苏科版数学九年级下学期期末同步测试卷（含解析）

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期末同步练习卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．一个球从地面竖直向上弹起，经过秒时球的高度为米，和满足关系式，则球离地面不低于米的持续时间是（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
3．如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的上弦米，，则中柱（D为底边中点）的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．在中，，交延长线于点，，垂足为若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，在平面直角坐标系中，，是正方形中，边上的点，且，，，点的坐标为，将以点为旋转中心顺时针旋转，则点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．
① ② ③ ④，以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率为0.2，则估计口袋中大约有红球 个．
9．在中，，则 ．
10．如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ．
11．如图，在正方形中，P为边的中点，连接，交于点O，过点B作于点Q，则 ．
12．一段拦水坝横断面如图所示，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，若，则坡面的长度为 m．
13．定义：对于函数图象上的两点，将的值称为该函数图象在段的“攀登值”，记作．已知二次函数的图象上有两点，若对于任意的均满足当时，该函数图象在段的“攀登值”始终有，则a的取值范围是 ．
14．如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ．
15．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．（精确到）
三、解答题
16．如图，在中，点为边上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）
17．如图，在矩形中，平分，交于点，过点作于点，连接交于点，连 接．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)如果，，求的值．
18．在日常生活中我们经常会便用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，求连接杆的长度．（结果保留根号）（参考数据：，，）
19．如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图．
(1)图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的；
(2)图②中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的．
20．四边形内接于，为直径，连结，过A作于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点，连结，且；
①求证：；
②若，，求的长．
21．每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，．

(1)求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）；
(2)现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度．
22．2024年11月30日22时48分，长征十二号运载火箭在文昌市东郊镇的海南商业航天发射场成功进行了首次发射．此次发射不仅拓宽了我国新一代运载火箭的型谱，还探索了商业航天组织、试验、发射的新模式，对于促进我国商业航天产业的发展具有重要意义．同时，这也意味着海南商业航天发射场将为我国民、商大规模低轨星座组网任务等空间基础设施工程建设提供强有力的发射保障．海南商业航天发射场的成功建立和使用，填补了我国没有商业航天发射场的空白，完成了商业航天全产业链闭环，提升了我国航天发射能力．为此，某校举行了一次航天科普知识竞赛（百分制），为了更好地了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了m名学生的成绩x（单位：分）作为样本进行整理，并将结果绘制成如下不完整的统计图．
A：
B：
C：
D：
E：
请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)若想了解某班航天科普知识竞赛的情况，更适合采用 （填写“普查”或“抽样调查”）；
(2) ，在扇形统计图中，D部分所对应扇形的圆心角度数为 ；
(3)若从该样本中随机抽取一名学生航天科普知识竞赛的成绩，其恰好在“”范围的概率是 ；
(4)若成绩在“”为“优秀”，则该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有 人．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，并且与轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD轴交AB于点D，点E 为线段DB上一点，且DE=，过点E作EFPD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大 并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为轴负半轴上一点，且GO=2，沿轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为，直线交轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由．
《期末同步练习卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D B A A B C
1．C
【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，根据锐角的正切等于对边比邻边解答．
【详解】解：如图，
∵在中，，
∴．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程，解题关键是理解题意，通过解方程作答．将代入，求出的值，再结合二次函数的图象与性质即可求解．
【详解】解：当时，，
解得：，，
由中，，
则时，对应的的取值范围是，
则球离地面不低于米的持续时间是，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了解直角三角形应用，等腰三角形的性质，掌握边角之间的转化是解题的关键．先得到，继而由即可求解．
【详解】解：由题意得，而D为底边中点，
∴，
∵在中，，，，
∴米，
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查了解直角三角形和锐角三角比等知识点，熟练掌握锐角三角比是解题的关键．
利用等角的三角比相等和解直角三角形表示出相关的边，即可解此题．
【详解】解：由题可知，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
在中，
，
令，，
又，
，
则，
在中，
，
，
．
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴负半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第四象限，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴在x轴负半轴上；
∵二次函数顶点在第二象限，
∴当时，，
∵二次函数与x轴无交点，
∴，
∴点在第四象限，
∴经过点和点的直线一定经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
6．B
【分析】由正方形的性质得，再运用勾股定理列式计算，然后结合旋转性质，证明，整理得，结合，得出，即可作答．
【详解】解：四边形是正方形，点的坐标为，
．
，
．
在中，．
如图，由题意可知旋转后点的对应点在直线上，过点作轴于点，
则，
，
，
．
设为，
则，
在Rt中，，
即，
解得（负值舍去），
，
点的坐标为．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转性质，坐标与图形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
7．C
【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由射线的作法可知是的角平分线，由三角形角平分线的定义可得，由此即可判断结论①；由等角对等边可得，由三角形外角的性质可得，则，由等角对等边可得，进而可得，由此即可判断结论②；由，可证得，于是可得，进而可得，即，整理得，解得或（不符合题意，故舍去），则，即，进而可得，由此即可判断结论③；由，可得，进而可得，利用三角形的面积公式可得，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论．
【详解】解：，，
，
由题意可知：是的角平分线，
，故结论①正确；
，
，
，
，
，
，故结论②正确；
，，
，
，
，
即：，
整理，得：，
解得：或（不符合题意，故舍去），
，
即：，
，故结论③错误；
，，
，
，
，故结论④正确；
综上，正确的结论有：，共个，
故选：．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作角平分线（尺规作图），三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，公式法解一元二次方程，分母有理化，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握黄金分割及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
8．32
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率公式、解分式方程，正确运用概率公式是解题关键．根据题意，设口袋里面大约有个红球，根据摸到黄球的频率是，则，解出分式方程，即可．
【详解】解：设口袋中大约有个红球，
∵口袋里面有个黄球，摸到黄球的频率是
∴
解得：．
经检验，是方程的解．
故答案为：．
9．/105度
【分析】本题考查非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，先根据算术平方根和绝对值的非负性求出和，进而求出和，再求出，即可求解．
【详解】解：，
，，
，，
，，
．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线．
在上截取，，导角证明，即可证明．
【详解】解：在上截取，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中与相似的三角形是，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，设，证明可求得，证明可得，即可解答，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：设，
P为边的中点，
，
四边形为正方形，
，，
根据勾股定理可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键．根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵坡的斜坡坡度，
∴，即，
解得，， 经检验符合题意，
由勾股定理得，
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得，可得，再结合进一步解答即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴；
故答案为：
14．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得， 且轴，从而求得的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得的坐标．
【详解】解：的顶点在抛物线上，
， 解得，
抛物线为，
点，
将绕点顺时针旋转， 得到，
点 在轴上，且，
轴，
点的纵坐标为2，
代入， 得，
解得，
故答案为．
15．6
【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到关键点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发 生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， 综上有：，
解得．
故答案为：6．
16．作图见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似．要使，已有（公共角），则只需作出即可；
以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与前面所画弧相交于点Q；连接并延长，交于点，则点即为所求．
【详解】解：如图所示，点即为所求，
17．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的判定与性质，平行线的性质，三角函数等知识，熟练掌握矩形的性质，证明四边形是正方形是解题的关键．
（）由矩形的性质得出， ，，证出四边形是矩形，再证明，即可得出四边形是正方形；
（）由正方形的性质得出，，，得出，求出，在中，由三角函数即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴
∴四边形是矩形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
18．
【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，先根据在Rt中，，，且结合勾股定理列式计算得，，运用线段的和差关系得，然后根据勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图，过点作于点．
在Rt中，，，
则设，
∴，
则，
∴，
解得（负值已舍去）
，，
，，
，
．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积性质，熟练掌握作图是解题的关键．
（1）图①中，利用同高的两个三角形的面积之比等于对应底的比，取画图即可；
（2）利用平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，使得即可．
本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理
【详解】（1）解：如图，使得，连接.
则面积为面积的；
则点D即为所求．
（2）解：如图，构造平行四边形，且，
使得，
设与交于点E．
∵，
∴，
则面积为面积的；
则点E即为所求．
20．(1)见详解
(2)①见详解；②
【分析】（1）由为直径，于点H，得，所以，，由圆周角定理得，则问题可求证；
（2）①由，得，而，所以，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证；
②作于点L，由，且，得，则，设，由，得，则，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】（1）证明：∵为直径，于点H，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（2）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②解：如图2，作于点L，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，此题综合性质强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．(1)
(2)米
【分析】（1）根据题意，得到，，得到抛物线的对称轴为，设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程即可求抛物线的解析式．
（2）根据题意，两立柱间的距离为，则，，把代入解析式，再计算的值，解答即可．
本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，矩形的性质，根据自变量的值求函数的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．，，．
∴，，，，
故抛物线的对称轴为，
则，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为：．
（2）解：根据题意，两立柱间的距离为，
则，，
把代入解析式，
得，
故．
故立柱的长度为米．
22．(1)普查；
(2)200；108；
(3)；
(4)1880
【分析】（1）根据抽样调查和普查的特点即可解答；
（2）用C的人数除以其所占的百分比即可求得m的值，再求得D人数，用乘以D所占的百分比即可解答；
（3）求得所占频率，再运用频率估计概率即可解答；
（4）用这次比赛的4700名学生数乘以所占的百分比即可解答．
【详解】（1）解：由于了解某班航天科普知识竞赛的情况，学生数不多且要求精确，因此调查方式更适合采用普查．
故答案为：普查．
（2）解：，
D人数为：，
D部分所对应扇形的圆心角度数为．
故答案为：200，．
（3）解：恰好在“”范围的概率是．
故答案为：．
（4）解：该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有：人．
答：该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有：人．
【点睛】本题主要考查了调查方式的选择、求样本容量、扇形统计图的度数、概率公式、用样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
23．(1)
(2)点P的坐标为( 3，4)
(3)存在，点M的坐标为：，，
【分析】（1）由直线方程可求得A、B两点的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c的值，可求得抛物线解析式，再令y=0可求得C点坐标；
（2）过E作EH⊥PD于H，可求得EH，设出P点坐标，则可表示出D、E、F的坐标，从而可表示出PD和EF，利用梯形面积公式可表示出四边形PDEF的面积，根据二次函数的最值，可求得P点坐标；
（3）可求得直线AG和A′G′的方程，从而可表示出M、N点的坐标，从而可表示出MN、FM、FN的长，分MN=FM、MN=FN和FM=FN三种情况分别求解即可．
【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于A、B两点，∴A( 4，0)，B(0，4)．
∵抛物线经过A、B两点，
∴．
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，过点E作EH⊥PD于点H，则EH∥OA．
∵OA=OB=4，
∴∠OAB=45°．
∴∠HDE=45°，且DE=．
∴HE=HD=2．
设点P的坐标为(，--3+4)，
则点D为(，+4)，点E为(+2，+6)，点F为(+2，--7-6)．
∴|PD|=- 3+4-(+4)=--4， |EF|=--7-6-(+6)=--8-12．
∴S四边形PDEF=HE×(PD+EF)
= ×2(--4--8-12)
=-2-12-12
=-2(+3)2+6．
∴当=-3时，S四边形PDEF有最大值6．
此时点P的坐标为( 3，4)．
（3）满足条件的点M的坐标为：，，．理由如下：
∵OG=2，
∴点G的坐标为(0，-2)，且A(-4，0)．
设直线AG的方程为，把A、G坐标代入可得，解得．
∴直线AG的方程为．
∴可设直线的方程为-2=-+-2．（＞0）
令=0可得 +-2=0，解得=-4，
∴点M的坐标为(-4，0)．
联立直线与直线AB方程可得，解得．
∴点N的坐标为(，)．
∵F为OA的中点，∴OF=2，即F(-2，0)．
∴MF2=(-4+2)2=-4+4，
MN2=(-4-)2+(0 )2=()2+()2=，
NF2=(+2)2+()2=．
当△FMN为等腰三角形时，分以下三种情况讨论：
①当MN=MF时，即=-4+4，
解得=或=．
此时点M的坐标为或．
②当MN=NF时，即=，
解得=-6(舍去)或=2．
此时点M的坐标为(-2，0)． (点M与点F重合，舍去)．
③当MF=NF时，即-4+4=，
解得=0(舍去)或=．
此时点M的坐标为(，0)．
综上所述，平移后点M的坐标为，，
【点睛】本题为二次函数的综合，涉及知识点有待定系数法、四边形的面积、二次函数的最值、平移、勾股定理及分类讨论思想．在（1）中求得A、B坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标表示出四边形PDEF的面积是解题的关键，在（3）中分别表示出MF、NF、MN的长是解题的关键．本题考查知识点多，综合性强，计算量大，难度较大．
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