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第6章 平行四边形
6.2 平行四边形的判定 第1课时
1.理解平行四边形的判定定理1和判定定理2.
2.能运用平行四边形的定义及判别定理1、2判别一个四边形是否为平行四边形.
活动1:两组对边分别平行的四边形是平行四边形,把定义中的“两组对边平行”改为“一组对边平行且相等”,画出满足这两个条件的四边形,说说你的画法.
问题:观察得到的四边形,思考满足一组对边平行且相等的四边形会是平行四边形吗?请说明理由.
任务一:探究平行四边形的判定定理.
在平行线 和 上截取AD=BC,
连接AB、DC得到四边形ABCD.
B
A
D
C
已知:四边形ABCD中,AD=BC且AD∥BC,
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:连接AC.
∵AD∥BC, ∴∠1=∠2.
∵CD=AB,AC=CA,
∴△CDA≌△ABC(SAS)
∴∠3=∠4 ∴ AB∥CD .
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
3
4
1
2
判定定理1:一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形.
活动2:如图,若已知一个四边形的两组对边分别相等,能判定这个四边形是平行四边形吗 说明理由.
已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC.
求证:四边形ABCD是平行四边形
证明:连接AC
∵AB=CD,AD=BC,AC=CA
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∴AD//BC,AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形
A
D
B
C
1
4
3
2
判定定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
1.平行四边形的判定定理2和性质定理1有什么关系?
2.从判定的共同点上,你发现判定定理1和判定定理2有什么关系?
小组讨论
归纳:判定定理1、2本质是由条件推出两组对边分别平行(平行四边形定义),已知一组对边相等,证明该组对边平行或另一组对边相等即可证明四边形是平行四边形.
性质定理1:平行四边形的对边相等.
判定定理1:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
判定定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
任务二:运用判别定理判别一个四边形是否为平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC,
∵点E,F分别是AD,BC的中点,
∴
∴DE=BF,
∴四边形BEDF是平行四边形(判定定理1).
活动:如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是AD,BC的中点.
求证四边形BEDF是平行四边形.
练一练
如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.
(1)求证:△ACD≌△CBE;
(2)求证:四边形CBED是平行四边形.
证明:(1)∵点C是AB的中点,∴AC=BC.
∵AD=CE,CD=BE,AC=BC
∴△ACD≌△CBE(SSS),
(2)∵△ACD≌△CBE,∴∠ACD=∠CBE,∴CD∥BE.
又∵CD=BE,∴四边形CBED是平行四边形.
1.已知四边形ABCD中有四个条件:AB∥CD,AB=CD,BC∥AD,BC=AD,从中任选两个,不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是( )
A.AB∥CD,AB=CD
B.AB∥CD,BC∥AD
C.AB∥CD,BC=AD
D.AB=CD,BC=AD
C
2.已知:如图,在四边形ABCD中,∠ADB=∠CBD, ∠ABD=∠CDB.
求证:四边形ABCD是平行四边形
证法1:
∵∠ADB=∠CBD ∴AD//BC
∵∠ABD=∠CDB ∴AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形定义)
证法2:
∵∠ADB=∠CBD,BD=DB,∠ABD=∠CDB
∴△ABD≌△CDB(ASA) ∴AB=CD,AD=CB
∴四边形ABCD是平行四边形(判定定理2)
针对本节课的关键词“平行四边形的判定”,你能说说学到了哪些知识吗?
判定定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定定理1:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
定义法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的判定