圆创教育高三下册数学3月联考试题（PDF版，含解析）

2025届高三三月联合测评
数学试卷参考答案与详解
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B D C D B B C ABC ACD BCD
1.【答案】A
【详解】因为A={-2,-1,0,1},B={x|x<-1,或x>2},所以A∩B={-2},选A.
2.【答案】B
【详解】(方法一)将1+i代入x2+px+q=0,并整理得(p+q)+(p+2)i=0,所以p+q=0.
(方法二)因为-p=1+i+1-i=2,q=(1+i)(1-i)=2,所以p+q=0.选B.
3.【答案】D
【详解】p: n∈N,n2>2n+5的否定是 n∈N,n2≤2n+5,选D.
4.【答案】C
【详解】因为|2e1+e2|=|e
7
1-3e2|=7,(2e1+e2)·(e1-3e2)=- ,2
所以cos<2e1+e2,e
1
1-3e2>=- ,所以2 2e1+e2
与e1-3e2的夹角为120°,选C.
5.【答案】D
【详解】由f(x)=f(4-x)知,函数f(x)的图象关于直线x=2对称.当x≤2时,f(x)单调递增,所以
f(-3)6.【答案】B
【详解】因为M(x0,4)在抛物线上,所以|MF|等于M 到直线x=-p的距离2 .
所以x +p0 2=4+
p,即
2 x0=4.
将 4,4 代入抛物线方程,得p=2,选B.
7.【答案】B
【详解】因为f(x)=x-
1
x-logax
是增函数,所以f'(x)=1+
1- 12 ( )恒成立x xlna≥0x>0 .
当lna<0,即0当lna>0,(1)2-4≤0,解得a≥e.所以a不可以取的一个值是2,选lna B.
8.【答案】C
【详解】(方法一)因为AB=4,CD=2,所以球心O 到AB 中点M 的距离为1,到CD 中点N 的距离为
2,从而AB 中点M 在以O 为球心,以1为半径的球面上运动,CD 中点N 在以O 为球心2为半径的球
面上运动.
数学试卷参考答案与详解 第 1页(共6页)
当M,O,N 三点共线且O 在线段MN 上时,MN 取最大值3,S 1△ABN=2×AB×MN=6.
此时,若CD⊥平面ABN,则V=13×6×2=4
;若CD 不垂直于平面ABN,则C,D 到平面ABN 的距
离和小于2,从而四面体体积小于4;
当M,O,N 三点不共线时,由于N 在以O 为球心2为半径的球面上运动,所以N 到直线AB 的距离
小于3,从而S△ABN<6,C,D 到平面ABN 的距离和小于等于2,从而V<4.
所以四面体体积的最大值为4.选C.
(方法二)设球心为O,△ABC 的外心为O1,圆O1半径为r,AB 的中点为M.
2
设∠DCO=α,∠OCO1=
1 2 r 5-r
β,则sinα= ,cosα= ,cosβ= ,sin= .5 5 5 β 5
2
所以sin(α+ )=2r+ 5-rβ ,于是M 到5 CD
的距离d=|CM|sin(α+β).
设AC 与BD 的距离为d(r),则d(r)=1(5r+ r
2-4)(2r+ 5-r2).
d(2)=15×2×
(4+1)=2,
d(5)=1( )5 5+1×25≈2.9.
设r= 5-cos2θ= 4+sin2θ,下证d≤3.
即证5d=(cosθ+2 5-cos2θ)(sinθ+ 5-cos2θ)≤15;
从而sinθcosθ+2(5-cos2θ)+(2sinθ+cosθ)5-cos2θ≤15;
于是cosθ(sinθ-2cosθ)
2
+(2sinθ+cosθ)5-cosθ≤5.
5 5
由柯西不等式,
2 2 2
上式左 [(cosθ) (5-cos≤ + θ)][(sinθ-2cosθ)2+(2sinθ+cosθ)2]=5,
5 5
从而d≤3,故△CDM 面积最大值为3.
从而四面体ABCD 体积最大值为1×3×4=4.选3 C.
9.【答案】ABC
因为a=2,c=1,所以e= 2,2 A
正确;
(2 ) (2 )
设AC:x=ty-1,与椭圆方程联立,求得|AC|=
22t+1
t2
同理
+2 . |BD|=
22t+1
1+2t2 .
所以|AC|的最小值为2,最大值为22,B正确;
数学试卷参考答案与详解 第 2页(共6页)
1 + 1 32为定值, 正确;|AC| |BD|= 4 C
2 2
变换后,曲线为x +y =1,不是圆,D错误.选2 4 ABC.
10.【答案】ACD
【详解】画出正弦函数y=sinx及余弦函数y=cosx的图象,可以判断.选ACD.
11.【答案】BCD
【详解】a2 2 2 1-5 1+5 1+5n+1-an=-an+an+1=-(an- 2 )(an- 2 ),下证an> 2 .
当n=1,a1=2>
1+5,假设当n=k,k≥1时,a >1+52 k 2 .
( )2
当n=k+1时,a 1+5 1+5 1+5k+1= ak+1> 2 +1= 4 = 2 .
所以a 1+5 2 2 1-5 1+5n> ,从而2 an+1-an=-
(an- )(2 an-
)
2 <0.
所以an>an+1,数列 an 是递减数列,有A错误,B正确,C正确;
当n=1时,a 1 1+5 1 11=2≥1+20=2
,当n≥2时,an> 2 >1+2≥1+2n-1
,D正确.选BCD.
12.【答案】72
【详解】因为12×0.75=9,所以上四分位数为89+552 =72
,填72.
13.【答案】3;16
【详解】8+b=a+5,a-b=3,a+c=16.填:3;16.
(答对第一空给2分,答对第二空给3分,两空都答对给5分)
14.【答案】42+1
x= n+2+ n, xy=2,
【详解】令 则y= n+2- n, x+y=2 n+2.
( ) 2
所以an=
22+x+y= 22+x+yy= y +22y+2 y+2,2x 2xy 4 = 2
所以a = n+2- n+2n 2 .
所以S = 2n+1n [(n+2- n)2 2 +
(n+1- n-1)+…+(4-2)+(3-1)]
= 2n+1(n+2+ n+1-2-1)2 2 .
所以S7=
72 1(
2 +2 9+8-2-1
)=42+1.填42+1.
15.【详解】(1)取AC 中点为F,因为AB=BC,所以BF⊥AC.…………………………………… (2分)
数学试卷参考答案与详解 第 3页(共6页)
又PC⊥平面ABC,BF 平面ABC,所以PC⊥BF. ………………………………………… (4分)
因为AC 平面PAC,PC 平面PAC,AC∩PC=C,
所以BF⊥平面PAC.
因为BF 平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAC.
此时|AF|=1|AC|=3.……………………………………… (2 6
分)
(2)取AC 中点为O,连接OB,在平面PAC 内过
点O 作PC 的平行线为z轴,以OA,OB 所在直线分
别为x,y轴,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),
B(0,1,0),P(-3,0,3),D(-3,0,3),E(- 3,0,2),……………………………………… (8分)2 3
所以A→B=(-3,1,0),A→P=(-23,0,3),D→E=(23,,1)……………………………… (分)3 02 . 9
设平面PAB 的法向量n=(x,y,z),
n·A
→B=-3x+y=0,
则 取x=3,得n=(3,3,2).…………………………………… (11分)
n·A→P=-23x+3z=0.
所以DE 与平面PAB 成角的正弦值sinθ=|cos|=3 57.……………………… (38 13
分)
2 2
16.【详解】(1)由题意,2a=4,a=2,3= a +b ,b=22. ……………………………………… (4分)a
2 2
所以双曲线的方程为x-y =1.………………………………………………………………… (分)4 8 5
(2)因为∠AF1B 为锐角,所以F→1A·F→1B>0.
设直线l的方程为y=k(x-23)(k≠0),与双曲线方程联立,得
(2-k2)x2+43k2x-12k2-8=0.……………………………………………………………… (7分)
2 2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x +x =-
43k , -12k -81 2 ………………………… (分)2-k2 x1x2= 2-k2 . 9
2
由F→ →1A·F1B=(x1+23)(x2+23)+ =
16-32k
y1y2 2-k2 >0
,……………………………… (12分)
解得k2<1或k2>2. …………………………………………………………………………… (2 13
分)
所以k的取值范围为(-ㄊ,-2)∪(- 2,0)∪(0,2)∪(2,+ㄊ).……………………… (15分)2 2
17.【详解】(1)△ABC~△BCD,∠BAC=∠DBC,AB=4,CD=1,AC=32.
当∠ABC=∠BCD,∠BCA=∠CDB 时,BC=AC=AB,即BC=32=4,CD BD BC 1 BD BC
解得BD=32,BC=2.…………………………………………………………………………… (4分)2
数学试卷参考答案与详解 第 4页(共6页)
当∠ABC=∠CDB,∠BCA=∠BCD 时,A,C,D 共线,不合题意.………… (6分)
所以BC=2,BD=32.………………………………………………………… (7分)2
(2)在△ABC 中,由余弦定理求得cos∠ABC=1,从而8 sin∠ABC=
37 ………
8 .
………………………………………………………………………………… (9分)
同理,cos∠DBC=52,从而8 sin∠DBC=
14.……………………………………………… (8 11
分)
所以cos∠ABD=cos(∠ABC-∠DBC)=132,从而32 sin∠ABD=
7 14
32 .
……………… (13分)
所以△ABD 的面积为1×4×32×7 14 217 ………………………………………… ( 分)2 2 32 = 16 . 15
C2
18.【详解】(1)从A中摸出2个红球的概率P = 31 2=
3,此时B中有4个红球和3个白球,从C 10 B
中摸出1
5
个红球的概率为4;………………………………………………………………………………… (
7 2
分)
C2
从A中摸出2个白球的概率P2=
2
2=
1,此时B中有个2红球和5个白球,从B摸出1个红球的概C5 10
率为2.……………………………………………………………………………………………… (4分)7
由全概率公式,玩家在第一轮游戏中获得10分的概率为P=3×4+1×2=1.………… (分)10 7 10 7 5 5
(2)X 的所有可能取值为3,5,8,10.
当从A中摸出1红1白,再从A中摸出白球的概率为
1 1
P(
C ×C
X=3)= 3 2×2=6
2 ;…………………………………………………………………… (分)C5 5 25
6
当从A中摸出2红或2白,再从B中摸出白球的概率为
P(X=5)=3×3+1×5=1; ……………………………………………………………… (分)10 7 10 7 5 7
当A中摸出1红1白,再从A中摸出红球的概率为
1 1
P(
C ×C
X=8)= 3 22 ×
3=9;…………………………………………………………………… (8分)C5 5 25
由(1)知P(X=10)=15.
所以E(X)=3×625+5×
1
5+8×
9+10×1=33. ………………………………………… (10分)25 5 5
(3)由(2)知,共有三种情况,从A中摸出2个红球,或2个白球,或1个红球1个白球.
当从A中摸出2个红球时,B中有4个红球和3个白球,A中有1个红球和2个白球;
当从A中摸出2个白球时,B中有2个红球和5个白球,A中有3个红球;
数学试卷参考答案与详解 第 5页(共6页)
当从A中摸出1个红球1个白球时,B中有2个红球和3个白球,A中有3个红球和2个白球; …
………………………………………………………………………………………………… (15分)
则取出两个球都是红球的概率
3 (1 C2× 4 )+1×(1 C2× 2 1 )+6×(1×3+1×1)=113P=10× 2 C2+0 10 2 C2+2×1 …………… ( 分)7 7 10 2 10 2 10 525 17
19.【详解】(1)因为P(x)=x3+6x2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3),
所以多项式P(x)=x3+6x2+11x+6是3整数分解多项式.………………………………… (4分)
4
(2)P'(ai)=∏(ai-a ),∑
1 1 1
j
i≠j i=1P'(a)=i (a1-a2)(a1-a3)(a1-a )+4 (a2-a1)(a2-a +3)(a2-a4)
1 1
(a3-a1)(a3-a2)(a3-a )+4 (a4-a1)(a4-a2)(a4-a3)
(a2-a1)(a1+a2-a3-a4) (a4-a3)(a3+a4-a= 1
-a2)
(a1-a2)(a +1-a3)(a1-a4)(a2-a3)(a2-a4) (a3-a4)(a3-a1)(a3-a2)(a4-a1)(a4-a2)
=0
(3)由题意P(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4),
于是P(P(x))=P(x)(P(x)-a1)(P(x)-a2)(p(x)-a3)(P(x)-a4).
因为P(P(x))=0,所以P(x)=0或P(x)=ai(i=1,2,3,4).
从而0,a1,a2,a3,a4仍为P(P(x))=0的根.………………………………………………… (13分)
下面证明对 i∈{1,2,3,4},P(x)=ai 无整数根.
若不然,不妨设i=4,P(x)=a4有整数根β,
则a4=β(β-a1)(β-a2)(β-a3)(β-a4),
β2(β-a1)(β-a2)(β-a )求出a4=
3
1+β(β-a1)(β-a
.
2)(β-a3)
因为β与1互质,所以 k1∈Z,β与1+k1β互质.
取k1=(β-a1)(β-a2)(β-a3),
则β与1+β(β-a1)(β-a2)(β-a3)互质.
再取k=β(β-a1)(β-a2)(β-a3),即有β与1+k互质.
对于任意绝对值大于1的整数k,有k与k+1互质,所以βk与1+k互质.
即β2(β-a1)(β-a2)(β-a3)与1+β(β-a1)(β-a2)(β-a3)互质,
所以1+β(β-a1)(β-a2)(β-a3)=±1.
由于β≠0,β≠ai,i=1,2,3,
则1+β(β-a1)(β-a2)(β-a3)=-1,
即β(β-a1)(β-a2)(β-a3)=-2,
所以P(P(x))=0的根为0,a1,a2,a3,a4. …………………………………………………… (17分)
数学试卷参考答案与详解 第 6页(共6页)