第六章平面向量及其应用同步练习卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册

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第六章平面向量及其应用同步练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．向量（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，向量，则（ ）
A．20 B．17 C．8 D．0
3．已知平面向量的夹角为，且，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（ ）

A． B．
C． D．
5．的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．是所在平面上一点满足的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
7．为了测量河对岸一古树高度的问题（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点处测得树顶的仰角为，则树高约为（ ）（取，）
A．100.8m B．33.6m C．81.6m D．57.12m
8．在中，内角，，的对边分别为，，，，，其面积为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角为 D．若在上的投影向量为
10．如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则有两解
C．若，则为锐角三角形
D．若，则为等腰三角形或直角三角形
三、填空题
12．在中，，则 ．
13．的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于 .
14．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则 .
四、解答题
15．已知，，.
(1)求的值；
(2)当为何值时，与垂直？
16．已知，，．
(1)求向量与的夹角；
(2)当向量与的模相等时，求实数的值．
17．在中，已知在线段上，且，设．
(1)用向量表示；
(2)若，求．
18．在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求的周长.
19．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求锐角的大小；
(2)若，且的周长为，求的面积.
《第六章平面向量及其应用同步练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C D B D C AD ABC
题号 11
答案 ACD
1．A
【分析】根据向量的线性运算法则求解即可.
【详解】向量，
故选：A.
2．B
【分析】利用向量数量积的坐标表示直接求解即可.
【详解】因为向量，向量，
所以，
故选：B
3．B
【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案.
【详解】由，
所以，即，
即，整理得，
解得或（舍去），
所以.
故选：B.
4．C
【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果.
【详解】由点为中点得：，因为，所以，
因为，
所以.
故选：C
5．D
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理，得.
故选：D.
6．B
【分析】利用向量的减法，数量积的运算律计算即得.
【详解】由，得，即，
两边平方并化简得，则，即，所以是直角三角形.
故选：B
7．D
【分析】先在中，利用正弦定理求出，再在中求即可.
【详解】在中，，，所以，又，
由正弦定理得：.
在中，.
故选：D
8．C
【分析】由三角形面积公式得到，由余弦定理得到，由正弦定理得.
【详解】因为，，其面积为，所以，所以，
由余弦定理知，，所以，
由正弦定理可得，．
故选：C.
9．AD
【分析】先利用向量减法运算的坐标运算可判断A；求得向量的模判断B；利用向量夹角坐标表示求得向量的夹角判断C；利用投影向量的运算公式求解可判断D.
【详解】因为，所以，故A正确；
由已知可得，，故B错误；
因为，又，所以，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确.
故选：AD.
10．ABC
【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可.
【详解】在中，，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D不正确．
故选：ABC．
11．ACD
【分析】利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解．
【详解】对于A，，则，由正弦定理可得，
，故A正确；
对于B，由正弦定理，
，此时无解，故B错误；
对于C，，又且，
，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确；
对于D：，，
，，
，或，若，，则，
所以为等腰三角形或直角三角形，故D正确．
故选：ACD．
12．
【分析】根据向量减法的三角形法则计算，结合数量积和三角形知识求模长得解.
【详解】解析 如图，延长CB至点D，使，连接AD．
在中，，，．
即，展开得到，
将代入，解得．所以．
故答案为：.
13．
【分析】利用正弦定理可得边长.
【详解】在中，
由正弦定理，
即，解得，
故答案为：.
14．8
【分析】利用向量数量积公式求出夹角的余弦值，再根据向量夹角的范围求出向量夹角的正弦值，最后利用定义计算即可.
【详解】由得，
所以，所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）结合条件，按照数量积的运算律计算可得结果；
（2）利用第（1）问的结论，根据向量垂直的数量积关系计算可求出的值.
【详解】（1）因为，，，
所以，则.
（2）若与垂直，则，
从而，解得：.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出，再利用夹角公式计算作答；
（2）利用向量的模相等，两边同时平方，由数量积的运算律求解的值.
【详解】（1）因，，，
则有，解得，
因此，而，于是得，
所以向量与的夹角.
（2）由，则，
即，得，解得或.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量基本定理求出答案；
（2）先求出，结合（1）中所求的，利用向量数量积公式求出的值.
【详解】（1）因为，所以，
由题得；
（2）由已知得，
．
18．(1)
(2)12
【分析】（1）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可求角；
（2）利用三角形面积公式以及余弦定理计算可得，即可得的周长.
【详解】（1）由正弦定理知，
在中，，
所以.
又，，可得，
所以.
（2）由题意可知的面积.
因为，所以.
由余弦定理，
可得，即，
所以，所以，
故的周长为12.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；
（2）首先求出，即可得到，再由正弦定理得到，，，由周长求出，即可得到，，再由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
因，
代入得，
又因，则，又为锐角，故；
（2）由可得，因为，则.
由（1）可得，
由正弦定理，
其中，
设比值为，则，，，
因的周长为，即，
即，则，，
故的面积.
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