沪教版七年级数学下册 16.1相交线 同步练习（含答案）

16.1相交线
一、单选题
1．如图所示，与是对顶角的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．如图，直线a、b交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．在下列语句中，正确的是（ ）．
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B．在同一平面内，过一点平行于已知直线的直线只有一条
C．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离
4．如图，生活中有下列两个现象：现象1，建筑工人砌墙时，会在两个墙脚的位置分别固定一根木杆，然后拉一条直的参照线；现象2，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短．对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A．均用两点之间线段最短来解释
B．均用两点确定一条直线来解释
C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用两点确定一条直线来解释
D．现象1用两点确定一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
5．若直线a与直线b相交于点A，则直线b上到直线α距离等于2cm的点的个数是（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，三角形ABC中，，于点D，若，则点C到直线AB的距离是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
7．为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线
C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直
8．如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，直线，相交于点O，射线平分，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，直线AB，CD，EF，GH，MN相交于点O，则图中对顶角共有（ ）

A．3对 B．6对 C．12对 D．20对
二、填空题
11．将一根木条钉在墙上，至少需要两个钉子，其数学原理是 ．
12．如图所示，直线交于点，则 ，根据是 ．
13．如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ．
14．如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是 米．
15．已知，在上有两点A，B，在上有两点C、D，且AD=BC=6cm，则与的距离为 6cm．（填“≤”或“≥”）
16．如图，直线a、b相交，，则 度．
17．如图，直线与直线相交于点，于点，且，则的度数为 ．
18．如图，直线相交于点O，，垂足为O，且平分．

（1）若，则的度数为 ；
（2）与的数量关系为 ．
三、解答题
19．如图，将甲 乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺是直的吗？为什么？
20．按下列要求画图并填空：如图，

(1)过点A画出直线a的垂线，与直线a交于点C；过点B画出直线a的垂线，与直线b交于点D；
(2)如果直线，那么线段、长度的大小关系是：______（用“＞”、“＝”、“＜”连接），它们的长度都可以表示直线a、b之间的______．
21．如图．两条直线a，b相交．
（1）如果∠1=60°，求∠2，∠3，∠4的度数；
（2）如果2∠3=3∠1，求∠2，∠3，∠4的度数．
22．如图，已知于，于．
(1)点到直线的距离是线段_______的长；
(2)点到直线的距离是线段_______的长；
(3)线段的长表示点到直线_______距离；
(4)线段的长表示点到直线_______距离；
(5)线段的长表示点_______到直线______距离；
(6)线段的长表示点_______到直线______距离；
23．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于点O，若∠AOC＝60°，求∠BOF的度数．
解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（　　）
∴∠　　＝　　°
∵OE平分∠BOD（ 已知 ）
∴∠BOE＝∠　　＝　　°（　 　）
∵OF⊥OE（ 已知 ）
∴∠EOF＝　　°（　 　 ）
∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF
∴∠BOF＝　 　°．
24．如图，直线与相交于点，平分，．已知，求的度数．

25．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分．
(1)的对顶角为________；
(2)若，求的度数；
(3)若，求的度数．
26．如图，直线与相交于点．

(1)若，求，的度数；
(2)若，求，的度数（用含的式子表示）．
27．观察下面各图，寻找对顶角（不含平角）
（1）如图（1），图中共有________对不同的对顶角.
（2）如图（2），图中共有________对不同的对顶角.
（3）如图（3），图中共有________对不同的对顶角.
（4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有条直线相交于一点，则可形成________对不同的对顶角.
（5）计算2013条直线相交于一点，则可形成________对不同的对顶角.
28．直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部．
(1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数；
②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据对顶角的定义逐个判断即可．
【解析】解：A、∠1与∠2的两边一边互为反向延长线，另一边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故本选项不符合题意；
B、∠1与∠2符合对顶角的定义，是对顶角，故本选项符合题意；
C、∠1与∠2的两边一边互为反向延长线，另一边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故本选项不符合题意；
D、∠1与∠2没有公共顶点，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了对角线的性质，正确理解对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等，即得答案．
【解析】因为与是对顶角，所以．
故选C．
3．C
【分析】由垂线的定义、平行公理、点到直线的距离，对每个选项进行判断，即可得到答案．
【解析】解：在同一平面内，一条直线有无数条垂线，故A错误；
在同一平面内，过直线外一点平行于已知直线的直线只有一条，故B错误；
在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条，故C正确；
在同一平面内，垂线段的长度就是点到直线的距离，故D错误；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查几何原理在日常生活中的应用，熟练掌握“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”的原理是解题的关键．
分别分析每个现象，并根据几何原理选择最合适的解释，即可得出答案．
【解析】解：现象1：建筑工人在砌墙时，使用木杆和绳子作为参照，确保墙体的直线性．这实际上是在应用两点确定一条直线的几何原理，通过固定两个点（木杆的位置），工人可以拉出一条直线作为砌墙的参考，确保墙的直线度．
现象2：将弯曲的河道改直，缩短了A、B两地间的距离．这一现象的解释是两点之间线段最短的应用，通过直接连接两点，即河道的起点和终点，可以达到最短距离的效果，从而缩短了实际航程．
因此，结合对两个现象的分析，现象1用两点确定一条直线来解释，而现象2用两点之间线段最短来解释．
故选：D．
5．C
【分析】根据点到直线的距离的定义解答即可
【解析】解：直线a与直线b相交于点A，则直线b上到直线α距离等于2cm的点的个数是2个
故选：C
6．A
【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离:直线外一点到直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离，
根据定义可知点C到直线的距离即垂线段的长即可解答．
【解析】解：∵，，
∴点C到直线的距离是，
故选A．
7．C
【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键．
直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．
【解析】解：A、为直线上的一点，Q为外一点，过P可画直线垂直于，正确，不合题意；
B、为直线上的一点，Q为外一点，过Q可画直线的垂线，正确，不合题意；
C、连接不能保证，故错误，符合题意；
D、为外一点，可以过Q可画直线与垂直，正确，不合题意；
故选∶C．
8．A
【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【解析】解：A、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意；
B、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意；
C、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意；
D、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意；
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂直定义是解题的关键．先利用垂线定义得出，再求出，然后根据角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得然后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解析】解：，
，
∵，
∴，
射线平分，
，
，
故选：A．
10．D
【分析】根据对顶角的特点，找n条直线可形成几对对顶角的规律，即可选出答案.
【解析】2条直线交于一点，对顶角有2对，；
3条直线交于一点，对顶角有6对，；
4条直线交于点，对顶角有12对，；
由规律可得n条不同直线相交于一点，
可以得到对对顶角，
所以直线AB，CD，EF，OH，MN相交于点O，
对顶角共有（对）.
故选D.
二、填空题
11．两点确定一条直线
【分析】此题考查了直线，熟知两点确定一条直线是解题的关键．根据直线的性质进行回答即可．
【解析】解：将一根木条钉在墙上，至少需要两个钉子，其数学原理是两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线
12． = ， 对顶角相等
【分析】根据两直线相交，对顶角相等，即可得到答案.
【解析】解：由题可知，与是对顶角，
∴，
根据是对顶角相等；
故答案为=，对顶角相等；
13．垂线段最短
【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案．
【解析】解：解：已知在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短
14．
【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确理解题意是解题关键．直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案．
【解析】解：由题意可得：小涛同学这次跳远的成绩应该是的长米．
故答案为：．
15．≤
【分析】根据两条平行线间的距离的定义和垂线段最短解答即可
【解析】解：∵，在上有两点A，B，在上有两点C、D，且，
∴与的距离≤6cm
16．140
【分析】本题主要考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等成为解题的关键．
先根据对顶角相等和已知条件求得，再根据平角的性质列式计算即可．
【解析】解：∵，（对顶角相等），
，
．
故答案为：140．
17．
【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角，数形结合是解题的关键．根据垂直的定义可得：，由，求出，最后利用平角的定义求解即可．
【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
18．
【分析】（1）邻补角求出，角平分线求出，再根据对顶角相等，即可得解；
（2）垂直和角平分线，得到，平角的定义，推出，，即可得出结论．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，平分，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：．
三、解答题
19．乙尺不是直的，因为如果乙尺是直的，那么过两点A，B就有两条直线了，这是不可能的，
所以乙尺不是直的．
20．（1）解：如图所示：

（2）解：，
根据平行线之间的距离定义可知，
由于，
故它们的长度都可以表示直线a、b之间的距离．
21．解：（1）∵∠1=60°，
∴∠2=180°-∠1=180°-60°=120°，
∴∠3=∠2=120°，∠4=∠1=60°；
（2）∵∠1+∠3=180°，2∠3=3∠1，
∴∠1=72°，∠3=108°，
∴∠2=∠3=108°，∠4=∠1=72°．
22．（1）∵，
∴点到直线的距离是线段的长；
故答案为：．
（2）∵，
∴点到直线的距离是线段的长；
故答案为：．
（3）∵，
∴线段的长表示点到直线距离；
故答案为： ．
（4）∵，
∴线段的长表示点到直线距离；
故答案为：．
（5）∵，
∴线段的长表示点到直线距离；
故答案为：，．
（6）∵，
∴线段的长表示点到直线距离；
故答案为：，．
23．解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（已知），
∴∠BOD＝60°，
∵OE平分∠BOD（已知），
∴∠BOE＝∠BOD＝30°（角平分线的定义），
∵OF⊥OE（已知），
∴∠EOF＝90°（垂直定义），
∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF，
∴∠BOF＝60°．
故答案为：已知；BOD；60；BOD；30；角平分线的定义；90；垂直定义；60．
24．解：直线与相交于一点，
，
平分，
，
，
，
．
25．解：（1）
（2）因为OA平分，，
所以．
又因为，
所以．
（3）因为，，
所以，．
由（2）可得．
26．（1）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）根据对顶角相等有：，，
∵，，
∴，，
∴．
27．解：（1）对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠AOD和∠BOC，
共有2对不同的对顶角
故答案为2；
（2）对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠AOE和∠BOF、∠COF和∠EOD，∠AOD和∠BOC，∠BOE和∠AOF，∠COE和∠DOF
共有6对不同的对顶角
故答案为6；
（3）对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠COF和∠EOD，∠FOH和∠EOG、∠BOH和∠AOG、∠AOE和∠BOF、∠GOD和∠COH，∠EOB和∠AOF，∠DOH和∠COG，∠AOD和∠BOC，∠COE和∠DOF，∠FOG和∠EOH、∠AOH和∠GOB，
共有12对不同的对顶角
故答案为12；
（4）两条直线相交，共有2=2×1对不同的对顶角；
三条直线相交，共有6=3×2对不同的对顶角；
四条直线相交，共有12=4×3对不同的对顶角；
∴有条直线相交时，有对不同的对顶角
故答案为：;
（5）当时，可形成（对）不同的对顶角
故答案为：4050156.
28．（1）解：①∵于点O，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度数为；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：设，则，
当点E，F在直线的同侧时，如图：
，
∴，①
，②
令①×3+②×2可得：，
当点E，F在直线的异侧时，如图：
，
∴，①
，②
令②×2+①可得：，
综上所述：或．