人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 章节检测卷（含详解）

第18章《平行四边形》章节检测卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．对角线（ ）的四边形是平行四边形
A．相等 B．互相平分 C．垂直 D．垂直且相等
2．平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数与另一个角的度数之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，点Q是直线上的动点，点C和点D是直线上的定点，当点Q从左向右运动时，的面积将（ ）．
A．不变 B．变大 C．变小 D．无法确定
4．如图，菱形是轴对称图形，对称轴可以是（ ）
A．直线 B．对角线和直线
C． D．
5．如图，点在平行四边形ABCD的边上，连接，作交于点，点是的中点，且，若，则的长为（ ）

A．10 B．9 C． D．8
6．正方形，如图放置，，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（ ）

A． B． C．7 D．
7．如图，平行四边形ABCD的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）

A．1 B． C． D．3
8．三国时期，我国数学家赵爽创造了一副“勾股图方图”，证明了勾股定理，它由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形和一个小正方形，如图大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，分别取和的中点M，N，连接，则的长为 （　　）

A． B．2 C． D．3
9．如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图2是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（ ）
A．的值13 B．平行四边形ABCD的周长为16
C．秒时，线段最短 D．平行四边形ABCD的面积为12
10．如图，平行四边形中，与交于点O，点E是边上的中点，连接，，，．有下列结论：①是等边三角形；②平行四边形ABCD的周长是20，③平行四边形ABCD的边上的高是，④平行四边形ABCD是菱形，⑤平行四边形ABCD的面积是48．其中正确的是（ ）

A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在直角坐标系中，点的坐标，把线段沿轴正方向移动4个单位，得到四边形．若点在轴上，当时，点的坐标为 ．
12．如图，在中，，作点关于直线的对称点，如果也等于直角，直线必然经过一个定点，这个定点应该是 .

13．如图，平行四边形的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为 ．

14．如图，将长方形沿折叠得到两个全等的小长方形， 点G 在上运动，当点 A 关于的对称点落在右侧长方形内部（含边界）时，则的长度 m 的取值范围为 ．

15．如图，沿某方向平移一定距离得到，直角顶点C恰为中点，连接．给出结论：①；②；③四边形为菱形，其中正确结论的序号是 ．
16．如图，四边形为正方形，，点E为对角线上一点，．点F为正方形一边上一点，且，则 ．

17．如图，矩形的边厘米，厘米，在直角梯形中，厘米，厘米，厘米，点，，，在同一直线上，且厘米，矩形从点开始以厘米/秒的速度沿直线向右运动，同时点从点出发沿的路线，以厘米/秒的速度运动，到点停止．当点共运动 秒时，点与点相距厘米．
18．已知E、F两点分别在矩形纸片的边、边上．操作如下∶
第一步∶如图① ，以为折痕，折叠得到；
第二步∶如图② ，再以为折痕，折叠得到，此时，点恰好落在边上，且．
若，，则的长为 ，的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E、F在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点O，若，，求的长．
20．（8分）如图，在四边形中，，点在的延长线上，，连接，交边于点，且．
（1）求证：；
（2）连接、，若，求证：四边形为菱形．
21．（10分）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
22．（10分）如图，是四边形的对角线，，，过点A作交C的延长于E．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）过点E作交的延长线于点F，连接，若，求的长．
23．（10分）在正方形纸片中，点、分别是、上的点，连接．
（1）问题探究：如图1，作，交于点，求证：；
（2）问题解决：如图2，将正方形纸片沿过点、的直线折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点为点，若，，求线段的长．
24．（12分）如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连接，．
【基础巩固】
（1）求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形；
【操作思考】
（2）如图2，已知，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长；
【拓展探究】
（3）如图3，连接，若四边形为菱形，且，求的度数．
答案：
一、单选题
1．B
【分析】根据平行四边形的判定定理即可求解．
解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故选：B．
2．C
【分析】根据平行四边形邻角互补解答．
解：由题意可得
x+y=180°
即
故选：C．
3．A
【分析】根据平行线间的距离处处相等，可知的高不变，再结合点C和点D是直线上的定点，易知底边CD的长也是不变的，由三角形面积公式判断的面积不变．
解：∵，根据平行线间的距离处处相等，
∴点Q到的距离不变，即的高不变，
∵点C和点D是直线上的定点，
∴的底边CD的长也是不变的，
∴的面积不变．
故选：A．
4．A
【分析】根据菱形的对称轴是对角线所在的直线求解即可．
解：∵菱形的对称轴是对角线所在的直线，又对称轴是一条直线，而菱形的对角线是线段，
∴图中直线是菱形的对称轴，
故选：A．
5．B
【分析】延长交于点，可推出四边形是平行四边形，得；根据“点是的中点”可得、，设，根据即可求解．
解：延长交于点，如图：

∵，，
，
∵CE∥GH，
∴四边形是平行四边形，
，
∵点是的中点且，
，
∵点是的中点且，
，
，
设，
，
解得：，
∴，
故选：B．
6．B
【分析】如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，利用等腰直角三角形性质可得 ，由，可得，，利用勾股定理可得，再由三角形中位线定理可得，再证得，进而得出是的中线，即，由，即可求得答案．
解：如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，

∵四边形、是正方形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即Q是的中点，
又∵点O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
在中，，
∴的最大值为，
故选：B．
7．A
【分析】先证明，四边形是菱形，如图，连接，，而点G是的中点，可得为菱形对角线的交点，，当时，最小，再利用等面积法求解最小值即可．
解：∵平行四边形ABCD，，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，，
∴四边形是菱形，
如图，连接，，而点G是的中点，

∴为菱形对角线的交点，，
∴当时，最小，
∵平行四边形ABCD即矩形的面积为12，，
∴，，
∴，
∴，
由菱形的性质可得：，
∴，
∴，即的最小值为1．
故选A
8．C
【分析】设4个全等的直角三角形中较短的直角边长为x，根据勾股定理解求出x的值，作交的延长线于点K，易证四边形是矩形，再用勾股定理解即可．
解：大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，
，，
设4个全等的直角三角形中较短的直角边长为x，即，
则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
，
M，N分别是和的中点，
，．
如图，作交的延长线于点K，

则，
四边形是矩形，
，，，
，
，
故选C．
9．C
【分析】根据图象上点的坐标和图象的特点，利用平行四边形的性质可以判断出答案．
解：∵P在BC上时，△ABP的面积为S随t的增大而增大，
∴根据点（5，6）可以得到BC=5，S=6，
∴A到BC的距离为，
当P在CD上时，S不变，
∴CD=8-5=3，
∴a=5+3+5=13， ABCD的周长为2×（5+3）=16， ABCD的面积，5×=12，
故A，B，D都不符合题意；
当AP⊥BC时，AP最短，根据勾股定理，
，故C符合题意．
故选：C．
10．A
【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据中位线定理求出，根据已知线段求出，即可证明，得到是菱形，再根据菱形的性质求出面积和周长，利用等积法求出边上的高，分别算出的三边，可证明不是等边三角形．
解：在平行四边形中，，，
∵点E是中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是菱形，故④正确；
∴平行四边形ABCD的周长是，故②正确，
∵，
故⑤错误；
∴，
即边上的高是，故③正确；
∵，，，
∴不是等边三角形，故①错误；
∴正确的有②③④，
故选A．
二、填空题
11．或
【分析】本题主要考查了图形的平移以及性质，平行四边形的判定和性质，绝对值的意义．过点C作轴于E，由平移的性质得四边形为平行四边形，，，设点D的坐标为，则，，先求得，根据题意得，解方程求得a即可．
解：过点C作轴于E，如图所示：
由平移的性质得：，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵点，
∴，
设点D的坐标为，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴或，
由，解得：，则点D的坐标为，
由，解得：，则点D的坐标为，
∴点D的坐标为或者．
故答案为：或．
12．中点
【分析】此题考查了对称，连接和，利用，，则利用三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
解：如图，连接和，

根据对称性可知，，
∵，，
∴当点为的中点时，，
故答案为：中点．
13．1
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形中位线的判定与性质等知识点，根据题意求得的长是解题的关键．
由平行四边形可得,则，根据平分可得，从而可得，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理可得即可解答．
解：在平行四边形中，
∴是的中点，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，O是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为1．
14．
15．①②/②①
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、平移的性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握平移的性质和菱形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．由平移的性质得出，得出①正确；由平移的性质得出，，得出四边形是平行四边形，③错误，由四边形是平行四边形得出，由C恰为中点，得出，由平移的性质得出，，得出四边形是平行四边形，得出，继而得出，得出，②正确；
解：∵平移，得到，
∴，①正确；
∴，，
∴四边形是平行四边形，③错误；
∴，
∵C恰为中点，，
∴，
∴，
∵平移，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，②正确；
故答案为：①②．
16．或
【分析】根据题意分点F在线段上和点F在线段上两种情况讨论，分别根据正方形的性质和勾股定理求解即可．
解：如图所示，当点F在线段上时，过点E作，

∵四边形为正方形
∴
∴是等腰直角三角形
∴，
∴
解得
∵
∴
∵，，
∴四边形是矩形
∴，
∵，
∴
∴；
如图所示，当点F在线段上时，记为点，连接

∵四边形为正方形
∴正方形关于对角线所在直线对称
∵，和关于对角线所在直线对称
∴
∵，
∴
综上所述，或．
故答案为：或．
17．、或
【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分点在上和点在上利用勾股定理讨论求解即可．
解：如图，∵厘米，矩形从点开始以厘米/秒的速度沿直线向右运动，同时点从点出发沿的路线，以厘米/秒的速度运动，
∴开始运动秒后，点运动到点，
过点作于，则四边形和四边形以及四边形都是矩形，

∴（厘米），
设再过秒，则，
当点与点相距厘米时，即厘米，

∵厘米，，
∴，
解得或，
∴点共运动了秒或秒时，点与点相距厘米；
开始运动秒后，点运动到点，此时，厘米，如图，

设再过秒后，点与点相距厘米，
∵，
∴即，
解得（舍去）或，
∴点共运动了秒时，点与点相距厘米，
故答案为：、或．
18．
【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，先推导为矩形，则有，进而得到，延长交于点M，连接，则是矩形，先在中运用勾股定理求出长，再在中运用勾股定理求出折痕长即可．
解：由翻折可以得到，
∴，，，
又∵是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∴，
∴，
延长交于点M，连接，
∵是折痕，
∴，
设，则，
∵，即，
解得：，
∵，
∴是矩形，
∴，，
∴，
∴．

三、解答题
19．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点G，H分别是，的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接交于点O，
如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵点G是的中点，
∴是的中位线，
∴．
20．
解：（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
21．
解：（1）四边形是菱形，
理由： ，平分，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
，
四边形是菱形；
（2）平分，，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
的长为．
22．
解：（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵．
∴四边形是平行四边形；
（2）∵，
∴是的中线，
∵，
∴．
23．
（1）解：证明：过点作于，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）（2）连接，，
由折叠的性质得到：，，
设正方形的边长为，
由勾股定理得，，
，
解得：，
，
，
由勾股定理得， ，
是的垂直平分线，
由（1）知，，
．
24．
解：（1）证明：，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2），，，
，
如图2，连接交于点，

平移的过程中，四边形能成为菱形，
四边形能成为菱形，
，，，
，
，
，
设，
，
，
∵∠AOB=90 ，
，
，
解得：或（舍去），
．
当时，四边形能成为菱形；
（3）如图3，连结，延长交于点，

四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形为菱形，
，
．