第七章复数同步练习卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册

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第七章复数同步练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设，其中x，y是实数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．复数等于（ ）
A． B． C． D．
4．在中，点分别对应复数，则点对应复数的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知方程有实根b，且，则复数z等于（ ）
A． B． C． D．
8．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若复数，则（ ）
A． B．
C．为实数 D．
10．设是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．复数为纯虚数
B．复数对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为
D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
三、填空题
12．已知是关于的方程的一个根，则 ．
13．已知平面直角坐标系中O是原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是 .
14．若，则称与互为“邻位复数”．已知复数与互为“邻位复数”，，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知.
(1)求的值；
(2)设,求的值.
16．设复数，其中.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
17．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是．
(1)当为何值时，的模取得最大值，并求此最大值；
(2)若，设对应的复数是，若复数对应的点P在直线，求的值．
18．已知x为实数，复数．
(1)当x为何值时，复数z的模最小？
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值．
19．已知关于的实系数一元二次方程
(1)若，求方程的两个根；
(2)若方程有两虚根，，求的值；
(3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围.
《第七章复数同步练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B A D A D BC AC
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】先求出复数的共轭复数，然后可求出共轭复数对应的点所在的象限.
【详解】因为，所以，
所以在复平面对应的点位于第四象限.
故选：D
2．B
【分析】根据复数相等求出的值，根据复数的几何意义，即可求得答案
【详解】因为，所以
所以，得，
故
故选：B
3．A
【分析】根据复数的加减法运算法则求解.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
4．B
【分析】利用复数的几何意义及平行四边形的性质计算即可.
【详解】由题意可得，
设的对角线的交点为，点的坐标为，
由中点坐标公式得，
所以点，即点对应的复数为，
故其共轭复数.
故选：B
5．A
【分析】由得，或，可知“”是“”充分不必要条件.
【详解】充分性：若，则；
必要性：若则，
则，得，或，故不满足必要性
综上“”是“”充分不必要条件，
故选：A
6．D
【分析】利用复数的三角形式即可得解.
【详解】依题意，令，
则，所以，
因为，所以，
所以的三角形式是.
故选：D.
7．A
【分析】将代入方程，整理后得到方程组，求出的值，得到答案.
【详解】由b是方程）的根可得，
整理可得：，所以，解得，
所以．
故选：A
8．D
【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．
【详解】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；
对于B，，
故选项B正确；
对于C，由，，
所以,得出，故选项C正确；
对于D，由C的分析得，推不出，故选项D错误．
故选：D．
9．BC
【分析】首先求解复数，再根据复数的运算，以及共轭复数和复数模的公式，即可判断选项.
【详解】由，得，A错误.
，B正确.
因为，所以为实数，C正确.
D错误.
故选：BC
10．AC
【分析】利用复数的定义、几何意义，共轭复数的概念，乘法运算法则一一判定选项即可.
【详解】不妨设，
若，即，显然，故A正确；
若，则，
则，该值不一定为0，故B错误；
若，则，
而，故C正确，
，故不一定成立，即D错误；
故选：AC
11．ABD
【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得.
【详解】对于A，，则为纯虚数，A正确；
对于B，，而，即，则复数对应的点位于第二象限，B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，C错误；
对于D，，
复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为的半圆，D正确．
故选：ABD
12．38
【分析】代入方程结合复数的概念及运算法则待定系数计算即可.
【详解】将代入方程
得，
所以，所以.
故答案为：38
13．
【分析】利用复数的向量表示可得答案.
【详解】.
故答案为：.
14．
【分析】由已知条件与复数模长的计算公式可知，所求表达式表示点到原点的距离的平方，利用两点间距离公式和圆的性质即可求解.
【详解】因为复数与互为“邻位复数”，
所以，故，即，
其表示的是点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
而表示点到原点的距离，
故的最大值为原点到圆心的距离加半径，
即，
所以的最大值为，
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的代数乘法运算即可；
（2）根据复数的乘除法运算即可.
【详解】（1）.
（2），
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义可得到解方程即可；
（2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可.
【详解】（1）是纯虚数，只需，解得.
（2）由题意知，
解得，
故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.
17．(1)，最大值为
(2)或
【分析】（1）由复数模的定义可得：，利用三角函数求最值；
（2）表示出点P的坐标，代入，求出或.
【详解】（1）由复数模的定义可得：
，
显然当时最大，即，故最大值为.
（2）由（1）知点P的坐标是，代入，
得，即，又因为，所以或.
18．(1)
(2)的最小值为，，．
【分析】(1) 利用复数的模的计算公式，结合二次函数的性质求最值.
(2) 先求出模最小时复数对应的点，代入函数得到关系式，再利用均值定理求最值.
【详解】（1），
当且仅当时，复数z的模最小，为．
（2）当复数z的模最小时，．
又点Z位于函数的图象上，所以．
又，，所以，
当且仅当时等号成立．又，，，
所以，．所以的最小值为，
此时，．
19．(1)、
(2)
(3)
【分析】（1）利用求根公式计算可得；
（2）由求出的取值范围，依题意可得、互为共轭复数，则，即可求出的值；
（3）分和两种情况讨论，结合求根公式及数量积的坐标表示，即可得到不等式，解得即可.
【详解】（1）当时方程为，则，
所以方程的根为、
（2）因为方程有两虚根，所以，
解得，
此时方程有两个共轭复根、，故，又，所以，
所以，解得或（舍去）.
（3）若，即或时，
此时，，
则，，，
显然，
所以，
则
，
即，解得或，
所以或；
若，即时，
设，（），
则，，，
所以，，
所以，即，又，，
所以，解得或，所以；
综上可得的取值范围为.
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