九年级数学下册人教版 28.2《解直角三角形及其应用》课时练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 九年级数学下册人教版 28.2《解直角三角形及其应用》课时练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 706.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-02 16:46:13 | ||
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文档简介
九年级数学下册人教版第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》
课时练习
一、单选题
1．如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度，坝高BC为2m，则斜坡AB的长是（ ）
A．m B．m C．m D．6m
2．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为 （ ）
A．40米 B．米 C．米 D．10米
3．如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（ ）.
A． B． C． D．
6．如图，已知正方形，延长至点E使，连接，，与交于点N，取得中点F，连接，，交于于点M，交于点O，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC= ．
8．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，则BC的长度为 ．
9．某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）
10．如图，从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为，底部D的俯角为，两楼的水平距离BD为24 m，那么楼CD的高度约为 m．(结果精确到1 m，参考数据：，，)
11．为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位（）
12．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为 ．
13．如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为 ．
14．如图，在△ABC中，，且是内一点，若的最小值为，则 ．
三、解答题
15．如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝25°,求长方形卡片的周长．（精确到1mm，参考数据： sin25°≈0，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）.
16．身高相同的三个人甲、乙、丙放风筝，他们放出约风筝线长分别为，，，拉直的线与地面所或的锐角分别为，，．
（1）谁放的风筝最高？
（2）若倾斜角度不变，则甲的风筝线放到多长时，他的风筝才是最高的？
17．停车难已成为合肥城市病之一，主要表现在居住停车位不足，停车资源结构性失衡，中心城区供需差距大等等.如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为 1.2 米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84）
18．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量，景点D位于景点A的北偏东30′方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km.
（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考试其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km）．
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）
（参考数据：=1.73，=2.24，sin53°=0.80，sin37°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=0.62，sin52°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73）．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E是边AB上一点．
（1）如图①，作△ADE的外接圆交DC于F．求证：四边形AEFD是矩形；
（2）将△ADE沿着DE翻折至△GDE，点A与点G重合，且点G落在边BC上．
① 如图②，若AD＝10，求AE的长；
② 如图③，当点G是BC的中点时，求AD的长．
20．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．
（1）求B处到灯塔P的距离；
（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？
21．如图，为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6m，求：
（1）渠面宽EF；
（2）修200m的渠道需挖的土方数．
22．【选一选，填一填】
（1）⊙O的直径为20，圆上两点M、N距离为16，⊙O上一动点A到直线MN距离的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．24 D．32
（2）等腰△ABC中，顶角∠ABC=45°，AM⊥BC，BN⊥AC，AM与BN交于点P，则的值为 ．
【画一画，算一算】
（3）如图是某百姓休闲广场的部分平面示意图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=120°，CD长60米，BC长80米， 点E在CD边上，且CE长40米．根据规划，要在直角梯形ABCD内确定一点F，AF长25米，同时建造展示区△FDE和休闲区△FBC．已知展示区造价每平方米200元，休闲区造价每平方米100元，建造好展示区和休闲区最少需要多少元？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A B B B C
7．
8．
9．326
10．42
11．17
12．5米
13．/
14．
15．解：作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F， 则△ABE和△AFD均为直角三角形，
在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝25°，sin∠ABE＝ ∴AB＝20÷0.4＝50，
∵∠FAD＝90°－∠BAE，∠α＝90°－∠BAE， ∴∠FAD＝∠α＝25°
在Rt△AFD中，cos∠FAD＝， AD＝≈44.4
∴长方形卡片ABCD的周长为（44.4＋50）×2＝190（mm）
点睛：本题主要考查的就是解直角三角形，属于基础题型．在这个问题的关键就是将线段AB和AD放入直角三角形中，从而利用三角函数得出答案．
16．解：（1）甲放的高度为：300×sin30° = 150（米），
乙放的高度为：250×sin45° = ≈176.75（米），
丙放的高度为：200×sin60° = 100≈173.2（米），
176.75＞173.2＞150
所以乙的风筝最高；
（2）因为倾斜角度不变，要想甲风筝最高，即甲风筝的垂直高度大于，甲风筝线应大于÷sin30°=250
所以若倾斜角度不变，则甲的风筝线放到大于250米时，他的风筝才是最高的．
17．解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC=40°，AO=1.2米，
∴AC=sin∠AOC AO≈0.64×1.2=0.768，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门不会碰到墙．
18．解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，
过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，在Rt△DAF中，∠ADF=30°，
∴AF=AD=×8=4，∴DF=，
在Rt△ABF中BF==3，
∴BD=DF﹣BF=4﹣3，sin∠ABF=，
在Rt△DBE中，sin∠DBE=，∵∠ABF=∠DBE，∴sin∠DBE=，
∴DE=BD sin∠DBE=×（4﹣3）=≈3.1（km），
∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；
（2）由题意可知∠CDB=75°，
由（1）可知sin∠DBE==0.8，所以∠DBE=53°，
∴∠DCB=180°﹣75°﹣53°=52°，
在Rt△DCE中，sin∠DCE=，∴DC=≈4（km），
∴景点C与景点D之间的距离约为4km．
19．解：（1） 矩形ABCD，
是的直径，
四边形是矩形；
（2）①由对折可得：
矩形ABCD，AB＝6，
设 则
② 矩形
，
设
由对折可得：
为的中点，
由
解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意；
20．（1）过点P作PD⊥AB于点D，
由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，
∴PB=AB=60（海里），
答：B处到灯塔P的距离为60海里；
（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，
∴PB=AB=60（海里）
在Rt△PBD中，
PD=BPsin60°60（海里），
∵，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
21．（1）在横断面的示意图中，过点B作BG⊥EF，交AD于点H，交EF于点G．
∵B到EF的垂直距离即BG=1.2+0.6=1.8 m，
坡度为1：0.8，即，
∴EG=1.44（m），
∴EF=BC+2EG=4.88（m）；
（2）∵，
∴AH=0.8BH=0.8×1.2=0.96（m），
∴AD=2AH+BC=0.96×2+2=3.92（m），
由梯形面积公式可得：S梯形ABCD=（AD+BC）×BH= [（2+3.92]×1.2=3.552（m2），
∴修200米长的渠道需挖的土方数为200×3.552=710.4（m3）．
22．解：（1）如图所示，当直径AB⊥MN时，点A到直线MN距离的最大.
∵⊙O的直径为20，
∴ON=10，
∵AB⊥MN，
∴PN=MN=8，
∴OP=,
∴AP=10+6=16，即：点A到直线MN距离的最大值为：16，
故选A；
（2）过点P 作PQ ⊥AB于点Q，
∵在等腰中，BN⊥AC，AB=AC，
∴BN平分∠ABC，
∵AM⊥BC，
∴PQ=PM，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAM=45°，即是等腰直角三角形，
∴AB=，
∴=，
故答案是：；
（3）过点D作DM⊥BC，
∵直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=120°，CD长60米，BC长80米，
∴∠BCD=180°-120°=60°，∠CDM=30°，四边形ABMD是矩形，
∴CM=米，AD=BM=80-30=50米，DM=30米，
取AD的中点N，则AN=25米，以点A为圆心，AN为半径，作，则点F在上，
∵CD=60米，CE=40米，
∴DE=60-40=20米，
∴，
设总造价为y元，
连接CF，过点E作EH⊥BC，则EH=，米，BH=BM+MH=60米，
则
=，
∴当的值最小时，最小，从而y的值最小，
过点A作AG⊥BE，交于点，此时最小值=，
∵∠BAG+∠ABG=∠ABG+∠EBH=90°，
∴∠BAG=∠EBH，
∴tan∠BAG=tan∠EBH=，即：∠BAG=∠EBH =30°，
∴AG=AB×cos30°= DM×cos30°=米，BE=2EH=米，
∴最小值==（平方米），
∴y最小值=100×()=．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
课时练习
一、单选题
1．如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度，坝高BC为2m，则斜坡AB的长是（ ）
A．m B．m C．m D．6m
2．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为 （ ）
A．40米 B．米 C．米 D．10米
3．如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（ ）.
A． B． C． D．
6．如图，已知正方形，延长至点E使，连接，，与交于点N，取得中点F，连接，，交于于点M，交于点O，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC= ．
8．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DA⊥AC，tan∠BAD=，AB=，则BC的长度为 ．
9．某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）
10．如图，从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为，底部D的俯角为，两楼的水平距离BD为24 m，那么楼CD的高度约为 m．(结果精确到1 m，参考数据：，，)
11．为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位（）
12．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为 ．
13．如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为 ．
14．如图，在△ABC中，，且是内一点，若的最小值为，则 ．
三、解答题
15．如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝25°,求长方形卡片的周长．（精确到1mm，参考数据： sin25°≈0，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）.
16．身高相同的三个人甲、乙、丙放风筝，他们放出约风筝线长分别为，，，拉直的线与地面所或的锐角分别为，，．
（1）谁放的风筝最高？
（2）若倾斜角度不变，则甲的风筝线放到多长时，他的风筝才是最高的？
17．停车难已成为合肥城市病之一，主要表现在居住停车位不足，停车资源结构性失衡，中心城区供需差距大等等.如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为 1.2 米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84）
18．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量，景点D位于景点A的北偏东30′方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km.
（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考试其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km）．
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）
（参考数据：=1.73，=2.24，sin53°=0.80，sin37°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=0.62，sin52°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73）．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E是边AB上一点．
（1）如图①，作△ADE的外接圆交DC于F．求证：四边形AEFD是矩形；
（2）将△ADE沿着DE翻折至△GDE，点A与点G重合，且点G落在边BC上．
① 如图②，若AD＝10，求AE的长；
② 如图③，当点G是BC的中点时，求AD的长．
20．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．
（1）求B处到灯塔P的距离；
（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？
21．如图，为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6m，求：
（1）渠面宽EF；
（2）修200m的渠道需挖的土方数．
22．【选一选，填一填】
（1）⊙O的直径为20，圆上两点M、N距离为16，⊙O上一动点A到直线MN距离的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．24 D．32
（2）等腰△ABC中，顶角∠ABC=45°，AM⊥BC，BN⊥AC，AM与BN交于点P，则的值为 ．
【画一画，算一算】
（3）如图是某百姓休闲广场的部分平面示意图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=120°，CD长60米，BC长80米， 点E在CD边上，且CE长40米．根据规划，要在直角梯形ABCD内确定一点F，AF长25米，同时建造展示区△FDE和休闲区△FBC．已知展示区造价每平方米200元，休闲区造价每平方米100元，建造好展示区和休闲区最少需要多少元？
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A B B B C
7．
8．
9．326
10．42
11．17
12．5米
13．/
14．
15．解：作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F， 则△ABE和△AFD均为直角三角形，
在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝25°，sin∠ABE＝ ∴AB＝20÷0.4＝50，
∵∠FAD＝90°－∠BAE，∠α＝90°－∠BAE， ∴∠FAD＝∠α＝25°
在Rt△AFD中，cos∠FAD＝， AD＝≈44.4
∴长方形卡片ABCD的周长为（44.4＋50）×2＝190（mm）
点睛：本题主要考查的就是解直角三角形，属于基础题型．在这个问题的关键就是将线段AB和AD放入直角三角形中，从而利用三角函数得出答案．
16．解：（1）甲放的高度为：300×sin30° = 150（米），
乙放的高度为：250×sin45° = ≈176.75（米），
丙放的高度为：200×sin60° = 100≈173.2（米），
176.75＞173.2＞150
所以乙的风筝最高；
（2）因为倾斜角度不变，要想甲风筝最高，即甲风筝的垂直高度大于，甲风筝线应大于÷sin30°=250
所以若倾斜角度不变，则甲的风筝线放到大于250米时，他的风筝才是最高的．
17．解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC=40°，AO=1.2米，
∴AC=sin∠AOC AO≈0.64×1.2=0.768，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门不会碰到墙．
18．解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，
过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，在Rt△DAF中，∠ADF=30°，
∴AF=AD=×8=4，∴DF=，
在Rt△ABF中BF==3，
∴BD=DF﹣BF=4﹣3，sin∠ABF=，
在Rt△DBE中，sin∠DBE=，∵∠ABF=∠DBE，∴sin∠DBE=，
∴DE=BD sin∠DBE=×（4﹣3）=≈3.1（km），
∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；
（2）由题意可知∠CDB=75°，
由（1）可知sin∠DBE==0.8，所以∠DBE=53°，
∴∠DCB=180°﹣75°﹣53°=52°，
在Rt△DCE中，sin∠DCE=，∴DC=≈4（km），
∴景点C与景点D之间的距离约为4km．
19．解：（1） 矩形ABCD，
是的直径，
四边形是矩形；
（2）①由对折可得：
矩形ABCD，AB＝6，
设 则
② 矩形
，
设
由对折可得：
为的中点，
由
解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意；
20．（1）过点P作PD⊥AB于点D，
由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，
∴PB=AB=60（海里），
答：B处到灯塔P的距离为60海里；
（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，
∴PB=AB=60（海里）
在Rt△PBD中，
PD=BPsin60°60（海里），
∵，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
21．（1）在横断面的示意图中，过点B作BG⊥EF，交AD于点H，交EF于点G．
∵B到EF的垂直距离即BG=1.2+0.6=1.8 m，
坡度为1：0.8，即，
∴EG=1.44（m），
∴EF=BC+2EG=4.88（m）；
（2）∵，
∴AH=0.8BH=0.8×1.2=0.96（m），
∴AD=2AH+BC=0.96×2+2=3.92（m），
由梯形面积公式可得：S梯形ABCD=（AD+BC）×BH= [（2+3.92]×1.2=3.552（m2），
∴修200米长的渠道需挖的土方数为200×3.552=710.4（m3）．
22．解：（1）如图所示，当直径AB⊥MN时，点A到直线MN距离的最大.
∵⊙O的直径为20，
∴ON=10，
∵AB⊥MN，
∴PN=MN=8，
∴OP=,
∴AP=10+6=16，即：点A到直线MN距离的最大值为：16，
故选A；
（2）过点P 作PQ ⊥AB于点Q，
∵在等腰中，BN⊥AC，AB=AC，
∴BN平分∠ABC，
∵AM⊥BC，
∴PQ=PM，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAM=45°，即是等腰直角三角形，
∴AB=，
∴=，
故答案是：；
（3）过点D作DM⊥BC，
∵直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=120°，CD长60米，BC长80米，
∴∠BCD=180°-120°=60°，∠CDM=30°，四边形ABMD是矩形，
∴CM=米，AD=BM=80-30=50米，DM=30米，
取AD的中点N，则AN=25米，以点A为圆心，AN为半径，作，则点F在上，
∵CD=60米，CE=40米，
∴DE=60-40=20米，
∴，
设总造价为y元，
连接CF，过点E作EH⊥BC，则EH=，米，BH=BM+MH=60米，
则
=，
∴当的值最小时，最小，从而y的值最小，
过点A作AG⊥BE，交于点，此时最小值=，
∵∠BAG+∠ABG=∠ABG+∠EBH=90°，
∴∠BAG=∠EBH，
∴tan∠BAG=tan∠EBH=，即：∠BAG=∠EBH =30°，
∴AG=AB×cos30°= DM×cos30°=米，BE=2EH=米，
∴最小值==（平方米），
∴y最小值=100×()=．
答案第1页，共2页
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