南充高中高 2023 级第四学期第一次月考
数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分 命审题：童俊璋 杨秦飞 ）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦
干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
第 I卷（选择题）
一、单选题：本题共 8题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．在等比数列 a 中， , 是方程 2n 3 9 8 + 2 = 0 的两根，则 6 =（ ）
A． 2 B． 2 C．± 2 D．3 ± 5
2. 已知圆 : 2 + 2 + 2 4 + 1 = 0关于直线 + 2 1 = 0对称，则实数 =（ ）
A．6 B．4 C．3 D．7
3. 下列求导运算正确的是（ ）
'
A 1． = B． (2 1) ' =
4 4 2 1
C． 2 ' = 2 D． 1 + ' = 1
4.已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn， 3 = 16， 6 = 8，则 12 =（ ）
A 20 8． B3 ． 80 C． 24 D．3
5.已知抛物线 : 2 = 2 > 0 的焦点为F 2,0 ，过点 F 的直线 l与抛物线C的一个交点为 A m,8 ，
则直线 l的方程为（ ）
A．4 + 3 8 = 0 B．3 + 4 6 = 0
C．4 3 8 = 0 D．3 4 6 = 0
6. + 设函数 f x 在 = 0处存在导数为 2，则 0 0 =（ ） →0
2
A．1 B．2 C． D．4
3
7.记 ,￡ 表示点 到曲线￡上任意一点距离的最小值.已知圆 1： 2 + 3 2 = 1，圆 2：
4 2 + 2 = 4，若点 为圆 1上的一点，则 ( , 2)的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．3
试卷第 1页，共 4页
2 2
8 x y．已知双曲线C : F F F
a2 b2
1的两焦点分别为 1、 2，过右焦点 2作直线 交右支于 、 点，且 = 3 2 ，
若∠ 1 = 3，则双曲线 的离心率为（ ）
7 3 5 7
A． B． C． D．
5 2 3 3
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.已知数列 是公差小于 0的等差数列，前n项和为 Sn，满足 1 + 5 3 = 8，下列选项正确的有（ ）
A． 10 = 0 B． 7 = 12 C． 10最小 D． 20 = 0
10．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2,E,F分别是 AD,DD1的中点，点 P是底面 ABCD内一动
点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点 P，使得 ∥平面 ABC1D1
B．过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥 1 1 1 的体积为 4
D．三棱锥 的外接球表面积为 9
11.在 2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以 69.800分的成绩夺得金牌，这是中
国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它
可看作由抛物线 : 2 = 2 > 0 绕其顶点分别逆时针旋转 90 , 180 , 270 后所得三条曲线与C围成
的（如图阴影区域）， A,B为 与其中两条曲线的交点，若 = 1，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为 y 2x2
B． AB 4
C．直线 x y t 2截第一象限花瓣的弦长最大值为
2
D．阴影区域的面积大于 4
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15分.
12.已知函数 ( ) = '( ) 4 ，则 在 = 4 的导数是 .
13．一个袋子中有 2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出 2个球，则两次都取到
白球的概率为 .
14.若数列 满足 1 = 1
+1 = +2 +1 ∈ ， ，若 1 2 + 2 3 + . . . + +2 6 7 = 3，则
2025 = .
试卷第 2页，共 4页
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题共 13分）
某高校的入学面试中有 3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是 0.6．若每位面试者共有
三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3次答完为止．
(1)求李明第二次答题通过面试的概率；
(2)求李明最终通过面试的概率．
16. （本小题共 15分）
已知函数 = 2 2.
(1)若 = 1，求 ' ；
(2)若 在 1, 1 处的切线与直线 3 2 = 0垂直，求 a.
17．（本小题共 15分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为菱形，且 ABC 60 ，PA 平面 ABCD，PA AB 2，
点E,F为PC,PA的中点.
(1)求证：平面 BDE 平面 ABCD；
(2)二面角 E BD F的大小；
(3)线段
上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成夹角为6.若存
在，求出 点的位置；若不存在，请说明理由.
18．（本小题共 17分）
a n n 1 *已知数列 n 的前 项和为 Sn ,a1 2,an 1 Sn 2 ,n N ．
(1) 求证：数列 2 是等差数列；
(2)设 =
, n
3 的前 项和为 ；
①求 ；
3
②若对任意的正整数 n，不等式 6 < ﹒ 恒成立，求实数 的取值范围．（结果可保留幂的形4
式）
试卷第 3页，共 4页
19．（本小题共 17分）
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰
富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．
步骤 1：用圆规作一个圆：(x 1)2 + 2 = 16，设圆心为 E，在圆内异于圆心处取
一点( 1,0)，标记为 F；
步骤 2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 F；
步骤 3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤 4：不停重复步骤 2和 3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．且折痕均与椭圆相切，设点 为两条折痕的交点，且过点
的两条折痕与椭圆相切与 、 两点， 为坐标原点， 、 分别表示直线 与直线 的斜率.
(1)求 ﹒ 的值；
(2)若 ⊥ ；
①求 点轨迹方程;
② ﹒ 的取值范围.
试卷第 4页，共 4页《南充高中高 2023 级第四学期第一次月考数学试卷》参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A C D B C D A D AB BD BCD
1 3
12. √2 + 1 13. /0.1 14.
10 1015
15.（1）解：用 Y表示答对题目，用 N表示没有答对题目；
由题意知， ( ) = 0.6, ( ) = 1 ( ) = 0.4……………………………………………....3 分
6
所以第二次答题通过面试的概率 ( ) = ( ) ( ) = 0.4 × 0.6 = 0.24或 ………...…..6 分
25
（2）解：由题意，李明未通过的概率为 ( ) = 0.4 × 0.4 × 0.4 = 0.064，………..…9 分
117
所以李明通过面试的概率为 = 1 ( ) = 1 0.064 = 0.936或 ………………..13 分
125
1 1 4 3
16．（1）因为 ( ) = 2 2，所以 ′( ) = 2 4 = ……………………..6 分 2
（2）因为 ′
1
( ) = 4 ，所以 ′(1) = 1 4 ，……………………………………10 分
2
由题意知，(1 4 ) = 1，即4 2 3 = 0，
3
3
所以(4 + 3)( 1) = 0，所以 = 1或 = ……………………………………………15 分
4
17．（1）证明：连接 与 交于点 ，连接 ，
∵底面 为菱形，∴点 为 的中点，
∵点 为 的中点 ∴ ∥ ，………………………………………………………………2 分
又 PA ⊥平面 ,∴ ⊥平面 ，
又∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ；………………………………………...……4 分
（2）∴ ⊥平面 ，且底面 为菱形，∴ , , 两两垂直，
以 为原点，以 , , 向量方向为 , , 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
答案第 1 页，共 5 页
∵底面 ABCD为菱形，且∠ = 60°，PA = AB = 2 ,∴ = 2， = √3,
1
∵ , 分别为 , 的中点，∴ = = 1， = = 1,
2
则 (0,0,0), (√3, 0,0), (0,1,0), ( √3, 0,0)， (0, 1,1)，
则 = (√3, 1, 1)， = (2√3, 0,0)， = (0,1,0)，
设平面BFD 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2√3 = 0 = 0
则有{ ，即{ ，
= √3 + = 0 =
令 = 1，则 = (0,1,1)，……………………………………………………………………6 分
∵底面 为菱形，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 ABCD = BD， 平面 ，
OC ⊥平面 ，
∴ = (0,1,0)为平面 的一个法向量，
设二面角E BD F 大小为 ，
| | |0+1+0| √2
则 = | , | = = = .
| | | | √0+1+1√0+1+0 2
所以二面角E BD F 的大小为 ；…………………………………………………………9 分
4
（3）不存在，理由如下：……………………………………………………………………10 分
因为点 在线段 上，设 = (0 ≤ ≤ 1)，
(0, 1,2)， (0,1,0)， (0, , 1,0)则 = (0,2, 2)，
则 = (0,2 , 2 )，则 (0,2 1,2 2 )，则 = (0,2 , 2 2 )，………………...12 分
由题知直线 与平面 所成夹角为 ，
6
| | |0+2 +2 2 | 1
则 = | , | = = =
6 | | | | √0+1+1√(2 )2+(2 2 )2 2
1± 3
即16 = 2(8 2 8 + 4)，解出 √ = ………….. ……………………………………...…14 分
2
1± 3
因为0 ≤ ≤ 1，且 √ 不在区间[0,1]里，故线段 上不存在这样的点 ……………….15 分
2
答案第 2 页，共 5 页
18（1）因为 +1 +1 = + 2 ，所以 +1 = + 2
+1，.. ………………………...…2 分
所以 +1
+1
+1 = 2 + 2 ，所以 +1 = + 1，所以
+1
+1
= 1， 2 2 2 2
所以{ }是公差为 1 的等差数列；.. ………………………………………………..............…5 分
2
S a
（2）①因为 1 = 1 =1 = 1 + ( 1) × 1 = 1 ，所以 ，所以 = 2
，
2 2 2
n
S 2
bn =
n = n ，
3n 3
1 2 3 n 1 n
2 2 2 2 2
T =1 + 2 + 3 + + (n 1) + n ， n
3 3 3 3 3
2 3 4 n n+1
2 2 2 2 2 2
Tn =1 + 2 + 3 + + (n 1) + n ，
3 3 3 3 3 3
2 3 +1
两式相减得1 2 2 2 2 2 = + ( ) + ( ) + + ( ) × ( ) ， 3 3 3 3 3 3
n+1
2 2
n+1 n+1
3 3 2 2 = n
2
= 2 (n+3) ，
3 3
1
3
n
2
T = 6 (2n + 6) ．. ………………………………………………...........................…11 分 n
3
3
②6 < ﹒ ( ) 对任意的 ∈
恒成立，
4
3 8
所以(2 + 6)﹒2 < ﹒ ( ) 则 ＞(2 + 6)﹒ ( ) 对任意的 ∈ 恒成立，
4 9
8
令 = (2 + 6)﹒ ( ) ; 9
+1
所以 8 8 8 +1 = ( ) (2 + 8) ( ) (2 + 6) = ( ) (10 2 )，…..……….............13 分 9 9 9
则当 ＜5时，{ }为递增数列， 1＜ 2＜ 3＜ 4＜ 5；
当 = 5时， 5 = 6；
当 ＞5时，{ }为递减数列， 6＞ 7＞. . . 1＞ …………………………......................15 分
219 219
当 = 5 或 6时，( ) = 5 = ，故 ＞ . …………………………..........................17 分 310 310
答案第 3 页，共 5 页
19（1）由题，折痕轨迹是椭圆， (1,0)， ( 1,0)，半径 = 4，| | + | | = 4＞| |，
2 2
设椭圆标准方程为 + = 1，其中 = 2， = 1，2 2 = √3.
2 2
故椭圆标准方程为 + = 1. ………………………………………….............................….2 分
4 3
设 ( 0, 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)；两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为 ,则设直
2 2
+ = 1,
线 方程为 1 = ( 1)．由{ 4 3 消去 有
1 = ( 1),
(4 2 + 3) 2 8 ( 1 1) + 4( 1
2
1) 12 = 0．
令 = 0，整理得( 2 4) 21 2
2
1 1 + 1 3 = 0
注意到方程( 2 2 2 2 2 2 21 4) 2 1 1 + 1 3 = 0的 = 4 1 1 4( 1 4)( 1 3)
2 2
又 (
1, 1)满足椭圆方程
1 + 1 = 1，代入上式， = 0
4 3
故方程( 2 4) 2
3 1
1 2 1 1 +
2
1 3 = 0有两个相等的实根，即 = . ....................4 分 4 1
3
= 1
= 0
1
又 ，整理有3 0 1 + 4 0
2 2
1 = 4 1 + 3 1 = 12； 4 1 0 1
同理，点 ( 2, 2)也满足方程3 0 2 + 4 0 2 = 4
2
2 + 3
2
2 = 12；
3 0 3
则直线 方程为3 0 + 4 0 = 12，即 B = ,即 ﹒ = 4 0 4
3
综上 ﹒ 的值为 . ……………………………………………….............................….6 分 4
（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即 A, B两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，
此时 的坐标为(±2,±√3)． …………………………………………................................….7 分
当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为 ，交点为 ( 0, 0)，
2 2
+ = 1,
则过 的切线方程为 0 = ( 0)．由{ 4 3 消去 有
0 = ( 0),
(4 2 + 3) 2 8 ( 0 0) + 4(
2
0 0) 12 = 0．
令 = 0，整理得( 2 2 20 4) 2 0 0 + 0 3 = 0(
2
0 ≠ 4)．
因为 , 是关于 的一元二次方程的两个根，
20 3
2
0 3所以 ﹒ = 2 ．由 ﹒ = 1，得 2 = 1，…………….......................…..9 分 0 4 0 4
即 2 20 + 0 = 7(
2
0 ≠ 4)，点 (±2,±√3)也在圆
2
0 +
2
0 = 7上，
综上，动点 的轨迹方程为 2 + 2 = 7. …………………………................................……11 分
答案第 4 页，共 5 页
0 0
②设 ( 0, 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)；由(1)知，直线 方程为： + = 1 4 3
2 2
+ = 1,
由{ 4 3 ( 消去 有 4
2
0 + 3
2) 20 24
2
0 0 0
+ 48 16 0 = 0，
+ = 1,
4 3
24
1 + 2 =
0 ,
4 2 20 +3 0
即{ , ………………………................................ …………………..……13 分
48 16 2
= 01 2 4 2+3 2
,
0 0
36 9
2
又 ﹒ = 1 2 + 1 2，且 1
0
2 = 2 2 4 0 +3 0
2 2 2 2
则
48 16 0 36 9 0 84 16 9 ﹒ = 0 01 2 + 1 2 = 2 2 + 2 2 = 2 2 …………………….......15 分 4 0 +3 0 4 0 +3 0 4 0 +3 0
且 ( 0,
2
0)满足 0 +
2
0 = 7，即
2
0 = 7
2
0 代入上式，
7 20 + 21 168
﹒ = = 7 +
2 + 21 20 0 + 21
2 168因为 0 ∈ [0,7],所以 ﹒ = 7 + 2 ∈ [ 1,1]; 0 +21
综上， ﹒ 的取值范围为[ 1,1] ……………………................................ …….....……17 分
答案第 5 页，共 5 页
