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重庆市万州二中高 2024 级高一下期第一次月考 三、解答题 16、（15 分）
15、（13 分）
数学答题卷
姓名
班级 考生条形码粘贴处
学校
缺考标记，考生禁填！由监考老师填涂！
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信
息点。
填 正确填涂 注
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不
涂 ! 意
得用铅笔或圆珠笔作解答题：字体工整、笔迹清楚。
样 错误填涂 事
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无
例 # $ % 项
效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
一、选择题（1——8 题每小题 5 分，9——11 题每小题 6分）
! 1 A B C D 6 A B C D 9 A B C D
! 2 A B C D 7 A B C D 10 A B C D
! 3 A B C D 8 A B C D 11 A B C D
! 4 A B C D
! 5 A B C D
二、填空题（每小题 5 分）
12． 13 ．
14．
该区域非答题区域！
! 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。 1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。 !
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17、（15 分） 18、（17 分） 19、（17 分）
D C
M
N
A B
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答案和解析
1.【答案】
【解答】
解：化简可得
，
的共轭复数，
故选：．
2.【答案】
【解答】
解：当时，，，
此时，故，故充分性成立，
当时，满足，解得，
故此时必要性成立，
故“”是“”的充要条件 ．
故选C．
3.【答案】
【解答】
解：由点，，，得，，
所以在方向上的投影向量为
．
故选A．
4.【答案】
5.【答案】
【解答】
解：由题意得，
即，由正弦定理得，
即，则，
又因为，所以，
又，
所以，
故，因为，所以．
所以三角形为等边三角形．
故选：．
6.【答案】B
【解答】
解：，，，
，，，
可得，，，
若，
则，，，
可得，，，
所以，
所以是等边三角形．
建立如图所示的平面直角坐标系，
，
，．
由题意设，
则，，
．
因为，
所以．
故选：．
7.【答案】D
【解析】解：设，则，
易知，，三点共线，
又，则，
又为的内角，则，
则，
又为的中点，则，则，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，则，
因为，，
在中，，
在中，，
所以，可得，
故，
，，
中，，
中，，
所以，得，
得，
，分别是和的中点，，
，，
又因为，，
可得，
即，，，
所以，
．
故选：．
首先根据圆的几何性质，结合余弦定理，求和，再利用向量转化，结合数量积公式，即可求解．
本题考查余弦定理及向量的运算性质的应用，属于中档题．
9.【答案】C
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
【解答】
解：由复数在复平面内对应的点分别为，
又三点是共线的，
所以 ，
解得．
故答案为：．
13.【答案】30
14.【答案】
【解答】
解：因为为单位向量，
则，
所以，
由，
得，
有，
所以，
则，
当且仅当与方向相反时“ ”成立，
所以．
故答案为：．
15.【答案】
解：由已知，
是实数，
，即，
．
，
由于是纯虚数，，解得，
则．
．
16.【答案】解:在中，，，，
则，所以，
由，则，，
在中，由余弦定理得
，
所以．
由可知，则，，，
在中，由正弦定理得，
即，解得．
17.【答案】解：由向量的线性运算法则，可得，
，
因为为线段中点，则，
联立得：，
整理得：．
由与交于点，得，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．
所以，即．
18.【答案】解：因为，
所以，
由正弦定理得，
则，
因为，所以；
因为，，，
即，解得，
设边上的角平分线长为，
则，即，
即，解得，即边上的角平分线长为；
延长交于，延长交于，
设，，所以，
在中，
在中，，所以，
在中，同理可得，
所以
，
因为，所以，所以，所以，
即的取值范围为．
19.解：（1）因为与同向，设，
则，
，
又因为∠GAB，∠GAC∈[0，π]，且，
所以cos∠GAB＝cos∠GAC，所以∠GAB＝∠GAC，
由，得，
又因为∠GAB∈[0，π]，所以，
所以；
（2）由（1）知，，
所以，
因为A（﹣1，0），，C（x，y），y＞0，
所以，，
则，解得或（舍），
所以C的坐标为（﹣1，2）；
（3）设BC的中点为D，则，
又因为，所以，即G为△ABC的重心，
又因为△ABC是正三角形，点G是△ABC的中心，
所以∠AGB＝∠BGC，，，
由对称性，不妨设与的夹角为，如图所示，
，
由图可知，与，与的夹角分别为，
所以，的值分别为﹣1，
当时，，
所以min{}，其取值范围是[﹣3，﹣2]，
所以min{}的取值范围是[﹣3，﹣2]．
第1页，共1页高2024级高一下月考数学试题
（总分：150分； 时间：120分钟）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位的共轭复数是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知点，，，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
4.中，三边之比，则等于( )
A. B. C. D.
5.在中，已知，且满足，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6.在中，，，为所在平面内的动点，且
，则的取值范围是( )
A. B. C.D.
7.已知是内的一点，，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.如图所示，已知在四边形中，，，，且点，，，共圆，点，分别是和的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则( )
A.
B.
C. 满足的复数对应的点形成的图形的周长是
D. 满足的复数对应的点形成的图形的面积是
10.如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则( )
A.
B. 最大值为
C.
D. ，，三点共线时，
11.的三个内角，， 所对边的长分别为，， ，其外接圆半径为，内切圆半径为，，满足，的面积为，则( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数，和在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数的值为 ．
13.“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为 米
14.已知，，为单位向量，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数其中，．
若是实数，求的值；
若是纯虚数，求．
16.本小题分
如图，在中，，，，点在线段上，且．
求的长；
求的值．
17.本小题分
(
M
D
C
B
A
N
)如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，
用和表示；
求；
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，，求边上的角平分线的长；
若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
19.本小题分
若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．
（1）求∠BAC；
（2）若A（﹣1，0），，C（x，y）（y＞0），求C的坐标；
（3）记a，b，c中的最小值为min{a，b，c}，若，，点P为平面内一点且满足，求min{}的取值范围．
高一数学第1页，共1页
