人教版八年级数学下册 18.2.2 菱形 同步练习（含详解）

18.2.2 菱形同步练习
一、单选题
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在中，若，则是直角三角形
2．如图，在菱形中，，则的长为（ ）

A． B．1 C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（ ）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC
6．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）

A．若OB＝OD，则 ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则 ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则 ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则 ABCD是菱形
8．如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，连接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则的度数为（　　）
A．50° B．60° C．80° D．90°
9．如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件： ，使四边形成为菱形．

12．点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为 ．

14．菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为 ．
15．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
16．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF=，则BD的长为 （结果保留很号）．
17．如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
18．如图，在菱形中，为菱形的对角线，，点为中点，则的长为 ．
三、解答题
19．如图，中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．
20．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，分别与交于点M，N．求证：
（1） ADE≌ CDF．
（2）．
21．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．
（1）求证：；
（2）求证：．
22．如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．
（1）证明：；
（2）连接、，证明：四边形是菱形．
23．如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，．
（1）是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形是菱形．
24．如图，矩形的对角线，相交于点O，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
答案：
一、单选题
1．C
【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可．
解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、设，
∵三角形内角和为，
∴，
∴
∴，则为锐角三角形，
∴该选项为假命题，不符合题意．
故选：C．
2．D
【分析】连接与交于O．先证明是等边三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的长度，即可求得的长度．
解：连接与交于O．

∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，且，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
3．D
【分析】根据作图可知：垂直平分，得到，于是得到点O为的对称中心，，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出四边形是菱形，据此判断即可．
解：根据作图可知：垂直平分，
∴，
∴点O为的对称中心，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∴，
∴，故A正确；
∴四边形是菱形，
∴，故C正确；
与不一定相等，故D错误，
故选：D．
4．C
【分析】由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根据中位线的性质可得，结合菱形的周长公式即可得出结论．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且点E为CD的中点，
是的中位线，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24．
故选：C．
5．C
【分析】根据菱形的性质逐项分析判断即可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确，
不能得出，故C选项不正确，
故选：C.
6．B
【分析】首先根据平行四边形的性质得到，然后根据菱形的性质得到，然后求解即可．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴ ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴ ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
8．C
【分析】由翻折的性质知∠BAE==50°，=AB，再由菱形的性质得∠BAD=120°，=AD，最后利用三角形内角和定理可得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，
∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，
∵将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，
∴∠BAE==50°，=AB，
∴=100°，=AD，
∴=20°，
∴==（180°-20°）÷2=80°，
故选：C．
9．C
【分析】根据菱形的性质可得，则，进而即可求解．
解：∵四边形是菱形
∴，
∴，
∵，
∴,
故选：C．
10．D
【分析】首先过点作于点E，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案．
解：过点作于点E，于点，

根据题意得：，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
同理： ，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴．
故选：D．
二、填空题
11．（答案不唯一）
【分析】根据题意，先证明四边形是平行四边形，根据，可得四边形成为菱形．
解：添加条件
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形成为菱形．
添加条件
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形成为菱形．
添加条件
∵，
∴
∵，，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形成为菱形．
添加条件
在与中，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形成为菱形．
故答案为：（或或等）．
12．62°
【分析】连接，根据中心对称图形的定义得出点是菱形的两对角线的交点，根据菱形的性质得出，，那么．
解：如图，连接，

点是菱形的对称中心，，
点是菱形的两对角线的交点，
，，
．
故答案为：．
13．
【分析】根据点的坐标是，可得的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点的坐标．
解：点的坐标是，
，
四边形为菱形，
，，
则点的坐标为．
故答案为：．
14．
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形的边长为2，，
中，
PQ+QC的最小值为
故答案为：
15．AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可）
【分析】由菱形的判定方法进行判断即可．
解：可以添加的条件是：AB＝CD，理由如下：
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加条件是：，理由如下：
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OA=OC，理由如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OB=OD，理由如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等．（只需写出一个条件即可）
16．
【分析】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．
解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
又∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中，，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH=DF=，
∴DB=2DH=．
故答案为：．
17．AB=BE（答案不唯一）
【分析】由题目提供的条件可以得到四边形是平行四边形，再添加一个条件使其成为菱形即可．
解：添加AB=BE，
∵将沿着方向平移得到，
∴AB=DE，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=BE，
∴四边形是菱形，
故答案为：AB=BE（答案不唯一）
18．
【分析】根据题意得出是等边三角形，进而得出，根据中位线的性质即可求解．
解：∵在菱形中，为菱形的对角线，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵是的中点，点为中点，
∴，
故答案为：．
三、解答题
19．
解：（1）证明：∵，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA．
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
∴，
∴；
（2）解：当时，四边形ADCF是菱形．
证明如下：
由（1）知，，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵，
∴是直角三角形．
∵点D是AB的中点，
∴，
∴四边形ADCF是菱形．
20．
解：（1）证明：由菱形的性质可知，，，
∵ ，
∴，即，
在 ADE和中，
，
∴ ADE≌ CDF（SAS）．
（2）证明：如图，连接BD交AC于点O，
由菱形的性质可知，，
∴，
由（1）知 ADE≌ CDF，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴ MDO≌ NDO（ASA）．
∴，
∴，
∴．
21．
解：（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）证明∶∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴AB∥CD，
∴，
∴．
22．
解：（1）证明：如图所示，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在与中
，
∴；
（2）∵
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形．
23．
（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
（2）证明：由（1）可得：是直角三角形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
24．
（1）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：矩形的面积为，
∴的面积为，
∴菱形的面积为．