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期中测试提升卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：北师大版八下1~3章（三角形的证明+一元一次不等式与一元一次不等式组+图形的平移与旋转）
考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选D．
2．若a＜b，则下列不等式不一定正确的是（ ）
A．﹣3a＞﹣3b B．a﹣b＜0 C．2a＜2b D．a2＜b2
【解析】A、若a＜b，则﹣3a＞﹣3b，故本选项正确，不符合题意；
B、若a＜b，则a﹣b＜0，故本选项正确，不符合题意；
C、若a＜b，则2a＜2b，故本选项正确，不符合题意；
D、若a＜b，不等式a2＜b2不一定成立，故本选项错误，符合题意；
故选D．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形
C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
【解析】A、如果a2＝b2﹣c2，即b2＝a2+c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，原说法错误，符合题意；
B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；
C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意；
D、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意，
故选A．
4．解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】，
解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥﹣3，
将两个不等式的解集表示在数轴上如下：
故选C．
5．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
【解析】∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝3cm，
∵△ABC的周长为20cm，即AB+BC+AC＝20cm，
∴AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝20+3+3＝26（cm），
即四边形ABFD的周长为26cm．
故选D．
6．如图，在△ABC中，∠CAB＝68°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若CE∥AB，则∠CAD的大小（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
【解析】∵AB∥CE，
∴∠CAB＝∠ACE＝68°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE位置，
∴AE＝AC，∠CAB＝∠EAD＝68°，
∴∠ECA＝∠AEC＝68°，
∴∠EAC＝44°，
∴∠CAD＝68°﹣44°＝24°，
故选B．
7．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少12元．”乙说：“至多10元．”丙说：“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．8＜x＜10 B．10＜x＜12 C．x＞10 D．10＜x＜11
【解析】∵小明说：“你们三个人都说错了”，
∴，
∴10＜x＜12，
故选B．
8．若关于x的不等式组的解集是x＜﹣2，且关于y的方程（a+2）﹣（y+2）＝2（y﹣1）的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】由不等式得：x＜﹣2，
由4xa＜x﹣1得：xa，
∵不等式组的解集是x＜﹣2，
∴2，
解得a，
解方程得y，
由题意知0，
解得a＞﹣2，
则符合条件的整数a的值之和为﹣1+0+1+2+3＝5，
故选C．
9．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
【解析】∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，
∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．
故选C．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB，AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B的度数为（ ）度．
A．30 B．45 C．60 D．30或45
【解析】∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，
∴∠FDA∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，
分类如下：
①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，
解得：x＝22.5°．
此时∠B＝2x＝45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，
解得x＝37.5°，
此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．
图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．
③DE＝BE时，则∠B（180﹣2x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x（180﹣2x）°，
此方程无解．
∴DE＝BE不成立．
综上所述，∠B＝45°或30°．
故选D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．写出一个解集为x＜2的一元一次不等式： 2x＜4（答案不唯一） ．
【解析】将x＜2两边同乘以2可得一元一次不等式2x＜4，
故答案为：2x＜4．
12．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点P在AD上，连接PB、PC，若PB＝13，PD＝5，则CD的长为 ．
【解析】∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵PB＝13，PD＝5，
∴BD12，故答案为12.
13．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于，B（0，1）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为 ．
【解析】∵﹣kx﹣b＜0，
∴kx+b＞0，
由图象可知，不等式的解集为，
故答案为：．
14．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是 ．
【解析】如图，连接AB，
由题意得：OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OBA＝60°，
∵BD⊥OA，
∴∠OBD∠OBA60°＝30°.
15．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠AB'B的度数为 70° ．
【解析】∵C'C∥AB，
∴∠CAB＝∠C'CA＝70°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC'，AB＝AB'，∠CAC'＝∠BAB'，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝70°，
∴∠CAC'＝40°＝∠BAB'，
∵AB＝AB'，
∴∠AB'B＝70°，
故答案为：70°．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t 或6 时，△PBQ是直角三角形．
【解析】①当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠PQB＝30°，
∴BQ＝2PB，
即t＝2（24﹣2t），解得：t；
②当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠QPB＝30°，
∴PB＝2BQ，
即24﹣2t＝2t，
解得：t＝6；
故答案为：或6．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组．
【解析】（1）原式＝5×（﹣4）﹣1﹣8
＝﹣20﹣1﹣8
＝﹣29；
（2），
由①得，x＞﹣2，
由②得，x＜3，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x＜3．
18．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后得到△AB1C1；
（2）在（1）的条件下，请求出△AB1C1的面积．
【解析】（1）如图，△AB1C1即为所求；
（2）△AB1C1的面积9﹣1.5﹣1﹣3＝3.5．
19．下面是小明解不等式的过程．
解：去分母得： 3（1+x）﹣2（2x+1）≤1① 去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤1② 移项得：3x﹣4x≤1+2﹣3③ 合并同类项得：﹣x≤0④ 两边同除以﹣1得：x≤0．⑤
（1）填空：小明的解题步骤存在一步或若干步错误，则他所有错误步骤的序号是 ①⑤ ；
（2）请你写出正确的解答过程．
【解析】（1）第①步给两边乘以6时，不等式的右边没有乘，所以从第①步开始出现错误；
第⑤步两边同除以﹣1时，不等号的方向没有改变，所以第⑤步也错误；
故答案为：①⑤；
（2）原不等式去分母得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，
去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤6，
移项得：3x﹣4x≤6+2﹣3，
合并同类项得：﹣x≤5，
两边同除以﹣1得：x≥﹣5．
20．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【解析】设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′．
21．如图，等边△ABC，在BC边延长线上取点D，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE，AE．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若AB＝6，CD＝2，求DE的长．
【解析】（1）由旋转的性质可知，∠DAE＝60°，AD＝AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，
∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°；
（2）如图，过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC是等边三角形，
∴CMBCAB＝3，
∴AM3，
∵CD＝2，
∴DM＝CM+CD＝5，
∴AD2，
∵∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，
∴DE＝2．
22．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E、F，FG⊥AB，垂足为点G．
（1）求证：CE＝FG．
（2）若AC＝12，AB＝15，CE＝4，求△ABC的面积．
【解析】（1）证明：∵AF是∠BAC的平分线，∠ACB＝90°，FG⊥AB，
∴FC＝FG，∠CAF＝∠DAE∠BAC，
∠CAF+∠CFA＝90°，∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠AFC，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠AFC，
∴CE＝CF，
∴CE＝FG．
（2）解：∵CE＝4，
∴FG＝CF＝CE＝4，
∵AC＝12，AB＝15，
∴，
所以△ABC的面积为54．
23．如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．
（1）求证：AC平分∠EAF；
（2）求证：∠FAD＝∠E；
（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，△AEC的面积为，求CF的长．
【解析】（1）证明：∵在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵过点A作AF∥BC交CD于F，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，
即AC平分∠EAF；
（2）证明：∵在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E；
（3）解：过点C作CM⊥AE，垂足为M，如图，
∵∠EAD＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°，
又∵FAD＝∠E，
∴∠FAD+∠ADE＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴CF⊥AF．
∵△AEC的面积为，
∴AE CM，
又∵AE＝5，
∴CM，
∵AC平分∠EAF，CM⊥AE，CF⊥AF，
CF＝CM．
24．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15本，乙种笔记本20本，共花费250元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，求至多购买多少本甲种笔记本？
【解析】（1）设购买一本甲种笔记本x元，一本乙种笔记本y元，
根据题意得，
解得，
答：购买一本甲种笔记本10元，一本乙种笔记本5元；
（2）设需要购买m本甲种笔记本，
根据题意得：（10﹣2）m+5×80%（35﹣m）≤225，
解得，
∴m取最大整数为21，
答：至多需要购买21本甲种笔记本．
25．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长部为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）已知△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，求△ABC的面积．
【解析】（1）证明：梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，
∴，
即a2+b2＝c2；
（2）解：设AC＝AB＝x千米，
∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米，
∵CA2＝CH2+AH2，
∴x2＝0.82+（x﹣0.4）2，
∴x＝1，
即CA＝1千米，
∴CA﹣CH＝1﹣0.8＝0.2（千米），
答：新路CH比原路CA少0.2千米；
（3）解：作CH⊥AB，垂足为H，
设AH＝y，
∴BH＝AB﹣AH＝21﹣y，
∵CH⊥AB，AB＝21，AC＝10，BC＝17，
∵CH2＝CA2﹣AH2，CH2＝CB2﹣BH2，
∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，
即102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2，
∴y＝6，
∴AH＝6，
∴．
∴．
试卷第2页，共36页中小学教育资源及组卷应用平台
期中测试提升卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：北师大版八下1~3章（三角形的证明+一元一次不等式与一元一次不等式组+图形的平移与旋转）
考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若a＜b，则下列不等式不一定正确的是（ ）
A．﹣3a＞﹣3b B．a﹣b＜0 C．2a＜2b D．a2＜b2
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形
C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
4．解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
6．如图，在△ABC中，∠CAB＝68°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若CE∥AB，则∠CAD的大小（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
7．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少12元．”乙说：“至多10元．”丙说：“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．8＜x＜10 B．10＜x＜12 C．x＞10 D．10＜x＜11
8．若关于x的不等式组的解集是x＜﹣2，且关于y的方程（a+2）﹣（y+2）＝2（y﹣1）的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB，AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B的度数为（ ）度．
A．30 B．45 C．60 D．30或45
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．写出一个解集为x＜2的一元一次不等式： ．
12．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点P在AD上，连接PB、PC，若PB＝13，PD＝5，则CD的长为 ．
13．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于，B（0，1）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为 ．
14．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是 ．
15．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠AB'B的度数为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t 时，△PBQ是直角三角形．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解不等式组．
18．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后得到△AB1C1；
（2）在（1）的条件下，请求出△AB1C1的面积．
19．（6分）下面是小明解不等式的过程．
解：去分母得： 3（1+x）﹣2（2x+1）≤1① 去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤1② 移项得：3x﹣4x≤1+2﹣3③ 合并同类项得：﹣x≤0④ 两边同除以﹣1得：x≤0．⑤
（1）填空：小明的解题步骤存在一步或若干步错误，则他所有错误步骤的序号是 ；
（2）请你写出正确的解答过程．
20．（6分）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
21．（8分）如图，等边△ABC，在BC边延长线上取点D，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE，AE．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若AB＝6，CD＝2，求DE的长．
22．（8分）如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E、F，FG⊥AB，垂足为点G．
（1）求证：CE＝FG．
（2）若AC＝12，AB＝15，CE＝4，求△ABC的面积．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．
（1）求证：AC平分∠EAF；
（2）求证：∠FAD＝∠E；
（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，△AEC的面积为，求CF的长．
24．（10分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15本，乙种笔记本20本，共花费250元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过225元，求至多购买多少本甲种笔记本？
25．（12分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长部为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）已知△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，求△ABC的面积．
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