期末同步练习卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
文档属性
| 名称 | 期末同步练习卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 895.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-03 10:06:17 | ||
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文档简介
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期末同步练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ）
A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球
C．都是黄球 D．至多2个红球
2．已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3．河水的速度为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
5．已知三个不共线的向量满足，则O为的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
6．现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（ ）
A．A与B互斥 B．
C．A与B独立 D．
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
11．设是任意的非零向量，且它们相互不共线，则（ ）
A．
B．不与垂直
C．
D．
三、填空题
12．某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为 ．
13．我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为 ．
14．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ．
四、解答题
15．设向量，满足，，.
(1)求向量，的夹角；
(2)求.
16．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，求的周长.
17．如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，是半径所在直线上的动点，且.记.
(1)当点与点重合时，求的值；
(2)记的面积为.
（i）当时，求的值；
（ii）若方程在的解为且.求的值.
18．阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？
(2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
(3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率．
19．如图，在正三棱柱中，，点M为的中点.
(1)求点A到平面的距离；
(2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
《期末同步练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C A A C A BD ABD
题号 11
答案 ACD
1．C
【分析】根据对立事件的定义判断即可.
【详解】从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，只有三红、两红一黄、一红两黄、三黄这四种情况，
则“至少有1个红球”的对立事件是“都是黄球”.
故选：C.
2．C
【分析】应用正弦定理结合充要条件判断即可.
【详解】因为中，，由正弦定理得，所以；
由，由正弦定理得，所以；
则“”是“”的充要条件.
故选：C.
3．B
【分析】由向量的加法法则结合勾股定理计算即可.
【详解】由题意，，作出示意图如图所示，，
故选：B.
4．C
【分析】根据求出，再根据公式求其模长.
【详解】;
;
.
故选：C.
5．A
【分析】利用向量的线性运算判断出分别在的角平分线上，即可得出结论.
【详解】
如图，取，则，且分别与同向，
，
又，
而是以为底的等腰三角形，故在的角平分线上，
同理分别在的角平分线上，
所以O为的内心.
故选：A.
6．A
【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.
【详解】若比赛两场甲获胜，则概率为；
若比赛三场甲获胜，则概率为；
甲获得冠军的概率.
故选：A.
7．C
【分析】根据空间中直线、平面的位置关系进行逐项判断即可.
【详解】因为，，则或相交或异面，故A错误；
由，，则与的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误；
若，，则，故C正确；
若，，则或，故D错误.
故选：C.
8．A
【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积.
【详解】设球的半径为，则，解得，
球的体积.
故选：A
9．BD
【分析】根据互斥事件、独立事件的概念判断A、C，根据和事件、交事件的定义及古典概型的概率公式计算即可判断B、D；
【详解】对于A，当取到的小球为黑球，且编号为③，事件和事件同时发生，所以，
故与不互斥，故A错误；
对于B，表示、同时发生的概率，即取到的小球为黑球且编号为③，所以，故B正确；
对于C，表示取出的小球的编号为③的概率，则，
表示取出的小球是黑球的概率，则，
因为，所以事件A与B不独立，故C错误；
对于D，表示取到的小球标号为③或黑球，所以，故D正确.
故选：BD．
10．ABD
【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D.
【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确；
对于B，锐角中，，则，
故，B正确；
对于C，在中，若，则，
即得，故或，
故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，，，则，
故，，结合，可知是等边三角形，D正确，
故选：ABD
11．ACD
【分析】根据向量数量积的运算律可计算并判断A,B,D，利用三角形三边关系不等式可判断C.
【详解】根据向量数量积的分配律可知A正确；
对于B，因为，所以与垂直，故B错误；
对于C，因为不共线，所以组成三角形三边，则成立，故C正确；
根据向量数量积的运算律可知D正确.
故选：ACD.
12．/
【分析】列出所有的样本空间以及满足题意的情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案.
【详解】2名高一学生干部记为：a，b；3名高二学生干部记为：，，，
则样本空间
共含有10个样本点，
设事件表示“这2名学生来自不同年级”，
则包含，即，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故答案为：.
13．
【分析】连接FB，在中，，即，在中，，在中，，代入上式得到，再由求解.
【详解】如图所示：
连接FB，在中，，即，
所以，在中，，
所以，
在中，，则，
因为，
所以，则，所以，
故答案为：
14．7
【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果.
【详解】由题意可知：正四棱台的体积为，
根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7.
故答案为：7.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的定义求解即可；
（2）由，代入求解即可.
【详解】（1）因为，，，所以，
又，所以；
（2）.
16．(1)
(2)6
【分析】（1）选①由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得；选②结合正弦定理边化角和同角的三角函数关系可得；选③由正弦定理边化角结合余弦定理可得；
（2）由三角形的面积公式结合余弦定理可得.
【详解】（1）选①，，
，
又，，又，.
选②，，
又，，
，，.
选③，，
，即，
，，.
（2），，，，
又，且，
，，
，，
所以的周长为6.
17．(1)
(2)（i）答案见解析（ii）
【分析】（1）由题意得，结合三角形内角和即可得解；
（2）（i）先求出面积表达式，然后代入求值即可；（ii）由题意得，结合三角恒等变换即可求解.
【详解】（1），当与点重合时，，.
（2）（i）在中，，.
当时，；
（ii）在中，，.
当时，结合题意知：
.
18．(1)78分
(2)平均数90，方差
(3)
【分析】（1）利用百分位数的定义求解；
（2）利用平均数和方差的定义求解；
（3）利用古典概型的概率公式求解．
【详解】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列，
所以，
解得，
又，
解得，
所以，，
成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，
设第80百分位数为，
则，
解得，
所以晋级分数线划为78分合理；
（2）因为，
所以，
所以，
所以，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：，
方差：；
（3）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取2人和4人．分别记为，和，，，，
则所有的抽样有：，共15个样本点，
“抽到的两位同学来自于同一小组”，
则，共7个样本点，
所以．
19．(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用等体积法即可求解；
（2）在平面内过点A作，交于点Q，由面面垂直的性质定理可得平面，由题意得，根据相似三角形的性质即可求解.
【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱，
所以平面，所以，
又因为M是的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，又平面，
所以，
点M为的中点，所以，，
所以，
，
设点A到平面的距离为h，则，
所以，解得，
所以点A到平面的距离为.
（2）由（1）可知平面，
因为平面，则平面平面，
在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有，
平面平面，平面，
因此平面，
于是点Q即为所要找的点，
在和中，，即，
所以，因此，
即有，于是，所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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期末同步练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ）
A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球
C．都是黄球 D．至多2个红球
2．已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3．河水的速度为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
5．已知三个不共线的向量满足，则O为的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
6．现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（ ）
A．A与B互斥 B．
C．A与B独立 D．
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
11．设是任意的非零向量，且它们相互不共线，则（ ）
A．
B．不与垂直
C．
D．
三、填空题
12．某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为 ．
13．我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为 ．
14．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ．
四、解答题
15．设向量，满足，，.
(1)求向量，的夹角；
(2)求.
16．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________.
(1)求角C；
(2)若，的面积为，求的周长.
17．如图，在扇形中，半径，圆心角是扇形弧上的动点，是半径所在直线上的动点，且.记.
(1)当点与点重合时，求的值；
(2)记的面积为.
（i）当时，求的值；
（ii）若方程在的解为且.求的值.
18．阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？
(2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
(3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率．
19．如图，在正三棱柱中，，点M为的中点.
(1)求点A到平面的距离；
(2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
《期末同步练习卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C A A C A BD ABD
题号 11
答案 ACD
1．C
【分析】根据对立事件的定义判断即可.
【详解】从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，只有三红、两红一黄、一红两黄、三黄这四种情况，
则“至少有1个红球”的对立事件是“都是黄球”.
故选：C.
2．C
【分析】应用正弦定理结合充要条件判断即可.
【详解】因为中，，由正弦定理得，所以；
由，由正弦定理得，所以；
则“”是“”的充要条件.
故选：C.
3．B
【分析】由向量的加法法则结合勾股定理计算即可.
【详解】由题意，，作出示意图如图所示，，
故选：B.
4．C
【分析】根据求出，再根据公式求其模长.
【详解】;
;
.
故选：C.
5．A
【分析】利用向量的线性运算判断出分别在的角平分线上，即可得出结论.
【详解】
如图，取，则，且分别与同向，
，
又，
而是以为底的等腰三角形，故在的角平分线上，
同理分别在的角平分线上，
所以O为的内心.
故选：A.
6．A
【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.
【详解】若比赛两场甲获胜，则概率为；
若比赛三场甲获胜，则概率为；
甲获得冠军的概率.
故选：A.
7．C
【分析】根据空间中直线、平面的位置关系进行逐项判断即可.
【详解】因为，，则或相交或异面，故A错误；
由，，则与的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误；
若，，则，故C正确；
若，，则或，故D错误.
故选：C.
8．A
【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积.
【详解】设球的半径为，则，解得，
球的体积.
故选：A
9．BD
【分析】根据互斥事件、独立事件的概念判断A、C，根据和事件、交事件的定义及古典概型的概率公式计算即可判断B、D；
【详解】对于A，当取到的小球为黑球，且编号为③，事件和事件同时发生，所以，
故与不互斥，故A错误；
对于B，表示、同时发生的概率，即取到的小球为黑球且编号为③，所以，故B正确；
对于C，表示取出的小球的编号为③的概率，则，
表示取出的小球是黑球的概率，则，
因为，所以事件A与B不独立，故C错误；
对于D，表示取到的小球标号为③或黑球，所以，故D正确.
故选：BD．
10．ABD
【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D.
【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确；
对于B，锐角中，，则，
故，B正确；
对于C，在中，若，则，
即得，故或，
故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，，，则，
故，，结合，可知是等边三角形，D正确，
故选：ABD
11．ACD
【分析】根据向量数量积的运算律可计算并判断A,B,D，利用三角形三边关系不等式可判断C.
【详解】根据向量数量积的分配律可知A正确；
对于B，因为，所以与垂直，故B错误；
对于C，因为不共线，所以组成三角形三边，则成立，故C正确；
根据向量数量积的运算律可知D正确.
故选：ACD.
12．/
【分析】列出所有的样本空间以及满足题意的情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案.
【详解】2名高一学生干部记为：a，b；3名高二学生干部记为：，，，
则样本空间
共含有10个样本点，
设事件表示“这2名学生来自不同年级”，
则包含，即，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故答案为：.
13．
【分析】连接FB，在中，，即，在中，，在中，，代入上式得到，再由求解.
【详解】如图所示：
连接FB，在中，，即，
所以，在中，，
所以，
在中，，则，
因为，
所以，则，所以，
故答案为：
14．7
【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果.
【详解】由题意可知：正四棱台的体积为，
根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7.
故答案为：7.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的定义求解即可；
（2）由，代入求解即可.
【详解】（1）因为，，，所以，
又，所以；
（2）.
16．(1)
(2)6
【分析】（1）选①由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得；选②结合正弦定理边化角和同角的三角函数关系可得；选③由正弦定理边化角结合余弦定理可得；
（2）由三角形的面积公式结合余弦定理可得.
【详解】（1）选①，，
，
又，，又，.
选②，，
又，，
，，.
选③，，
，即，
，，.
（2），，，，
又，且，
，，
，，
所以的周长为6.
17．(1)
(2)（i）答案见解析（ii）
【分析】（1）由题意得，结合三角形内角和即可得解；
（2）（i）先求出面积表达式，然后代入求值即可；（ii）由题意得，结合三角恒等变换即可求解.
【详解】（1），当与点重合时，，.
（2）（i）在中，，.
当时，；
（ii）在中，，.
当时，结合题意知：
.
18．(1)78分
(2)平均数90，方差
(3)
【分析】（1）利用百分位数的定义求解；
（2）利用平均数和方差的定义求解；
（3）利用古典概型的概率公式求解．
【详解】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列，
所以，
解得，
又，
解得，
所以，，
成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，
设第80百分位数为，
则，
解得，
所以晋级分数线划为78分合理；
（2）因为，
所以，
所以，
所以，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：，
方差：；
（3）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取2人和4人．分别记为，和，，，，
则所有的抽样有：，共15个样本点，
“抽到的两位同学来自于同一小组”，
则，共7个样本点，
所以．
19．(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用等体积法即可求解；
（2）在平面内过点A作，交于点Q，由面面垂直的性质定理可得平面，由题意得，根据相似三角形的性质即可求解.
【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱，
所以平面，所以，
又因为M是的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，又平面，
所以，
点M为的中点，所以，，
所以，
，
设点A到平面的距离为h，则，
所以，解得，
所以点A到平面的距离为.
（2）由（1）可知平面，
因为平面，则平面平面，
在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有，
平面平面，平面，
因此平面，
于是点Q即为所要找的点，
在和中，，即，
所以，因此，
即有，于是，所以.
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