人教版八年级数学下册 18.2.1 矩形 同步练习 （含详解）

18.2.1 矩形同步练习
一、单选题
1．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交，于、两点．若，，则的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道（ ）

A．的面积 B．的面积
C．的面积 D．矩形的面积
3．如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18
6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的长为（ ）

A． B．3 C． D．
8．如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
9．如图，矩形中，和相交于点O，，，点E是边上一点，过点E作于点H，于点G，则的值是（ ）

A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
10．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）

A． B．3 C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，D是延长线上的一点，．M是边上的一点（点M与点B、C不重合），以为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是 ．

12．如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是 ．

13．如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 ．
14．如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为 ．

15．如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．

16．如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为 ．

17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．

18．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是 ．

三、解答题
19．如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．
（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；
（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．
20．如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求点C到的距离．
21．如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．
（1）求证：；
（2）当时，求证：四边形是矩形．
22．如图，点在平行四边形ABCD的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使平行四边形ABCD为矩形．
（1）你添加的条件是_________（填序号）；
（2）添加条件后，请证明为矩形．
23．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
24．【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．
【问题提出】
在矩形中，，求线段的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．
请你任选其中一种方案求线段的长．
答案：
一、单选题
1．A
【分析】根据邻补角求出∠DEO的度数，根据余角的定义求出∠ADO的度数，再根据平行四边形的性质及等边对等角可求出∠EAO和∠AOE的度数，根据等角对等边得出AE=EO，然后勾股定理可求得AE的值，最后根据中心对称的性质即可得出答案．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设OE=x,则DE=2x
在中，
即
解得：（负值已舍去）
∴，
∵矩形关于对角线交点中心对称，
∴．
故选：A．
2．C
【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论．
解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，

∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴只需要知道的面积即可求出的值；
故选C．
3．D
【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．
解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
4．C
5．B
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
6．D
【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解．
解：连接、

∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．
∴，
则，
依题意，，
∴，则，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
故选：D．
7．A
【分析】依据题意，连接，记与交于点，先证，从而得，再由线段垂直平分从而，又在中可得的值，从而再在中可求得．
解：由题意，连接，记与交于点．

线段垂直平分，
，．
四边形是矩形，
．
．
又，
．
．
在中，
．
在中可得，．
故选：A．
8．D
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故选：D．
9．A
【分析】连接，利用矩形的性质可得， ，，即，再利用面积可得，，结合，可得，问题随之得解．
解：连接，如图，

∵四边形是矩形，，，
∴，，，，
∴，，
即，
∵，，
∴，，
∵，
∴．
∴，
∴，
故选：A．
10．C
【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为．
解：四边形是矩形，
，，
点M，N分别是的中点，
，，，，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，

则，
当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为，
在中，，，
，
的最小值，
故选C．
二、填空题
11．
【分析】过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，分析可知为的最大值，为的最小值，据此即可求解．
解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示：

由题意得：点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合），
∴为的最大值，当时，取得最小值，最小值等于的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵且，
∴，
∵P为的中点，
∴，
∵P为的中点，
∴为的中点，
∴，
∵，
∴，
故，
∵点M与点B、C不重合，
∴的取值范围是，
故答案为：．
12．
【分析】如图所示，取的中点D，连接，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质得到，再由可得当三点共线时，有最大值，最大值为．
解：如图所示，取的中点D，连接，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴当三点共线时，有最大值，最大值为，
故答案为：．

13．
【分析】利用矩形的性质、勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求解即可．
解：∵矩形中，，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，等面积法证明，进而证明，，根据全等三角形的性质得出，，根据已知条件求得，进而勾股定理求得，进而即可求解．
解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，

∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
设
在中，
∴
∴，
∴
∴
解得：
∴
在中，，
在中，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．
解：如图，连接，

∵，
∴，
∵于点D，于点E，，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小，
此时，，
代入数据：，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
16．
【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．
解：在矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点F是AE的中点，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】根据折叠的性质得出，在中，勾股定理求得，进而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的长，即可求解．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，
∴，
∴设，则，
∵折叠，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的坐标为，
故答案为：．
18．
【分析】设的交点为，的中点分别是，连接，先证，由此得当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，再证四边形是矩形，且，根据勾股定理的，进而求得的最小值．
解：设的交点为，的中点分别是，连接，
互相垂直，
和为直角三角形，且分别为斜边，
，
，
当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，
当点在线段上时，最小，最小值为线段的长，
分别为的中点，
是的中位线，
，
同理，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
在中，，
，
的最小值为，
的最小值为．

故答案为：．
三、解答题
19．
（1）解：如图①或②或③，
，
（2）解：∵等边边，
∴，
∴，
如图①所示：可得四边形是矩形，则其对角线长为；
如图②所示：，
连接，过点C作于点E，则可得四边形是矩形，
∴，，
则；
如图③所示：，
连接，过点A作交延长线于点E，可得四边形是矩形，
由题意可得：，，
故．
20．
解：（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴
设点C到的距离为h，
∵
∴
∴
答：点C到的距离为．
21．
解：（1）证明：在与中，
∴，
∴，
又∵、分别是、的中点，
∴；
（2）∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
22．
（1）解：①或②
（2）添加条件①，平行四边形ABCD为矩形，理由如下：
在平行四边形ABCD中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD为矩形；
添加条件②，平行四边形ABCD为矩形，理由如下：
在平行四边形ABCD中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD为矩形
23．
解：（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴；
（2）证明：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
24．
解：方案一：连接，如图2．

∵四边形是矩形，
∴，，
由作图知，
由翻折的不变性，知，，，
∴，，又，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∴线段的长为；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．

∵四边形是矩形，
∴，，
由作图知，
由旋转的不变性，知，，，
则，
∴共线，
由翻折的不变性，知，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∴线段的长为．