9．4 中心对称
1．把一个图形绕着中心旋转__180°__后能与自身重合，这种图形叫做__中心对称__图形，这个中心叫做__对称中心__.
2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形__重合__，那么，就说这两个图形成__中心对称__，这个点叫做__对称中心__，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的__对称点__．
3．中心对称图形的特征：①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．③如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们成中心对称．
考点1 中心对称图形
【典例1】小华用数学软件画出了下列图形，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( D )
解析：A.原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.原图是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选D.
考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
【变式训练】
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( D )
考点2 中心对称
【典例2】八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知△ABC以及△ABC外的一点O，分别作A、B、C关于O的对称点A′、B′、C′，得到△A′B′C′，如图．则下列结论不成立的是( D )
A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
解析：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，∠AOB＝∠A′OB′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∴A、B、C结论成立，D结论不成立．
故选D.
中心对称的特点：(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合．
【变式训练】
2．如图所示的图形是中心对称图形，则对称中心是( D )
A．点C
B．点D
C．线段BC的中点
D．线段FC的中点
知识点1 中心对称图形
1．(海南东方期末)下面四个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D )
2．(海南保亭县期末)数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是( C )
3．如图，在6×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，作△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′.
如图，△A′B′C′为所作．
知识点2 中心对称
4．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是( A )
5．如图，两个五角星关于某一点成中心对称，指出哪一点是对称中心，并指出图中A、B、C、D的对称点．
点A是对称中心．图中A、B、C、D的对称点分别是A、G、H、E.
知识点3 中心对称图形的特征
6．下列描述中心对称的特征的语句中，正确的是( D )
A．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段不一定经过对称中心
B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连结对称点的线段
C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分
D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分
易错易混点 无法逆用中心对称的性质确定辅助线致错
7．(广东佛山期末)如图，在12×6的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，将△ABC旋转180°后得到△A′B′C′，则旋转中心是( C )
A．点P B．点C′ C．点Q D．点R
如图所示，连结AA′、BB′、CC′，
则AA′、BB′、CC′的交点为Q，∴旋转中心是Q.故选C.
8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为__6__．
∵直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2，∴AB＝2，∴阴影部分的面积之和为3×2＝6.
9. 将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是__9__cm2.
由中心对称的性质和正方形的性质，得一个阴影部分的面积等于正方形的面积的，∴四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积．
∵五个正方形的边长都为3 cm，
∴四块阴影面积的总和为9 cm2.
10. (1)请写出是旋转对称图形的两种多边形(正三角形除外)的名称，并分别写出其旋转角α的最小值.
(2)下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形(其顶点均在格点上)，在图2、图3中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案．要求：
①图2中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形；
②图3中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形；
③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案画上阴影(建议用一组平行线段表示阴影).
(1)正方形是旋转对称图形，最小旋转角为90°，正六边形是旋转对称图形，最小旋转角为60°.
(2)①如图2；②如图3.
11. 魔术师把四张扑克牌放在桌子上，如图1，然后蒙住眼睛，请一位观众上台把其中的一张牌旋转180°放好，魔术师解开蒙着眼睛的布后，看到四张牌，如图2，他很快确定了被旋转的那一张牌，聪明的同学们，你知道哪一张牌被观众旋转过吗？说说你的理由.
第一张扑克牌即方块4被观众旋转过．
理由是：这四张扑克牌中后三张上的图案都不是中心对称图形．若它们被旋转过，则与原来的图案是不同的，魔术师通过观察发现后三张扑克牌没有变化，那么变化的自然是第一张扑克牌了．由于方块4的图案是中心对称图形，因此旋转后的图案与原图案完全一样，故选方块4.
12．在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：
(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；
(2)设计的整个图案是某种对称图形．
王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．
名 称 四等分圆的面积
方 案 方案一 方案二 方案三
选用的 工具 带刻度的三角板
画出示 意图
简述设 计方案 作⊙O两条互相垂直的直径AB、CD，将⊙O的面积分成相等的四份
指出对 称性 既是轴对称图形又是中心对称图形
名 称 四等分圆的面积
方 案 方案一 方案二 方案三
选用的 工具 带刻度的三角板 带刻度的三角板、量角器、圆规 带刻度的三角板、圆规
画出示 意图
简述设 计方案 作⊙O两条互相垂直的直径AB、CD，将⊙O的面积分成相等的四份 (1)以点O为圆心，以3个单位长度为半径作圆； (2)在大圆O上依次取三等分点A、B、C； (3)连结OA、OB、OC，则小圆O与三等份圆环把圆O的面积四等分 (4)作圆O的一条直径AB； (5)分别以OA、OB的中点为圆心，以3个单位长度为半径作圆O1、圆O2， 则圆O1、圆O2和圆O中剩余的两部分把圆O的面积四等分
指出对 称性 既是轴对称图形又是中心对称图形 是轴对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形
13.(创新意识)阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
你知道“皮克定理”吗？一张方格纸上，画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都等于单位1，这样两组平行线的交点，就是所谓的格点，一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出，即S＝a＋－1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积(利用图1中的三角形、四边形可以验证)，这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．
任务：
(1)如图2是5×5的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是__7.5__．
(2)已知一个格点多边形的面积S为15，且边界上的点数b是内部点数a的2倍，则a＋b＝__24__．
(3)请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形但不是中心对称图形.
(1)由“皮克定理”可得S＝5＋－1＝7.5；
(2)∵S为15，且边界上的点数b是内部点数a的2倍，∴a＋－1＝15，解得a＝8，则b＝16，
故a＋b＝24；
(3)如图：9．4 中心对称
1．把一个图形绕着中心旋转__ __后能与自身重合，这种图形叫做__ __图形，这个中心叫做__ __.
2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形__ __，那么，就说这两个图形成__ __，这个点叫做__ __，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的__ __．
3．中心对称图形的特征：①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．③如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们成中心对称．
考点1 中心对称图形
【典例1】小华用数学软件画出了下列图形，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
【变式训练】
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
考点2 中心对称
【典例2】八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知△ABC以及△ABC外的一点O，分别作A、B、C关于O的对称点A′、B′、C′，得到△A′B′C′，如图．则下列结论不成立的是( )
A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
中心对称的特点：(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合．
【变式训练】
2．如图所示的图形是中心对称图形，则对称中心是( )
A．点C
B．点D
C．线段BC的中点
D．线段FC的中点
知识点1 中心对称图形
1．(海南东方期末)下面四个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2．(海南保亭县期末)数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是( )
3．如图，在6×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，作△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′.
知识点2 中心对称
4．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是( )
5．如图，两个五角星关于某一点成中心对称，指出哪一点是对称中心，并指出图中A、B、C、D的对称点．
知识点3 中心对称图形的特征
6．下列描述中心对称的特征的语句中，正确的是( )
A．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段不一定经过对称中心
B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连结对称点的线段
C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分
D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分
易错易混点 无法逆用中心对称的性质确定辅助线致错
7．(广东佛山期末)如图，在12×6的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，将△ABC旋转180°后得到△A′B′C′，则旋转中心是( )
A．点P B．点C′ C．点Q D．点R
8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为__ __．
9. 将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是__ __cm2.
10. (1)请写出是旋转对称图形的两种多边形(正三角形除外)的名称，并分别写出其旋转角α的最小值.
(2)下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形(其顶点均在格点上)，在图2、图3中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案．要求：
①图2中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形；
②图3中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形；
③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案画上阴影(建议用一组平行线段表示阴影).
11. 魔术师把四张扑克牌放在桌子上，如图1，然后蒙住眼睛，请一位观众上台把其中的一张牌旋转180°放好，魔术师解开蒙着眼睛的布后，看到四张牌，如图2，他很快确定了被旋转的那一张牌，聪明的同学们，你知道哪一张牌被观众旋转过吗？说说你的理由.
12．在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：
(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；
(2)设计的整个图案是某种对称图形．
王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．
名 称 四等分圆的面积
方 案 方案一 方案二 方案三
选用的 工具 带刻度的三角板
画出示 意图
简述设 计方案 作⊙O两条互相垂直的直径AB、CD，将⊙O的面积分成相等的四份
指出对 称性 既是轴对称图形又是中心对称图形
13.(创新意识)阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
你知道“皮克定理”吗？一张方格纸上，画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都等于单位1，这样两组平行线的交点，就是所谓的格点，一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出，即S＝a＋－1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积(利用图1中的三角形、四边形可以验证)，这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．
任务：
(1)如图2是5×5的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是__ __．
(2)已知一个格点多边形的面积S为15，且边界上的点数b是内部点数a的2倍，则a＋b＝__ __．
(3)请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形但不是中心对称图形.
