备战湖北省2025年高考数学模拟试卷07（含答案）
文档属性
| 名称 | 备战湖北省2025年高考数学模拟试卷07（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 768.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 其它版本 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-02 16:36:52 | ||
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文档简介
备战湖北省2025年高考数学模拟试卷07
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，，则实数a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则实数（ ）．
A． B． C． D．
4．已知数列，则“”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ）
A．甲：平均数为，中位数为 B．乙：中位数为，众数为
C．丙：平均数为，方差为 D．丁：中位数为，方差为
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设复数，，则（ ）
A．的虚部为
B．的共轭复数为
C．
D．在复平面内，复数对应的点位于第四象限
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值是1
D．把的图象向右平移2个单位长度，所得图象与函数的图象关于轴对称
11．若不等式在时恒成立，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．2
第II卷（非选择题）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则 ．
13．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有 种（用数字作答）.
14．已知函数的定义域均为R，且满足则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）如图，中，角、、的对边分别为、、.
(1)若，求角的余弦值大小；
(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.
16．（15分）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的零点个数.
17．（15分）如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2.
(1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
18．（17分）已知为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右顶点，且直线与的斜率之和为．
(1)求双曲线的方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线的倾斜角分别为和，且，证明：直线过定点．
19．（17分）从数列中选取第项，第项，，第项（），若数列，，，是递增数列或递减数列（规定时，该数列既是递增数列，也是递减数列），称，，，为数列的长度为m的单调子列.已知有穷数列A：，，，（），任意两项均不相同，现以A的每一项为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有项，则，，，构成一个新数列B.
(1)当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；
（ⅰ）1，3，5，7；
（ⅱ）4，1，2，6，3.
(2)若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；
(3)若数列A共有（）项，求证：A必存在一个长度为的单调子列.
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C B C A B C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。
9 10 11
ABD ACD BCD
第II卷（非选择题）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2 13. 288 14.-1590
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形内角和定理与和角的正弦公式化简即得；
（2）由余弦定理得到的关系式，利用基本不等式求得，即得周长的最大值.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得即，
则，
整理得，而，即.（6分）
（2）在中，，
由余弦定理得，即，
于是，
解得，当且仅当时取等号，
所以当时，周长取得最大值.（13分）
16．（15分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据已知条件及导数的求导法则，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；
（2）利用导数法求含参函数的单调性，进而求出函数的最值，结合函数的单调性、函数的最值关系和函数零点存在定理对a的范围进行分类讨论，即可求解函数零点个数.
【详解】（1）若，则.
又,切点为，
曲线在处的斜率，
故所求切线方程为即.（5分）
（2）由题．
1°当时，在上单调递减，又.
故存在一个零点，此时零点个数为1. （7分）
2°当时，令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
故的最小值为.（9分）
当时，的最小值为0，此时有一个零点.
当时，的最小值大于0，此时没有零点．
当时，的最小值小于0，，
时，，此时有两个零点. （14分）
综上，当或时，有一个零点；
当时，有两个零点；
当时，没有零点. （15分）
17．（15分）
【答案】(1)存在，(2)．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设.结合，得，利用，计算得出结果；
（2）利用空间向量法计算平面与平面所成角的余弦值；
【详解】（1）存在点，且当时，.
由题意，知两两垂直，所以以点O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为
所以可求得
所以所以.
因为点在线段上，所以可设.因为，所以点，
所以，
假设存在点，使得，则，
所以，解得，即所以，
所以存在点，且当时，.（8分）
（2）由（1）得
所以，，，=.
设平面的法向量为，则，
取，得，则是平面的一个法向量.
设平面的法向量为，则，
取，得，则是平面的一个法向量.
设平面与平面所成的角为，
则=，
所以平面与平面所成角的余弦值为．（15分）
18．（17分）
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）利用及点在双曲线上，可构造方程求得，从而得到双曲线方程；
（2）验证可知直线斜率均存在，由斜率与倾斜角关系可得，将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论；利用两点连线斜率公式，结合韦达定理可表示出，化简整理得到或，验证可知满足题意，由直线过定点的求法可求得结果.
【详解】（1）由题意知：，，
，，
又在双曲线上，
，解得：；
双曲线的方程为：.（5分）
（2）当直线中的一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则，，
，直线，即，
由得：，解得：，
即直线与双曲线相切于点，不合题意；
直线斜率均存在，则，，
，
，即，
；
设，由得：
且，，，
，，
由得：，
，
，
，
整理可得：，即，或，
当时，直线恒过点，不合题意；
当时，满足，此时直线恒过点；
综上所述：直线过定点.（17分）
19．（17分）
【答案】(1)（ⅰ）4，3，2，1；（ⅱ）2，3，2，1，1.
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）理解数列新定义，从而得解；
（2）对等差数列进行分类：即递减等差数列和递增等差数列，然后根据新定义推导新数列的元素及通项，就可得以证明；
（3）利用反证法，结合数列的新定义即可得解.
【详解】（1）（ⅰ）根据题意：选，则有1，3，5，7，共有项；
选，则有3，5，7，共有项；
选，则有5，7，共有项；
选，则有7，共有项；
所以数列B为：4，3，2，1；（5分）
（ⅱ）同理数列B为：2，3，2，1，1. （7分）
（2）设数列A的公差为d，因为，
当时，数列A为单调递减数列，
所以，
所以B为等差数列.
当时，数列A为单调递增数列，
以数列A的任意项为首项选取长度最大的递增的单调子列为，，，，.
所以（，2，3，，n）.
所以B为等差数列，
综上，当数列A为等差数列时，数列B也为等差数列. （13分）
（3）若，，，中有一个，
那么数列A存在一个长为的递增子列.
所以A存在一个长度为的单调子列.
若数列A不存在长度超过t的递增子列，即，，2，3，，.
所以在，，，中，至少有个数是相等的.
取其中项，不妨设为，其中.
下面证明当，且时，，
假设，将加到以为首项长度为b的递增子列前面，
构成了以为首项长度为的递增子列，
与为首项的最长递增子列的项数为b矛盾，假设不成立.
所以，
由此可知，.
所以，，，，构成了一个长为的递减子列.
综上，A必存在一个长度为的单调子列. （17分）
试卷第2页，共22页
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，，则实数a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则实数（ ）．
A． B． C． D．
4．已知数列，则“”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ）
A．甲：平均数为，中位数为 B．乙：中位数为，众数为
C．丙：平均数为，方差为 D．丁：中位数为，方差为
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设复数，，则（ ）
A．的虚部为
B．的共轭复数为
C．
D．在复平面内，复数对应的点位于第四象限
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值是1
D．把的图象向右平移2个单位长度，所得图象与函数的图象关于轴对称
11．若不等式在时恒成立，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．2
第II卷（非选择题）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则 ．
13．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有 种（用数字作答）.
14．已知函数的定义域均为R，且满足则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）如图，中，角、、的对边分别为、、.
(1)若，求角的余弦值大小；
(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.
16．（15分）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的零点个数.
17．（15分）如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2.
(1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
18．（17分）已知为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右顶点，且直线与的斜率之和为．
(1)求双曲线的方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线的倾斜角分别为和，且，证明：直线过定点．
19．（17分）从数列中选取第项，第项，，第项（），若数列，，，是递增数列或递减数列（规定时，该数列既是递增数列，也是递减数列），称，，，为数列的长度为m的单调子列.已知有穷数列A：，，，（），任意两项均不相同，现以A的每一项为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有项，则，，，构成一个新数列B.
(1)当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；
（ⅰ）1，3，5，7；
（ⅱ）4，1，2，6，3.
(2)若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；
(3)若数列A共有（）项，求证：A必存在一个长度为的单调子列.
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C B C A B C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。
9 10 11
ABD ACD BCD
第II卷（非选择题）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2 13. 288 14.-1590
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形内角和定理与和角的正弦公式化简即得；
（2）由余弦定理得到的关系式，利用基本不等式求得，即得周长的最大值.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得即，
则，
整理得，而，即.（6分）
（2）在中，，
由余弦定理得，即，
于是，
解得，当且仅当时取等号，
所以当时，周长取得最大值.（13分）
16．（15分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据已知条件及导数的求导法则，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；
（2）利用导数法求含参函数的单调性，进而求出函数的最值，结合函数的单调性、函数的最值关系和函数零点存在定理对a的范围进行分类讨论，即可求解函数零点个数.
【详解】（1）若，则.
又,切点为，
曲线在处的斜率，
故所求切线方程为即.（5分）
（2）由题．
1°当时，在上单调递减，又.
故存在一个零点，此时零点个数为1. （7分）
2°当时，令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
故的最小值为.（9分）
当时，的最小值为0，此时有一个零点.
当时，的最小值大于0，此时没有零点．
当时，的最小值小于0，，
时，，此时有两个零点. （14分）
综上，当或时，有一个零点；
当时，有两个零点；
当时，没有零点. （15分）
17．（15分）
【答案】(1)存在，(2)．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设.结合，得，利用，计算得出结果；
（2）利用空间向量法计算平面与平面所成角的余弦值；
【详解】（1）存在点，且当时，.
由题意，知两两垂直，所以以点O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为
所以可求得
所以所以.
因为点在线段上，所以可设.因为，所以点，
所以，
假设存在点，使得，则，
所以，解得，即所以，
所以存在点，且当时，.（8分）
（2）由（1）得
所以，，，=.
设平面的法向量为，则，
取，得，则是平面的一个法向量.
设平面的法向量为，则，
取，得，则是平面的一个法向量.
设平面与平面所成的角为，
则=，
所以平面与平面所成角的余弦值为．（15分）
18．（17分）
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）利用及点在双曲线上，可构造方程求得，从而得到双曲线方程；
（2）验证可知直线斜率均存在，由斜率与倾斜角关系可得，将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论；利用两点连线斜率公式，结合韦达定理可表示出，化简整理得到或，验证可知满足题意，由直线过定点的求法可求得结果.
【详解】（1）由题意知：，，
，，
又在双曲线上，
，解得：；
双曲线的方程为：.（5分）
（2）当直线中的一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则，，
，直线，即，
由得：，解得：，
即直线与双曲线相切于点，不合题意；
直线斜率均存在，则，，
，
，即，
；
设，由得：
且，，，
，，
由得：，
，
，
，
整理可得：，即，或，
当时，直线恒过点，不合题意；
当时，满足，此时直线恒过点；
综上所述：直线过定点.（17分）
19．（17分）
【答案】(1)（ⅰ）4，3，2，1；（ⅱ）2，3，2，1，1.
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）理解数列新定义，从而得解；
（2）对等差数列进行分类：即递减等差数列和递增等差数列，然后根据新定义推导新数列的元素及通项，就可得以证明；
（3）利用反证法，结合数列的新定义即可得解.
【详解】（1）（ⅰ）根据题意：选，则有1，3，5，7，共有项；
选，则有3，5，7，共有项；
选，则有5，7，共有项；
选，则有7，共有项；
所以数列B为：4，3，2，1；（5分）
（ⅱ）同理数列B为：2，3，2，1，1. （7分）
（2）设数列A的公差为d，因为，
当时，数列A为单调递减数列，
所以，
所以B为等差数列.
当时，数列A为单调递增数列，
以数列A的任意项为首项选取长度最大的递增的单调子列为，，，，.
所以（，2，3，，n）.
所以B为等差数列，
综上，当数列A为等差数列时，数列B也为等差数列. （13分）
（3）若，，，中有一个，
那么数列A存在一个长为的递增子列.
所以A存在一个长度为的单调子列.
若数列A不存在长度超过t的递增子列，即，，2，3，，.
所以在，，，中，至少有个数是相等的.
取其中项，不妨设为，其中.
下面证明当，且时，，
假设，将加到以为首项长度为b的递增子列前面，
构成了以为首项长度为的递增子列，
与为首项的最长递增子列的项数为b矛盾，假设不成立.
所以，
由此可知，.
所以，，，，构成了一个长为的递减子列.
综上，A必存在一个长度为的单调子列. （17分）
试卷第2页，共22页
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