章末过关检测（第8章 三角形）
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的)
1．如图中∠1是三角形一个外角的是( )
2．以下列每组数为长度(单位：cm)的三根小木棒，其中能搭成三角形的是( )
A．2、2、4 B．1、2、3 C．3、4、5 D．3、4、8
3．在△ABC中，如果∠A＝91°＋∠B，那么△ABC是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
4．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于点H，下面判断正确的有( )
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③CH是△ACD边AD上的高．
A.0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是( )
A．6 B．7 C．11 D．12
6．若一个多边形从一个顶点可以引5条对角线，则它是( )
A．五边形 B．六边形
C．七边形 D．八边形
7．如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2等于( )
A．120° B．240°
C．300° D．360°
8．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( )
A．正三角形、正方形、正六边形
B．正三角形、正方形、正五边形
C．正方形、正五边形
D．正三角形、正方形、正五边形、正六边形
9．如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE.若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为( )
A．65° B．75°
C．85° D．95°
10．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：如图，从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是( )
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走
B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走
D．每段直路要长
11．一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你！这个人字架中的∠3＝110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
12．如图，∠1、∠2、∠3、∠4满足的关系是( )
A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4
B．∠1＋∠2＝∠4－∠3
C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3
D．∠1＋∠4＝∠2－∠3
二、填空题(本大题满分12分，每小题3分)
13．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__ __．
第13题图
14．在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝__ __.
15．如图所示的地面由正五边形和正n边形两种地砖镶嵌而成，则∠ABC的度数为__ __°.
16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝12，则S1－S2的值为__ __.
三、解答题(本大题满分72分)
17．(12分)(1)已知a、b、c为三角形的三边，化简：|c－a－b|＋|b＋c－a|.
(2)如图，∠A＝40°，∠B＝55°，∠C＝25°，求∠ADC的度数．
18．(10分)如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；
(2)在△BED中作BD边上的高线；
(3)若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？
19．(10分)如图1，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F.
(1)试探索∠DEF与∠B，∠C的等量关系；
(2)如图2，当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否成立，并说明理由．
20．(10分)在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12 cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框．
(1)小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2 cm.试判断第一段的长能否为3 cm，并说明理由；
(2)小亮先把木棒剪成如图所示的AB＝4 cm和CD＝8 cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度．
21．(15分)在三角形三个内角中，如果满足其中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角α称为“主特征角”，内角β称为“次特征角”．
(1)已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，判断△ABC是否为“特征三角形”，并说明理由；
(2)在△DEF中，∠D＝96°，若△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，求∠E的度数．
22．(15分)大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设．
探究：正多边形的平面图形密铺
正多边形是指各边相等、各角相等的多边形．
用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°.
共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺．
如图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明．
解：设有x个正五边形．因为正五边形的每一个内角为108°，
若想用x个108°围成360°，则108x＝360，解得x＝(不符合题意).
所以正五边形不可以共顶点单一密铺．
问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明．
问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由．
问题3：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案．章末过关检测（第8章 三角形）
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的)
1．如图中∠1是三角形一个外角的是( D )
2．以下列每组数为长度(单位：cm)的三根小木棒，其中能搭成三角形的是( C )
A．2、2、4 B．1、2、3 C．3、4、5 D．3、4、8
3．在△ABC中，如果∠A＝91°＋∠B，那么△ABC是( B )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
4．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于点H，下面判断正确的有( B )
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③CH是△ACD边AD上的高．
A.0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是( C )
A．6 B．7 C．11 D．12
6．若一个多边形从一个顶点可以引5条对角线，则它是( D )
A．五边形 B．六边形
C．七边形 D．八边形
7．如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2等于( B )
A．120° B．240°
C．300° D．360°
8．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( A )
A．正三角形、正方形、正六边形
B．正三角形、正方形、正五边形
C．正方形、正五边形
D．正三角形、正方形、正五边形、正六边形
9．如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE.若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为( B )
A．65° B．75°
C．85° D．95°
∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠EBC＝80°.
∵∠CAD＋∠ADC＋∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，
∴∠ACB＝180°－25°－80°＝75°.
10．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：如图，从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是( A )
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走
B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走
D．每段直路要长
11．一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你！这个人字架中的∠3＝110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是( C )
A．50° B．60° C．70° D．80°
12．如图，∠1、∠2、∠3、∠4满足的关系是( D )
A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4
B．∠1＋∠2＝∠4－∠3
C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3
D．∠1＋∠4＝∠2－∠3
二、填空题(本大题满分12分，每小题3分)
13．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__三角形具有稳定性__．
第13题图
14．在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝__120°__.
15．如图所示的地面由正五边形和正n边形两种地砖镶嵌而成，则∠ABC的度数为__144__°.
∵正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
∴正五边形的每个内角度数为540°÷8＝108°，
∴∠ABC＝360°－2×108°＝144°.
故答案为144.
16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝12，则S1－S2的值为__2__.
三、解答题(本大题满分72分)
17．(12分)(1)已知a、b、c为三角形的三边，化简：|c－a－b|＋|b＋c－a|.
(2)如图，∠A＝40°，∠B＝55°，∠C＝25°，求∠ADC的度数．
(1)∵a、b、c是三角形的三条边，
∴c－a－b＜0，b＋c－a＞0，
∴|c－a－b|＋|b＋c－a|
＝－(c－a－b)＋(b＋c－a)
＝a＋b－c＋b＋c－a
＝2b.
(2)延长AD交BC于点E，如图所示．
∵∠ADC是△CDE的一个外角，
∴∠ADC＝∠C＋∠CED.
又∵∠CED是△ABE的一个外角，
∴∠CED＝∠A＋∠B，
∴∠ADC＝∠C＋∠A＋∠B.
∵∠A＝40°，∠B＝55°，∠C＝25°，
∴∠ADC＝25°＋40°＋55°＝120°.
18．(10分)如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；
(2)在△BED中作BD边上的高线；
(3)若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？
(1)∵∠BED是△ABE的一个外角，
∴∠BED＝∠ABE＋∠BAD＝15°＋35°＝50°.
(2)如图所示，EF即是△BED中BD边上的高线.
(3)∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S△BED＝S△ABC＝×60＝15.
∵BD＝5,
∴EF＝2S△BED÷BD＝2×15÷5＝6，即点E到BC边的距离为6.
19．(10分)如图1，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F.
(1)试探索∠DEF与∠B，∠C的等量关系；
(2)如图2，当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否成立，并说明理由．
(1)如图1，过点A作AG⊥BC于点G，则EF∥AG，
∴∠DEF＝∠DAG，
∵∠AGC＝90°，
∴∠CAG＝90°－∠C，
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)＝90°－(∠B＋∠C)，
∵∠DAG＝∠2－∠CAG＝90°－(∠B＋∠C)－(90°－∠C)＝(∠C－∠B)，
∴∠DEF＝(∠C－∠B).
图1
图2
(2)成立，理由如下：如图2，过点A作AH⊥BC于点H，
则∠CAH＝90°－∠C，
∵∠1＝∠2，∴∠2＝(180°－∠B－∠C)，
∴∠DAH＝∠2－∠CAH＝(180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝(∠C－∠B)，
∵EF⊥BC，∴∠DEF＋∠EDF＝90°，
又∵∠DAH＋∠ADH＝90°，∠EDF＝∠ADH(对顶角相等)，
∴∠DEF＝∠DAH，
∴∠DEF＝(∠C－∠B).
20．(10分)在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12 cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框．
(1)小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2 cm.试判断第一段的长能否为3 cm，并说明理由；
(2)小亮先把木棒剪成如图所示的AB＝4 cm和CD＝8 cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度．
(1)第一段的长不能为3 cm；
理由如下：根据题意，第一段长a cm，第二段长(3a－2)cm，
∴第三段的长为[12－a－(3a－2)]＝(14－4a)cm.
当a＝3 cm时，3a－2＝7(cm)，14－4a＝2(cm).
∵3＋2＜7，
∴三段木棒不能制作一个三角形木框，
∴第一段的长不能为3 cm；
(2)设CP＝x cm，则PD＝(8－x)cm.
∵AB、CP、PD能组成三角形，
∴x＋4＞8－x且4＋8－x＞x，
解得2＜x＜6，
∴整数x为3或4或5，即符合条件的CP的整数长度为3 cm或4 cm或5 cm.
21．(15分)在三角形三个内角中，如果满足其中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角α称为“主特征角”，内角β称为“次特征角”．
(1)已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，判断△ABC是否为“特征三角形”，并说明理由；
(2)在△DEF中，∠D＝96°，若△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，求∠E的度数．
(1)∵在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°－30°－50°＝100°.
由于∠C＝2∠B，∴△ABC是“特征三角形”．
(2)在△DEF中，∠D＝96°，
∴∠E＋∠F＝180°－96°＝84°，
由于△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，
①当∠D＝2∠E时，即2∠E＝96°，
∴∠E＝48°；
②当∠F＝2∠E时，即2∠E＋∠E＝84°，解得∠E＝28°；
综上所述，∠E＝48°或∠E＝28°.
22．(15分)大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设．
探究：正多边形的平面图形密铺
正多边形是指各边相等、各角相等的多边形．
用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°.
共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺．
如图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明．
解：设有x个正五边形．因为正五边形的每一个内角为108°，
若想用x个108°围成360°，则108x＝360，解得x＝(不符合题意).
所以正五边形不可以共顶点单一密铺．
问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明．
问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由．
问题3：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案．
问题1：设有x个正三角形．∵正三角形的每一个内角为60°，
若想用x个60°围成360°，则60x＝360，
解得x＝6，∴正三角形可以共顶点单一密铺；
问题2：①正方形可以共顶点单一密铺．理由如下：设有x个正方形．
∵正方形的每一个内角为90°，
若想用x个90°围成360°，则
90x＝360，解得x＝4，∴正方形可以共顶点单一密铺；
②正六边形可以共顶点单一密铺．理由如下：设有x个正六边形．
∵正六边形的每一个内角为120°，若想用x个120°围成360°，则120x＝360，解得x＝3，∴正六边形可以共顶点单一密铺；
问题3：正三角形、正方形与正六边形可以共顶点组合密铺；
设有x个正三角形，y个正方形．z个正六边形．
∵正三角形的每一个内角为60°，正方形的每一个内角是90°，正六边形的每一个内角是120°，
若想用x个60°、y个90°与z个120°围成360°，则60x＋90y＋120z＝360，即2x＋3y＋4z＝12，
这个三元一次方程的正整数解为x＝1，y＝2，z＝1，
∴正三角形、正方形与正六边形可以共顶点组合密铺．
