第十章概率同步练习卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册

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第十章概率同步练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则事件与事件的关系是（ ）
A．事件与事件互斥
B．事件与事件互为对立
C．事件与事件相互独立
D．事件与事件互斥又独立
2．某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则事件A与B的关系是（ ）
A．A与B互斥不对立 B．A与B对立
C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又相互独立
4．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（ ）
A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1
6．习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取知识 启智增慧 培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书 读好书 善读书的浓厚氛围.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复兴中学开展了“读名著 品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（单位：），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于的概率为（ ）
A．0.150 B．0.400 C．0.450 D．0.850
7．从一箱奖券中随机地抽取一件，设事件“抽到一等奖”，事件“抽到二等奖”，事件“抽到三等奖”.已知，则事件“抽到的不是一等奖”的概率为（ ）
A．0.20 B．0.39 C．0.35 D．0.45
8．从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5
二、多选题
9．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，则实数a的值可以是（　　）
A． B． C． D．
10．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确.
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
11．不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球"，则（ ）
A． B．
C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件
三、填空题
12．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为
13．已知事件与事件相互独立，且，，则 .
14．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ．
四、解答题
15．在一个盒子中有个白球，个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取个，取后不放回，直到个白球都被取出来后就停止取球．
(1)求个白球都被甲取出的概率；
(2)求将球全部取出才停止取球的概率．
16．甲、乙、丙3名同学各自独立的求解某道数学题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为．
(1)求乙、丙各自解出该题的概率；
(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
17．流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于或小于时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在时记为区间.
组号
分组
频数
(1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率；
(2)从区间的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于内的概率.
18．2023年是中国共产党建党102周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史 悟思想 办实事 开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；
(2)用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.
19．某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为，．已知甲（25岁）、乙（35岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立．
(1)甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率；
(2)求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率；
(3)求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率．
《第十章概率同步练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C B C D D C CD ACD
题号 11
答案 BC
1．C
【分析】根据积事件概率不为零可确定与能同时发生，不互斥，由知两者不对立，即得ABD错误；根据独立事件概率公式可知C正确.
【详解】对于A,D两项，由可知事件与事件能同时发生，则两者不互斥，故A,D错误；
对于B，由，得，又，
则，
即事件与事件不是互为对立事件，故B错误；
对于C，由上分析，可得,故事件与事件相互独立，即C正确.
故选：C.
2．C
【分析】根据古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题意，从7门中选一门，选到田径的概率为.
故选：C.
3．C
【分析】由互斥事件加法公式和独立事件乘法公式可得答案.
【详解】因，则.
注意到： ，
则A与B不互斥，不对立，则ABD错误；
又.
因，则事件A与事件B相互独立，则C正确；
故选：C
4．B
【分析】根据事件关系，即可判断选项.
【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；
B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；
D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.
故选：B
5．C
【分析】列出样本空间，进而可得到事件A与事件B，根据事件的运算求解即可.
【详解】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间．
其中事件A包含的样本点有：，，，共4个．
事件包含的样本点有：，共2个．
所以事件包含的样本点有：，，，，共5个；
事件包含的样本点有：共1个．
故选：C
6．D
【分析】根据频率分布直方图中矩形面积的含义即可求得答案.
【详解】由频率分布直方图可估计该校学生阅读时间不少于的概率为：
，
故选：D
7．D
【分析】由“抽到的不是一等奖”的概率与“抽到一等奖”的概率和为1求解即可.
【详解】由“抽到的不是一等奖”的概率与“抽到一等奖”的概率和为1可得事件“抽到的不是一等奖”的概率为.
故选：D
8．C
【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果.
【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个，
所以数据在之间的频率为：.
用频率估计概率，则所求概率为.
故选：C
9．CD
【分析】由互斥事件的概率性质列不等式组求解即可；
【详解】解: 由题意可知，
即，即，
解得，
故选：CD.
10．ACD
【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误.
【详解】对于A：从中任取100件，可能有10件，A错误；
对于B：10000次的界定没有科学依据，"不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，
但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确.
对于C：多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，C中描述不符合概率定义，C错误；
对于D：做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，D错误；
故选：ACD.
11．BC
【分析】根据古典概型概率公式求事件的概率，判断AB，根据对立事件和独立事件的定义判断CD.
【详解】对于A，随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含个样本点，
随机事件包含的样本点的个数为，所以，A错误；
对于B，随机事件包含的样本点的个数为，所以，B正确，
对于C，事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件为互斥事件，
又，即事件为必然事件，所以事件与事件是对立事件，C正确；
对于D，随机事件包含的样本点的个数为，所以，
随机事件为不可能事件，所以，所以，
所以事件与事件不是相互独立事件，D错误，
故选：BC.
12．；/；.
【分析】根据频率的计算方法求频率，根据概率的概念得概率.
【详解】正面向上的频率为：；
因为硬币质地均匀，所以正面向上的概率为：.
故答案为：；.
13．/
【分析】利用对立事件的概率公式与相互独立事件概率乘法公式求解即可得.
【详解】因为事件与事件相互独立，
所以.
故答案为：.
14．10
【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可.
【详解】根据题意，
从袋中随机摸出一个红球的概率是，
所以.
故答案为：10
15．(1)
(2)
【分析】（1）分别讨论个白球都被甲取出的三种情况，根据概率乘法公式可求得结果；
（2）首先确定最后一次取出的一定是白球，由此可得四种情况，根据概率乘法公式可求得结果.
【详解】（1）若个白球都被甲取出记为事件，则事件有三种情况：
①第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，其概率为；
②第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，其概率为；
③第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，其概率为；
，即个白球都被甲取出的概率为.
（2）若将球全部取出才停止取球记为事件，则最后一次即第次取出的一定是白球．
事件有四种情况：
①第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
②第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
③第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
④第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
，即将球全部取出才停止取球的概率为.
16．(1)乙独立解出该题的概率为，丙独立解出该题的概率为
(2)
【分析】（1）设事件为“甲独立解出该题”，事件为“乙独立解出该题”，事件为“丙独立解出该题”，根据独立事件的概率公式可得，，，进而求解即可；
（2）先求出甲、乙、丙3人都未解出该题的概率，再求解甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
【详解】（1）设事件为“甲独立解出该题”，事件为“乙独立解出该题”，事件为“丙独立解出该题”，
则，，，
解得，
即乙独立解出该题的概率为，丙独立解出该题的概率为.
（2）甲、乙、丙3人都未解出该题的概率为，
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用样本在上的频数除以可得所求频率；
（2）设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、，
列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
【详解】（1）由已知，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快.
而样本在上的频数为，所以所求频率为；
（2）设事件为“从区间的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于内”，
设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、，
因此，从区间的数据中任取两个数据，
包含、、、、、、、、、，共个样本点，
而事件包含、、、、、，共个样本点，所以.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）利用频率分布直方图估计众数和中位数.
（2）根据分层抽样的方法，确定样本中人员的构成，再列出人选2人的所有可能，利用古典概型的公式求相应的概率.
【详解】（1）由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为，
成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
故中位数位于之间，中位数是
（2）∵与的党员人数的比值为，
采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，
设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，
则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：
，，，，，，，，，，共10个样本点，
这2人中至少有1人成绩低于76分的有：
，，，，，，，共7个样本点，
故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.
19．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）计算甲第一轮挑战赛被淘汰的概率，再根据对立事件的概率，即可求解；
（2）分别计算甲、乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛，再根据独立事件概率乘法公式，即可求解；
（3）分别计算甲、乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率，由（2）的结论结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，即可求解.
【详解】（1）设甲、乙两人第i次答对题目分别记为事件，，
则，．
甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为，
则甲通过第一轮挑战赛的概率为．
（2）设甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件A，乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件B，则，
．
故所求概率为．
（3）甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为．
乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为．
故所求概率为．
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