∵AB≠AC，∴AB≠AE.无法证明：CE＝BD.
故选C.
10．如图，一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：
①∠ACE＝∠BCD；②∠BCE＋∠ACD随着∠ACD的变化而变化；③当AB∥CE时，∠ACD＝60°或150°；④当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC.
其中正确的个数是( A )
备用图
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
∵∠BCD＋∠ACD＝90°，∠ACE＋∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，故①正确；∵∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°＋∠ACE，∴∠BCE＋∠ACD＝90°＋∠ACE＋∠ACD＝90°＋90°＝180°，∴∠BCE＋∠ACD＝180°(是定值)，故②错误；如图1，当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°，∴∠ACD＝∠DCE－∠ACE＝90°－30°＝60°.如图2，当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°，∴∠ACD＝360°－∠ACB－∠BCE－∠DCE＝360°－90°－60°－90°＝120°.综上，当AB∥CE时，∠ACD＝60°或120°，故③错误；设∠ACD＝α，则∠BCE＝3α.由(1)可知，∠BCE＋∠ACD＝180°，∴3α＋α＝180°，∴α＝45°，即∠ACD＝45°，此时DE⊥AC或DE∥AC.故④错误．
图1
图2
图3
11．如图所示的这个图案绕着它的中心旋转角α(0°＜α＜360°)后能够与它本身完全重合，则角α可以为__45(答案不唯一)__度(写出一个即可).
12．一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上).将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后(0＜n＜180 )，如果EF∥AB，那么n的值是__45__．
13．利用对称变换可设计出美丽图案，如图，在方格纸中每一个顶点都在格点上的四边形，且每个小正方形的边长都为1，完成下列问题：
(1)图案设计：先作出四边形关于直线l成轴对称的图形，再将你所作的图形和原四边形绕点O按顺时针旋转90°；
(2)完成上述图案设计后，求这个图案的面积．
(1)如图：
(2)(5×2－2×1××2－3×1××2)×4＝20.
14.(推理能力)如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°.
图1
图2
图3
(1)观察猜想：将图1中的三角尺OCD沿AB方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝__105°__；
(2)操作探究：将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
(3)深化拓展：将图1中的三角尺OCD绕点O沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转多少度时，边CD恰好与边MN平行？
(1)∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°，
∴∠CEN＝105°.
故答案为105°.
(2)∵OD平分∠MON，
∴∠DON＝∠MON＝×90°＝45°，
∴∠DON＝∠D＝45°，
∴CD∥AB，
∴∠CEN＝180°－∠MNO＝180°－30°＝150°.
(3)如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于点F，
∵CD∥MN，
∴∠OFD＝∠M＝60°.
在△ODF中，∠MOD＝180°－∠D－∠OFD＝180°－45°－60°＝75°.
如图2，当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于点F，
∵CD∥MN，
∴∠DFO＝∠M＝60°，
在△DOF中，∠DOF＝180°－∠D－∠DFO＝180°－45°－60°＝75°，
∴旋转角为75°＋180°＝255°.
综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行．9．3 旋转
1．旋转的定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做__ __，转动的角叫做__ __，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点．旋转的三个要素：__ __、__ __和__ __．
2．旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离__ __； (2)对应线段__ __，对应角相等；(3)旋转前、后的图形的形状和大小__ __．
3．旋转的作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连结对应的部分，形成相应的图形．
考点1 生活中的旋转现象
【典例1】(浙江杭州临平区月考)下列运动形式属于旋转的是( )
A．荡秋千
B．飞驰的火车
C．传送带移动
D．运动员掷出的标枪
考查了旋转的定义，掌握旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合．
【变式训练】
1．下列运动中不属于旋转的是( )
A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动
C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动
考点2 旋转的性质
【典例2】在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′(所有顶点都是网格线交点)，在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是( )
A．点M B．点N C．点P D．点Q
注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离相等且任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都等于旋转角，旋转中心在连结对应点线段的垂直平分线上．
【变式训练】
2．(河北石家庄裕华区期末)如图，△ABC绕点P逆时针旋转一个角度得到△DEF，则下面选项中不能表示旋转角的是( )
A．∠CPD B．∠APD
C．∠BPE D．∠CPF
考点3 旋转对称图形
【典例3】(海南儋州月考)如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是( )
A．30° B．60°
C．80° D．90°
旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【变式训练】
3．把如图所示的五角星图案绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为( )
A．30° B．45°
C．60° D．72°
知识点1 图形的旋转
1．(海南临高县期末)下列事件中，属于旋转运动的是( )
A．小明向北走了4米
B．小明在荡秋千
C．电梯从1楼到12楼
D．一物体从高空坠下
2．将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是( )
A B C D
3．我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置A运动到位置A′.
(1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？
(2)运动有何共同点？
知识点2 旋转的特征
4．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转45°后得到△A′B′C.若∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是( )
A．30° B．70°
C．80° D．110°
5．(海南屯昌县一模)如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转36°，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上．则∠C＝( )
A．54° B．62°
C．68° D．72°
6．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上任意一点，延长BA到F，使得AF＝AE，连结DF.
(1)旋转△ADF可得到哪个三角形？
(2)旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
知识点3 旋转对称图形
7．(海南儋州期末)如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )
A.72° B．108°
C．144° D．216°
8．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB＝120°，若每个叶片的面积为4 cm2，则图中阴影部分的面积为__ __cm2.
易错易混点 旋转的基本性质不熟练致错
9．如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为点D、E，且点E在BC的延长线上，连结BD，则下列结论一定正确的是( )
A．∠ACE＝∠ADE B．AB＝AE
C．∠CAE＝∠BAD D．CE＝BD
10．如图，一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：
①∠ACE＝∠BCD；②∠BCE＋∠ACD随着∠ACD的变化而变化；③当AB∥CE时，∠ACD＝60°或150°；④当∠BCE＝3∠ACD时，DE一定垂直于AC.
其中正确的个数是( )
备用图
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．如图所示的这个图案绕着它的中心旋转角α(0°＜α＜360°)后能够与它本身完全重合，则角α可以为__ __度(写出一个即可).
12．一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上).将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后(0＜n＜180 )，如果EF∥AB，那么n的值是__ __．
13．利用对称变换可设计出美丽图案，如图，在方格纸中每一个顶点都在格点上的四边形，且每个小正方形的边长都为1，完成下列问题：
(1)图案设计：先作出四边形关于直线l成轴对称的图形，再将你所作的图形和原四边形绕点O按顺时针旋转90°；
(2)完成上述图案设计后，求这个图案的面积．
14.(推理能力)如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°.
图1
图2
图3
(1)观察猜想：将图1中的三角尺OCD沿AB方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝__ __；
(2)操作探究：将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
(3)深化拓展：将图1中的三角尺OCD绕点O沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转多少度时，边CD恰好与边MN平行？
